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Nullstellen durch Substitution bestimmen

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Team Digital
Nullstellen durch Substitution bestimmen
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Nullstellen durch Substitution bestimmen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Substitution anzuwenden, um Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades zu bestimmen.

Substitution

Zunächst lernst du, was der Grundgedanke der Substitution ist und in welchen Fällen sie angewendet werden kann. Anschließend wird die Anwendung der Substitution anhand einer biquadratischen Funktion vorgestellt. Abschließend erfährst du, wie durch eine geeignete Resubstitution die Nullstellen der Funktionsgleichung aus den Lösungen der substituierten Gleichung bestimmt werden.

Resubstitution

Lerne die Substitution kennen als Einladung zum Rollentausch und Perspektivenwechsel.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Polynom, Potenz, Exponent, Grad, ganzrationale Funktion, Substitution, Resubstitution, biquadratisch und Mitternachtsformel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man die Nullstellen von linearen und quadratischen Gleichungen berechnet. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu ganzrationalen Funktionen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Methoden zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen zu erlernen, wie beispielsweise die Polynomdivision.

Transkript Nullstellen durch Substitution bestimmen

Mit wem würdest du gerne mal die Plätze tauschen? Mit einer berühmten Künstlerin? Einem umjubelten Sport-Star? Oder vielleicht einem Mathe-Lehrer? Die ersten beiden wären ja sicher ganz nett, aber nur in der Haut eines Mathe-Lehrers wäre es ein Leichtes für dich, „Nullstellen durch Substitution zu bestimmen“ – und da wollen wir heute hin. Das Wort „Substitution“ leitet sich ab von „substituiere“ – das kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „ersetzen“. Die Frage ist: Was soll ersetzt werden und warum? Wie du vielleicht weißt, können die „Nullstellen“ einer Funktion bestimmt werden, indem der Funktionsterm gleich null gesetzt, und die Gleichung nach „x“ aufgelöst wird. Bei „linearen“ Gleichungen klappt das ganz gut, und für „quadratische“ Gleichungen gibt es die „P-Q-Formel“, sowie die allseits beliebte „Mitternachtsformel“. Bei Funktionen, die Polynome „höheren“ Grades enthalten, wird's allerdings schnell problematisch. Die „Substitution“ ist nun ein Mittel, um bestimmte Polynome höheren Grades zu vereinfachen. Einfach gesagt, werden dabei große Potenzen von „x“ durch kleinere ersetzt. Das kann man aber natürlich nicht einfach so machen! Die Umwandlung muss in sich stimmig sein und am Ende wieder rückgängig gemacht werden. Das klappt nur dann, wenn alle im Funktionsterm auftretenden „Exponenten von x“ jeweils im Verhältnis „Zwei zu Eins“ zueinanderstehen, also das doppelte voneinander sind. Das ist zum Beispiel hier der Fall, oder bei dieser Funktion, oder auch hier. Funktionen wie diese, in denen nur „x-hoch Vier“ und „x-Quadrat“ auftaucht, nennt man „Bi-quadratisch“. Das ist auch der häufigste Fall, der dir über den Weg laufen wird – hier kann man das Prinzip der Substitution gut verdeutlichen: Man ersetzt „x-Quadrat“ ganz einfach durch eine neue Variable, zum Beispiel „z“, und erhält So einen „quadratischen“ Funktionsterm für „F von z“. Diese Gleichung kann jetzt mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden. In unserem Beispiel erhalten wir die Lösungen „z-Eins gleich Neun“ und „z-Zwei gleich Vier“. Das sind jetzt aber nicht die Nullstellen von F von „x“ – denn wir haben ja F von „Z“ gleich Null gesetzt. Um von unseren Lösungen auf die eigentlichen Nullstellen zu kommen, müssen wir die Substitution wieder rückgängig machen. Das nennt man „Resubstitution“. Da wir „x-Quadrat“ zu „z“ gemacht haben, muss im Umkehrschluss gelten, dass aus „Wurzel-z“ wieder „x“ wird. Die Wurzeln unserer Lösungen „z-Eins“ und „z-Zwei“, müssen also zu den Nullstellen „x-Eins“ und „x-Zwei“ führen, also hier zu den Werten „Drei“ und „Zwei“. Und tatsächlich! Durch Einsetzen in die „Funktionsgleichung F von x“ sehen wir, dass diese beiden x-Werte wirklich die gesuchten Nullstellen sind. EINE Sache müssen wir aber noch bedenken: Durch unsere Substitution von „x-Quadrat“ durch „z“ fällt die Möglichkeit unter den Tisch, dass „x“ auch negativ sein könnte.
Da das „Minus“ beim Quadrieren herausfällt, führen nämlich ein Wert „x-Eins“ und dessen Gegenzahl „Minus-x-Eins“ zum selben Wert „Z-Eins“. Das heißt, bei unseren Nullstellen „x-Eins“ und „x-Zwei“ müssen wir berücksichtigen, dass auch deren Gegenzahlen Nullstellen von „F von x“ sind. Denn diese führen quadriert zu denselben Werten „z-Eins“ und „z-Zwei“, mit denen wir die substituierte Gleichung gelöst haben. Im Umkehrschluss heißt das, dass die positiven und negativen Werte der Wurzeln von „z-Eins“ und „z-Zwei“ Nullstellen von „F von x“ sein müssen. Dass das tatsächlich auch so ist, sehen wir, c. Es ist dabei kein Zufall, dass aus zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung plötzlich vier Lösungen einer Bi-quadratischen Gleichung werden, denn je höher der „Grad“ des Polynoms, desto mehr Nullstellen sind möglich. Ein Polynom N-ten Grades kann bis zu „N“ Nullstellen haben. So, jetzt sieh dir doch mal diese Funktionsgleichung in Ruhe an und versuche, die Nullstellen zu bestimmen. Gleich fassen wir das Ergebnis zusammen, das du mithilfe dieser Substitution berechnen kannst. Bereit? Eine „Substitution“ ist hilfreich, wenn eine Funktion als Polynom vorliegt, bei dem alle Exponenten von „x“ im Verhältnis „Zwei zu Eins“ stehen. So kann eine quadratische Gleichung aufgestellt werden, um die Lösungen mit bekannten Mitteln wie „P-Q-“ und „Mitternachtsformel“ zu bestimmen. Durch eine „Resubstitution“ werden aus den Lösungen dann die Nullstellen der ursprünglichen Funktion abgeleitet. Hier im Beispiel ist dafür das Ziehen der vierten Wurzel notwendig, was wieder zu vier Lösungen führt. Ein Perspektivenwechsel hilft übrigens nicht nur bei den Matheaufgaben, sondern kann generell das gegenseitige Verständnis in beide Richtungen fördern.

