Entdecke das Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen! Finde heraus, wann eine Funktion monoton steigt oder fällt und übe mit Beispielen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Video!
Mit dem Monotonieverhalten wird in der Mathematik die Steigung eines Funktionsgraphen bezeichnet.
Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten für das Steigungsverhalten eines Graphen:
streng monoton steigend: Der Graph ist nur steigend.
monoton steigend: Der Graph ist steigend oder hat die Steigung null.
streng monoton fallend: Der Graph ist nur fallend.
monoton fallend: Der Graph ist fallend oder hat die Steigung null.
Viele Funktionen zeigen nicht im gesamten Definitionsbereich das gleiche Steigungsverhalten, sondern sind in einigen Bereichen steigend und in anderen fallend. Daher gibt man Intervalle (also Bereiche bzw. Abschnitte der $x$-Achse) an, in denen der Graph die gleiche Monotonie aufweist. Wenn z. B. der Graph von $f$ zwischen zwei $x$-Werten $a$ und $b$ nur steigt, schreibt man das so: „$f$ ist streng monoton steigend im Intervall $]a,b[$.“ Das heißt, der Graph ist streng monoton steigend für alle $x$-Werte mit $a\lt x\lt b$, denn es handelt sich um ein offenes Intervall, in dem die Zahlen $a$ und $b$ nicht enthalten sind.
Wie kann man Monotoniebereiche berechnen?
Das Steigungsverhalten eines Graphen an einer bestimmten Stelle wird durch die Tangentensteigung bzw. erste Ableitung angezeigt:
An Stellen ohne Steigung hat der Graph eine waagerechte Tangente und es gilt $f^\prime (x)=0$.
An Stellen mit positiver Steigung hat der Graph eine steigende Tangente und es gilt $f^\prime (x)\gt 0$.
An Stellen mit negativer Steigung hat der Graph eine fallende Tangente und es gilt $f^\prime (x)\lt 0$.
Daher kann man den Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten im Intervall $]a,b[$ und dem Vorzeichen der ersten Ableitung für $a\lt x\lt b$ wie in folgender Tabelle zusammenfassen:
Monotonieverhalten
Vorzeichen der Ableitung
streng monoton steigend
$f^\prime (x)\gt 0$
monoton steigend
$f^\prime (x)\geq 0$
streng monoton fallend
$f^\prime (x)\lt 0$
monoton fallend
$f^\prime (x)\leq 0$
Um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen, muss man also untersuchen, in welchen Bereichen die erste Ableitung positiv, negativ oder null ist.
Das Vorgehen lässt sich in vier kleine Schritte unterteilen:
Bestimme die erste Ableitung von $f$.
Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung.
Teile den Definitionsbereich der Funktion in Teilintervalle entsprechend der Nullstellen ein.
Bestimme mithilfe der ersten Ableitung die Monotonie in jedem Intervall.
Bestimmung von Monotoniebereichen – Beispielaufgaben
Um die Aufgaben nachzuvollziehen, solltest du schon wissen, wie man die erste Ableitung einer Funktion bestimmt (u. a. mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel) und wie man Nullstellen berechnet (z. B. mit der $pq$-Formel).
Beispiel 1 – Funktion mit zwei Extrempunkten
Bestimme die Monotoniebereiche von $f(x)=x^{3}+3x^{2}-24x$.
Die Funktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, der Definitionsbereich geht also von $-\infty$ bis $+\infty$ und wird durch die Nullstellen $x_{1}=-4$ und $x_{2}=2$ in drei Bereiche unterteilt: $]-\infty, -4[$ und $] -4, 2[$ und $] 2, \infty[$.
Bestimme die Monotonie in jedem Intervall:
Setze aus jedem Intervall eine Zahl in die erste Ableitung ein und prüfe, welches Vorzeichen das Ergebnis hat. Welche Zahl du auswählst, ist beliebig, allerdings musst du darauf achten, dass es sich um offene Intervalle handelt, das heißt, die Intervallgrenzen gehören nicht zum Intervall und dürfen nicht eingesetzt werden (in diesem Fall $-4$ und $2$).
Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst, vergleiche diese mit der Skizze des Graphen.
