Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.

Lerntext zum Thema Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen

Was sind Monotoniebereiche?

Mit dem Monotonieverhalten wird in der Mathematik die Steigung eines Funktionsgraphen bezeichnet.

Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten für das Steigungsverhalten eines Graphen:

  • streng monoton steigend: Der Graph ist nur steigend.
  • monoton steigend: Der Graph ist steigend oder hat die Steigung null.
  • streng monoton fallend: Der Graph ist nur fallend.
  • monoton fallend: Der Graph ist fallend oder hat die Steigung null.

Monotonieverhalten von Funktionen

Viele Funktionen zeigen nicht im gesamten Definitionsbereich das gleiche Steigungsverhalten, sondern sind in einigen Bereichen steigend und in anderen fallend. Daher gibt man Intervalle (also Bereiche bzw. Abschnitte der $x$-Achse) an, in denen der Graph die gleiche Monotonie aufweist. Wenn z. B. der Graph von $f$ zwischen zwei $x$-Werten $a$ und $b$ nur steigt, schreibt man das so: „$f$ ist streng monoton steigend im Intervall $]a,b[$“. D. h. der Graph ist streng monoton steigend für alle $x$-Werte mit $a\lt x\lt b$, denn es handelt sich um ein offenes Intervall, in dem die Zahlen $a$ und $b$ nicht enthalten sind.

Wie kann man Monotoniebereiche berechnen?

Das Steigungsverhalten eines Graphen an einer bestimmten Stelle wird durch die Tangentensteigung bzw. erste Ableitung angezeigt:

  • An Stellen ohne Steigung hat der Graph eine waagerechte Tangente und es gilt $f^\prime (x)=0$.
  • An Stellen mit positiver Steigung hat der Graph eine steigende Tangente und es gilt $f^\prime (x)\gt 0$.
  • An Stellen mit negativer Steigung hat der Graph eine fallende Tangente und es gilt $f^\prime (x)\lt 0$.

Daher kann man den Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten im Intervall $]a,b[$ und dem Vorzeichen der ersten Ableitung für $a\lt x\lt b$ wie in folgender Tabelle zusammenfassen:

Monotonieverhalten Vorzeichen der Ableitung
streng monoton steigend $f^\prime (x)\gt 0$
monoton steigend $f^\prime (x)\geq 0$
streng monoton fallend $f^\prime (x)\lt 0$
monoton fallend $f^\prime (x)\leq 0$

Um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen, muss man also untersuchen, in welchen Bereichen die erste Ableitung positiv, negativ oder null ist.

Das Vorgehen lässt sich in vier kleine Schritte unterteilen:

  1. Bestimme die erste Ableitung von $f$.
  2. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung.
  3. Teile den Definitionsbereich der Funktion in Teilintervalle entsprechend der Nullstellen ein.
  4. Bestimme mit Hilfe der ersten Ableitung die Monotonie in jedem Intervall.

Bestimmung von Monotoniebereichen – Beispielaufgaben

Um die Aufgaben nachzuvollziehen, solltest du schon wissen, wie man die erste Ableitung einer Funktion bestimmt (u. a. mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel) und wie man Nullstellen berechnet (z. B. mit der $pq$-Formel).

Beispiel 1 – Funktion mit zwei Extrempunkten

Bestimme die Monotoniebereiche von $f(x)=x^{3}+3x^{2}-24x$.

Bilde die erste Ableitung:

$f^\prime(x)=3x^{2}+6x-24$

Bestimme die Nullstellen:

$\begin{array}{cclr}f^\prime(x) & = & 0 \\ 3x^2+6x-24 & = & 0 & \vert :3\newline \\ x^2+2x-8 & = & 0 \end{array}$

$x_{1,2}=-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{2}{2}\right )^{2}-(-8)}=-1 \pm \sqrt{9}=-1 \pm 3$

$\implies x_{1}=-4 \text{ und } x_{2}=2$

Gib die Teilintervalle an:

Die Funktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, der Definitionsbereich geht also von $-\infty$ bis $+\infty$ und wird durch die Nullstellen $x_{1}=-4$ und $x_{2}=2$ in drei Bereiche unterteilt: $]-\infty, -4[$ und $] -4, 2[$ und $] 2, \infty[$.

Bestimme die Monotonie in jedem Intervall:

Setze aus jedem Intervall eine Zahl in die erste Ableitung ein und prüfe, welches Vorzeichen das Ergebnis hat. Welche Zahl du auswählst, ist beliebig, allerdings musst du darauf achten, dass es sich um offene Intervalle handelt, d. h. die Intervallgrenzen gehören nicht zum Intervall und dürfen nicht eingesetzt werden (in diesem Fall $-4$ und $2$).