Nullstellen durch Substitution bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Nullstellen durch Substitution bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Substitution.

    Tipps

    Ein Polynom $n$-ten Grades kann bis zu $n$ Nullstellen haben.

    Bei der Polynomfunktion $ f(x)=x^4+2x^2+3 $ kannst du Substitution anwenden, um sie zu lösen.

    Lösung

    Um bei Polynomen höheren Grades die Nullstellen zu bestimmen, kann man die Substitution zu Hilfe nehmen. Substituieren bedeutet, dass man größere Potenzen von $x$ durch kleinere Potenzen ersetzt, zum Beispiel: $x^2 \to z$. Dann können die Nullstellen der substituierten Funktion mit der Mitternachtsformel berechnet werden.

    Dafür gibt es einige Voraussetzungen:

    • Die Umwandlung muss in sich stimmig sein und am Ende wieder rückgängig gemacht werden.
    • Alle Exponenten müssen im Verhältnis $2:1$ zueinander sein.
    Aus der Substitution werden die Werte für $z$ berechnet und durch die Resubstitution $\pm \sqrt z \to \pm x$ werden dann die Nullstellen der Funktion abgeleitet. Dabei kann ein Polynom $n$-ten Grades bis zu $n$ Nullstellen haben.

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Du kannst die Substitution anwenden, wenn eine Funktion als Polynom vorliegt, bei dem alle Exponenten von $x$ im Verhältnis $2:1$ stehen.
    • Durch Resubstitution werden aus den Lösungen dann die Nullstellen der ursprünglichen Funktion abgeleitet.
    Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

    • Die Nullstellen einer Polynomfunktion können direkt mit der Mitternachtsformel berechnet werden.
    $\rightarrow$ Das Polynom muss zunächst durch Substitution in die Form einer quadratischen Gleichung überführt werden. Anschließend werden die Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnet.
    • Eine Polynomfunktion hat ausschließlich $2$ Nullstellen.
    $\rightarrow$ Ein Polynom $n$-ten Grades kann bis zu $n$ Nullstellen haben.
  • Gib den Funktionsterm nach der Substitution an.

    Tipps

    Es gilt: $ x^{2n} = (x^n)^2 $.