Intervall
$]-\infty, -4[$
$] -4, 2[$
$] 2, \infty[$
Monotoniebestimmung mit der ersten Ableitung
$f^\prime(-10)\gt 0$
$f^\prime(1)\lt 0 $
$f^\prime(10)\gt 0$
Monotonieverhalten
streng monoton steigend
streng monoton fallend
streng monoton steigend
Übrigens kann man anhand der Monotoniebereiche auch die Art der Extremstellen des Graphen ablesen: An der Stelle, an der sich die Monotonie von steigend nach fallend ändert, ist ein Hochpunkt und an der Stelle, an der sich die Monotonie von fallend nach steigend ändert, ist ein Tiefpunkt. Diese Tatsache macht sich das Vorzeichenwechselkriterium zunutze.
Beispiel 2 – Funktion mit Sattelpunkt
Bestimme die Monotoniebereiche von ${f(x)=2x^{3}-18x^{2}+54x}$.
Die Funktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, der Definitionsbereich geht also von $-\infty$ bis $+\infty$ und wird durch die Nullstelle $x=3$ in zwei Bereiche unterteilt: $]-\infty, 3[$ und $] 3, \infty[$.
Bestimme die Monotonie in jedem Intervall:
Setze aus jedem Intervall eine Zahl in die erste Ableitung ein und prüfe, welches Vorzeichen das Ergebnis hat.
Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst. Vergleiche diese mit der Skizze des Graphen.
Intervall
$]-\infty, 3[$
$] 3, \infty[$
Monotoniebestimmung mit der ersten Ableitung
$f^\prime(0)\gt 0 $
$f^\prime(10)\gt 0 $
Monotonieverhalten
streng monoton steigend
streng monoton steigend
Da das Monotonieverhalten sich nicht ändert, ist der Graph im gesamten Definitionsbereich ${]-\infty, \infty[}$ monoton steigend – aber nicht streng monoton steigend, weil der Graph an der Stelle $x=3$ die Steigung $0$ hat.
Außerdem kann man ablesen, dass der Graph keine Extremstelle bei $x=3$ hat, da die Monotonie links und rechts von der Stelle steigend ist. Der Graph hat an dieser Stelle einen Sattelpunkt.
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Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die erste Ableitung und prüfe das Vorzeichen, um das Monotonieverhalten in diesem Intervall angeben zu können.
Lösung
Schritt 1 Ableitung der Funktion
$f^{\prime}(x)=3x^2-12x$
Schritt 2 Nullstellen der Ableitung
$f^{\prime}(x)=0 \implies 3x^2-12x=0 \vert :3$
$x^2-4x=0$
$\implies x_1=0 \text{ und } x_2=4$
Schritt 3 Aufteilung in Teilintervalle
$]-\infty, 0[ \quad \text{ und } \quad ]0,4[ \quad \text{ und } \quad ]4, \infty[$
Schritt 4 Bestimmung der Monotoniebereiche (hierfür beliebige Punkte aus den jeweiligen Intervallen in die Funktionsgleichung der ersten Ableitung einsetzen)
$f$ ist im Intervall $]-\infty, 0[ $ streng monoton steigend
$f$ ist im Intervall $]0,4[$ streng monoton fallend
$f$ ist im Intervall $]4, \infty[ $ streng monoton steigend
Ist $f^{\prime}(x)<0$ für $x \in ]a,b[$, dann ist der Graph in $]a,b[$ streng monoton fallend.
Lösung
Die Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=6x^2-24x+24$ und hat eine Nullstelle bei $x=2$.
Wir untersuchen die Teilintervalle $]-\infty, 2[ \quad $ und $\quad ]2, \infty[$.
Um die Monotonie im ersten Intervall zu prüfen, berechnen wir $f^{\prime}(1)=$, also gilt für $x \in ]-\infty, 2[: f^{\prime}(x) >0$ und die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton steigend.
Um die Monotonie im zweiten Intervall zu prüfen, berechnen wir $f^{\prime}(5)=54$, also gilt für $x \in ] 2, \infty[: f^{\prime}(x) ${>}$0$ und die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton steigend.
Hinweis: Da die Funktion in beiden Teilintervallen streng monoton steigend ist und bei $x=2$ die Steigung null ist, kann man auch sagen: Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich monoton steigend (aber nicht streng monoton steigend).
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