$f^\prime(-10)=3\cdot(-10)^2+6\cdot(-10)-24=216\newline \implies f^\prime(-10)\gt 0$

$f^\prime(1)=3\cdot 1^2+6\cdot 1-24=-15\newline \implies f^\prime(1)\lt 0$

$f^\prime(10)=3\cdot 10^2+6\cdot 10-24=336\newline \implies f^\prime(10)\gt 0 $

Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst, vergleiche diese mit der Skizze des Graphen.

Intervall $]-\infty, -4[$ $] -4, 2[$ $] 2, \infty[$
Monotoniebestimmung mit der ersten Ableitung $f^\prime(-10)\gt 0$ $f^\prime(1)\lt 0 $ $f^\prime(10)\gt 0$
Monotonieverhalten streng monoton steigend streng monoton fallend streng monoton steigend

Monotonieverhalten Intervalle

Übrigens kann man anhand der Monotoniebereiche auch die Art der Extremstellen des Graphen ablesen: An der Stelle, an der sich die Monotonie von steigend nach fallend ändert, ist ein Hochpunkt und an der Stelle, an der sich die Monotonie von fallend nach steigend ändert, ist ein Tiefpunkt. Diese Tatsache macht sich das Vorzeichenwechselkriterium zunutze.

Beispiel 2 – Funktion mit Sattelpunkt

Bestimme die Monotoniebereiche von ${f(x)=2x^{3}-18x^{2}+54x}$.

Bilde die erste Ableitung:

$f^\prime(x)=6x^{2}-36x+54$

Bestimme die Nullstellen:

$\begin{array}{cclr}f^\prime(x) & = & 0 \\ 6x^2-36x+54 & = & 0 & \vert :6 \\ x^2-6x+9 & = & 0 \end{array}$

$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2}\right )^{2}-9}=3 \pm \sqrt{0}=3 \pm 0$

$\implies x=3$

Gib die Teilintervalle an:

Die Funktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, der Definitionsbereich geht also von $-\infty$ bis $+\infty$ und wird durch die Nullstelle $x=3$ in zwei Bereiche unterteilt: $]-\infty, 3[$ und $] 3, \infty[$.

Bestimme die Monotonie in jedem Intervall:

Setze aus jedem Intervall eine Zahl in die erste Ableitung ein und prüfe, welches Vorzeichen das Ergebnis hat.

$f^\prime(0)=6\cdot 0^{2}-36\cdot 0+54=54\newline \implies f^\prime(0)\gt 0$

$f^\prime(10)=6\cdot 10^{2}-36\cdot 10+54=294\newline \implies f^\prime(10)\gt 0$

Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst. Vergleiche diese mit der Skizze des Graphen.

Intervall $]-\infty, 3[$ $] 3, \infty[$
Monotoniebestimmung mit der ersten Ableitung $f^\prime(0)\gt 0 $ $f^\prime(10)\gt 0 $
Monotonieverhalten streng monoton steigend streng monoton steigend

Monotonieverhalten Sattelpunkt

Da das Monotonieverhalten sich nicht ändert, ist der Graph im gesamten Definitionsbereich ${]-\infty, \infty[}$ monoton steigend – aber nicht streng monoton steigend, weil der Graph am an der Stelle $x=3$ die Steigung $0$ hat.

Außerdem kann man ablesen, dass der Graph keine Extremstelle bei $x=3$ hat, da die Monotonie links und rechts von der Stelle steigend ist. Der Graph hat an dieser Stelle einen Sattelpunkt.

Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne den Zusammenhang zwischen Monotonie und erster Ableitung.

    Tipps

    Wenn ein Steigungsverhalten monoton, aber nicht streng monoton ist, dann ist ein waagerechter Verlauf ($f^\prime (x)=0$) enthalten.

    Lösung

    Die richtige Zuordnung lautet:

    streng monoton steigend: $f^\prime (x)\gt 0$

    monoton steigend: $f^\prime (x)\geq 0$

    streng monoton fallend:$f^\prime (x)\lt 0$

    monoton fallend: $f^\prime (x)\leq 0$

  • Bestimme die erste Ableitung.

    Tipps

    Vier Rechnungen enthalten Fehler.

    Lösung

    Folgende Ableitungen wurden falsch gebildet:

    • $f(x)=\frac{1}{6}x^6-\frac{1}{25}x^5$
    $f^{\prime}(x)= x^5-\color{red}{5} \color{black} ~x^4$

    richtig: $f^{\prime}(x)=x^5-\frac{1}{5}x^4$

    • $f(x)=-3x^5+5x^3+15x$
    $f^{\prime}(x)=\color{red}{+}\color{black}15x^4+15x^2+15$

    richtig: $f^{\prime}(x)=-15x^4+15x^2+15$

    • $f(x)=x^{-3}$
    $f^{\prime}(x)=-3x^{-\color{red}{2}}$

    richtig: $f^{\prime}(x)=-3x^{-4}$

    • $f(x)=3x^3-9x-9$
    $f^{\prime}(x)=9x^2-9\color{red}{-1}$

    richtig: $f^{\prime}(x)=9x^2-9$

  • Bestimme die Nullstellen und Teilintervalle der Funktionen.