    Zum Beispiel kannst du bei der Polynomfunktion $f(x)=5x^4+2x^2+3$ das $x^2$ mit $z$ substituieren und erhältst $f(z)=5z^2+2z+3$.

    Lösung

    Bei der Substitution ersetzt man hohe Exponenten von $x$ mit kleinen Exponenten so, dass eine Funktion der Form $ax^2+bx+c=0$ entsteht. Diese Funktion kann dann mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden und die Nullstellen berechnet. Dabei wird im Allgemeinen $x^n = z$ und $x^{2n} = (x^n)^2 = z^2$ substituiert. Anschließend musst du resubstituieren, indem du $\sqrt[n]{z} = \pm x$ berechnest.

    Die Funktionen wurden folgendermaßen substituiert:

    • $2x^4+3x^2+7$ wird mit $x^2=z$ und $x^4=z^2$ zu: $~2z^2+3z+7$.
    • $2x^3+3x^6+7$ wird mit $x^3=z$ und $x^6=z^2$ zu: $~2z+3z^2+7$.
    • $2x^8+3+7x^4$ wird mit $x^4=z$ und $x^8=z^2$ zu: $~2z^2+3+7z$.
    • $2+3x^5+7x^{10}$ wird mit $x^5=z$ und $x^{10}=z^2$ zu: $~2+3z+7z^2$.
  • Berechne die Nullstellen der Polynomfunktion.

    Tipps

    Die Mitternachtsformel lautet:

    $z_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Beachte, dass beide Vorzeichen beim Resubstituieren vorkommen. Beispiel: $\sqrt{25}=\pm5$

    Du erhältst also für jeden Wert von $z$ zwei Lösungen der Gleichung für $x$.

    Lösung

    Wir berechnen die Nullstellen über eine Substitution:
    $f(x)=-2x^4+34x^2-32$

    Wir substituieren mit $x^2=z$.
    Dabei wird $x^4 = (x^2)^2$ zu $z^2$.

    $f(x)=-2z^2+34z-32$

    Die Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung $-2z^2 + 34 z - 32 = 0$. Wir können diese zunächst vereinfachen, indem wir durch $-2$ teilen und erhalten: $z^2 - 17z + 16$
    Mit der Mitternachtsformel berechnen wir die Lösungen:

    $z_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Also: $z_{1/2}=\dfrac{17 \pm \sqrt{(-17)^2-4 \cdot 16}}{2} =\dfrac{17 \pm 15}{2}$

    Daraus ergibt sich $z_1= \dfrac {2}{2} = 1$ und $z_2= \dfrac {32}{2} = 16$.

    Resubstitution:

    $\sqrt{z}=\pm~{x}$

    $\Rightarrow \quad \sqrt{z_1} = \sqrt{16}=\pm 4$

    $\Rightarrow \quad \sqrt{z_2} = \sqrt{1}=\pm 1$

    Die Polynomfunktion hat $4$ Nullstellen. $ \rightarrow ~ N_1(4\vert0)$ und $N_2(-4\vert0)$ und $N_3(1\vert0)$ und $N_4(-1\vert0)$

  • Bestimme die Nullstellen der Polynomfunktion durch Substitution mit $z$.

    Tipps

    Beachte, dass man bei $x^3 = z$ bei der Resubstitution die $3$te-Wurzel ziehen muss. Dabei hat $\sqrt[3]{64}$ nur das Ergebnis $4$ und nicht $\pm4$, da bei einer ungeraden Potenz das Vorzeichen erhalten bleibt.

    Wenn man zum Beispiel aus der Resubstitution $z_1\rightarrow ~ x_1=5$ und $x_2=-5$ erhält, dann ergeben sich daraus die Nullstellen $(5\vert0)$ und $(-5\vert0)$.

    Lösung

    Um die Nullstellen des Polynoms $f(x) = x^6-35x^3+216$ zu bestimmen, muss die Gleichung $f(x) = 0$ gelöst werden.

    Hier: $x^6-35x^3+216 = 0$

    Da die Gleichung die Potenzen $x^6$ und $x^3$ enthält, substituieren wir zunächst mit $x^3 = z$ und erhalten:

    $h(x)=z^2-35z+216$

    Mit der Mitternachtsformel ergeben sich folgende Werte:

    $z_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    $\Rightarrow \quad z_{1/2}=\dfrac{35 \pm \sqrt{35^2-4 \cdot 1 \cdot 216}}{2 \cdot 1}= \dfrac{35 \pm 361}{2}$

    Daraus ergeben sich $z_1=\dfrac{54}{2}=27$ und $z_2=\dfrac{16}{2}=8$.

    Nun führen wir die Resubstitution durch:

    Aus $z_1=27$ erhalten wir $x_1 = \sqrt[3]{27} = 3$ und aus $z_2=8$ erhalten wir $x_2 = \sqrt[3]{8} = 2$.

    Beachte, dass bei der $3$ten-Wurzel kein $\pm$ vor der Lösung steht, wir also für jeden Wert von $z$ nur einen Wert von $x$ erhalten. Dies liegt daran, dass bei ungeraden Potenzen wie $x^3$ das Vorzeichen erhalten bleibt.

    Die Nullstellen von $f(x)$ sind also:

    $N_1(3\vert0)$ und $N_2(2\vert0)$

  • Benenne die Funktionen, deren Nullstellen durch Substitution bestimmt werden können.

    Tipps

    Man kann eine Polynomfunktion nur mit Substitution lösen, wenn ihre Exponenten im Verhältnis $2:1$ stehen.

    Bei der Polynomfunktion $\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{3}x^2+3$ können die Nullstellen durch Substitution bestimmt werden.

    Bei der Polxnomfunktion $\dfrac{1}{2}x^7+\dfrac{1}{3}x^6+3$ können die Nullstellen nicht durch Substitution bestimmt werden.

    Lösung

    Um Nullstellen von Polynomfunktionen zu bestimmen, kann man die Substitution zu Hilfe nehmen. Man kann sie aber nur substituieren, wenn ihre Exponenten im Verhältnis $2:1$ stehen.

    Bei diesen Polynomen kann man Nullstellen mit Substitution bestimmen:

    • $h(x)=\dfrac{1}{16}x^8-\dfrac{17}{16}x^4+1$
    Da die Exponenten $8$ und $4$ im Verhältnis $2:1$ zueinander stehen.

    $x^4=z~\rightarrow~f(z)=\dfrac{1}{16}z^2-\dfrac{17}{16}z+1$

    • $h(x)=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{17}{16}x^4+1$
    Da die Exponenten $4$ und $2$ im Verhältnis $2:1$ zueinander stehen.

    $x^2=z~\rightarrow~f(z)=\dfrac{1}{16}z-\dfrac{17}{16}z^2+1$

    Bei diesen Polynomen kann man keine Nullstellen mit Substitution bestimmen:

    • $h(x)=\dfrac{1}{16}x^6-\dfrac{17}{16}x^4+1$
    Da die Exponenten $6$ und $4$ nicht im Verhältnis $2:1$ zueinander stehen.

    • $h(x)=\dfrac{1}{16}x^8-\dfrac{17}{16}x^3+1$
    Da die Exponenten $8$ und $3$ nicht im Verhältnis $2:1$ zueinander stehen.

  • Ermittle die Nullstellen der Exponentialfunktion durch Substitution mit $z$.

    Tipps

    Potenzgleichungen können durch Logarithmen gelöst werden.

    Beispiel:

    $e^x=5 ~ \Leftrightarrow ~ x=\ln{5}$

    Es gilt:

    $e^{2x} = \left(e^x\right)^2$

    Lösung

    Um die Nullstellen der Exponentialfunktion $f(x)=e^{2x}-5e^x+6$ zu berechnen, muss die Gleichung $f(x) = 0$ gelöst werden.

    Wir berechnen die Nullstellen über eine Substitution. Dazu substituieren wir mit $e^x=z$.
    Wir können $e^{2x} = e^{2 \cdot x} = e^{x \cdot 2} = (e^x)^2$ umschreiben und dadurch kannst du $e^{2x}$ mit $z^2$ ersetzen.

    Daraus ergibt sich $f(z)=z^2-5z+6$.

    Mit der Mitternachtsformel erhält man folgende Werte:

    $z_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    $\Rightarrow \quad z_{1/2}=\dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1 } = \dfrac{5 \pm 1}{2} $

    Das ergibt $z_1= \dfrac {6}{2} = 3$ und $z_2= \dfrac {4}{2} = 2$.

    Resubstitution:

    $z_1 = e^{x_1} = 3 ~ \rightarrow ~ x_1 = \ln({3})$
    $z_2 = e^{x_2} = 2 ~ \rightarrow ~ x_2 = \ln({2})$

    Die Funktion hat $2$ Nullstellen. $ \rightarrow ~ N_1(\ln({3})\vert0)$ und $N_2(\ln({2})\vert0)$

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