    Tipps

    Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung, um die Grenzen der Teilintervalle herauszufinden.

    Lösung

    • $f(x)=x^2+2x-8$
    $f^{\prime}(x)=2x+2$

    Nullstellen: $f^{\prime}(x)=0 \implies 2x+2=0 \implies \underline{\underline{x=-1}}$

    Teilintervalle: $]-\infty,-1[ \quad \text{ und }\quad ]-1,\infty[$

    • $f(x)=x^2+1$
    $f^{\prime}(x)=2x$

    Nullstellen: $f^{\prime}(x)=0 \implies 2x=0 \implies \underline{\underline{x=0}}$

    Teilintervalle: $]-\infty,0[ \quad \text{ und }\quad ]0,\infty[$

    • $f(x)=x^2-2x$
    $f^{\prime}(x)=2x-2$

    Nullstellen: $f^{\prime}(x)=0 \implies 2x-2=0 \implies \underline{\underline{x=1}}$

    Teilintervalle: $]-\infty,1[\quad \text{ und }\quad ]1,\infty[$

    • $f(x)=x^3-3x^2$
    $f^{\prime}(x)=3x^2-6x$

    Nullstellen: $f^{\prime}(x)=0 \implies 3x^2-6x=0 \implies x(3x-6)=0 \implies \underline{\underline{x_1=0}} \text{ und } \underline{\underline{x_2=2}}$

    Teilintervalle: $]-\infty,0[ \quad \text{ und }\quad ]0,2[ \quad \text{und} \quad ]2,\infty[$

  • Bestimme die Monotoniebereiche der Funktion.

    Tipps

    Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die erste Ableitung und prüfe das Vorzeichen, um das Monotonieverhalten in diesem Intervall angeben zu können.

    Lösung

    Schritt 1 Ableitung der Funktion

    $f^{\prime}(x)=3x^2-12x$

    Schritt 2 Nullstellen der Ableitung

    $f^{\prime}(x)=0 \implies 3x^2-12x=0 \vert :3$

    $x^2-4x=0$

    $\implies x_1=0 \text{ und } x_2=4$

    Schritt 3 Aufteilung in Teilintervalle

    $]-\infty, 0[ \quad \text{ und } \quad ]0,4[ \quad \text{ und } \quad ]4, \infty[$

    Schritt 4 Bestimmung der Monotoniebereiche (hierfür beliebige Punkte aus den jeweiligen Intervallen in die Funktionsgleichung der ersten Ableitung einsetzen)

    • $f$ ist im Intervall $]-\infty, 0[ $ streng monoton steigend
    • $f$ ist im Intervall $]0,4[$ streng monoton fallend
    • $f$ ist im Intervall $]4, \infty[ $ streng monoton steigend
  • Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung des Monotonieverhaltens.

    Tipps

    Um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen, muss man untersuchen, in welchen Bereichen die erste Ableitung positiv, negativ oder null ist.

    Lösung

    Das Vorgehen lässt sich in vier Schritte unterteilen:

    1. Bestimme die erste Ableitung von $f$.
    2. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung.
    3. Teile den Definitionsbereich der Funktion in Teilintervalle entsprechend der Nullstellen ein.
    4. Bestimme mit Hilfe der ersten Ableitung die Monotonie in jedem Intervall.
  • Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion.

    Tipps

    Ist $f^{\prime}(x)<0$ für $x \in ]a,b[$, dann ist der Graph in $]a,b[$ streng monoton fallend.

    Lösung

    Die Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=6x^2-24x+24$ und hat eine Nullstelle bei $x=2$.

    Wir untersuchen die Teilintervalle $]-\infty, 2[ \quad $ und $\quad ]2, \infty[$.

    Um die Monotonie im ersten Intervall zu prüfen, berechnen wir $f^{\prime}(1)=$, also gilt für $x \in ]-\infty, 2[: f^{\prime}(x) >0$ und die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton steigend.

    Um die Monotonie im zweiten Intervall zu prüfen, berechnen wir $f^{\prime}(5)=54$, also gilt für $x \in ] 2, \infty[: f^{\prime}(x) ${>}$0$ und die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton steigend.

    Hinweis: Da die Funktion in beiden Teilintervallen streng monoton steigend ist und bei $x=2$ die Steigung null ist, kann man auch sagen: Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich monoton steigend (aber nicht streng monoton steigend).

Bewertung

Gib eine Bewertung ab!
Die Autor*innen
Avatar
sofatutor Team
Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse