30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Nullstellen durch Substitution bestimmen

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 5.0 / 2 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Nullstellen durch Substitution bestimmen
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Nullstellen durch Substitution bestimmen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Substitution anzuwenden, um Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades zu bestimmen.

Substitution

Zunächst lernst du, was der Grundgedanke der Substitution ist und in welchen Fällen sie angewendet werden kann. Anschließend wird die Anwendung der Substitution anhand einer biquadratischen Funktion vorgestellt. Abschließend erfährst du, wie durch eine geeignete Resubstitution die Nullstellen der Funktionsgleichung aus den Lösungen der substituierten Gleichung bestimmt werden.

Resubstitution

Lerne die Substitution kennen als Einladung zum Rollentausch und Perspektivenwechsel.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Polynom, Potenz, Exponent, Grad, ganzrationale Funktion, Substitution, Resubstitution, biquadratisch und Mitternachtsformel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man die Nullstellen von linearen und quadratischen Gleichungen berechnet. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu ganzrationalen Funktionen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Methoden zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen zu erlernen, wie beispielsweise die Polynomdivision.

Transkript Nullstellen durch Substitution bestimmen

Mit wem würdest du gerne mal die Plätze tauschen? Mit einer berühmten Künstlerin? Einem umjubelten Sport-Star? Oder vielleicht einem Mathe-Lehrer? Die ersten beiden wären ja sicher ganz nett, aber nur in der Haut eines Mathe-Lehrers wäre es ein Leichtes für dich, „Nullstellen durch Substitution zu bestimmen“ – und da wollen wir heute hin. Das Wort „Substitution“ leitet sich ab von „substituiere“ – das kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „ersetzen“. Die Frage ist: Was soll ersetzt werden und warum? Wie du vielleicht weißt, können die „Nullstellen“ einer Funktion bestimmt werden, indem der Funktionsterm gleich null gesetzt, und die Gleichung nach „x“ aufgelöst wird. Bei „linearen“ Gleichungen klappt das ganz gut, und für „quadratische“ Gleichungen gibt es die „P-Q-Formel“, sowie die allseits beliebte „Mitternachtsformel“. Bei Funktionen, die Polynome „höheren“ Grades enthalten, wird's allerdings schnell problematisch. Die „Substitution“ ist nun ein Mittel, um bestimmte Polynome höheren Grades zu vereinfachen. Einfach gesagt, werden dabei große Potenzen von „x“ durch kleinere ersetzt. Das kann man aber natürlich nicht einfach so machen! Die Umwandlung muss in sich stimmig sein und am Ende wieder rückgängig gemacht werden. Das klappt nur dann, wenn alle im Funktionsterm auftretenden „Exponenten von x“ jeweils im Verhältnis „Zwei zu Eins“ zueinanderstehen, also das doppelte voneinander sind. Das ist zum Beispiel hier der Fall, oder bei dieser Funktion, oder auch hier. Funktionen wie diese, in denen nur „x-hoch Vier“ und „x-Quadrat“ auftaucht, nennt man „Bi-quadratisch“. Das ist auch der häufigste Fall, der dir über den Weg laufen wird – hier kann man das Prinzip der Substitution gut verdeutlichen: Man ersetzt „x-Quadrat“ ganz einfach durch eine neue Variable, zum Beispiel „z“, und erhält So einen „quadratischen“ Funktionsterm für „F von z“. Diese Gleichung kann jetzt mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden. In unserem Beispiel erhalten wir die Lösungen „z-Eins gleich Neun“ und „z-Zwei gleich Vier“. Das sind jetzt aber nicht die Nullstellen von F von „x“ – denn wir haben ja F von „Z“ gleich Null gesetzt. Um von unseren Lösungen auf die eigentlichen Nullstellen zu kommen, müssen wir die Substitution wieder rückgängig machen. Das nennt man „Resubstitution“. Da wir „x-Quadrat“ zu „z“ gemacht haben, muss im Umkehrschluss gelten, dass aus „Wurzel-z“ wieder „x“ wird. Die Wurzeln unserer Lösungen „z-Eins“ und „z-Zwei“, müssen also zu den Nullstellen „x-Eins“ und „x-Zwei“ führen, also hier zu den Werten „Drei“ und „Zwei“. Und tatsächlich! Durch Einsetzen in die „Funktionsgleichung F von x“ sehen wir, dass diese beiden x-Werte wirklich die gesuchten Nullstellen sind. EINE Sache müssen wir aber noch bedenken: Durch unsere Substitution von „x-Quadrat“ durch „z“ fällt die Möglichkeit unter den Tisch, dass „x“ auch negativ sein könnte.
Da das „Minus“ beim Quadrieren herausfällt, führen nämlich ein Wert „x-Eins“ und dessen Gegenzahl „Minus-x-Eins“ zum selben Wert „Z-Eins“. Das heißt, bei unseren Nullstellen „x-Eins“ und „x-Zwei“ müssen wir berücksichtigen, dass auch deren Gegenzahlen Nullstellen von „F von x“ sind. Denn diese führen quadriert zu denselben Werten „z-Eins“ und „z-Zwei“, mit denen wir die substituierte Gleichung gelöst haben. Im Umkehrschluss heißt das, dass die positiven und negativen Werte der Wurzeln von „z-Eins“ und „z-Zwei“ Nullstellen von „F von x“ sein müssen. Dass das tatsächlich auch so ist, sehen wir, c. Es ist dabei kein Zufall, dass aus zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung plötzlich vier Lösungen einer Bi-quadratischen Gleichung werden, denn je höher der „Grad“ des Polynoms, desto mehr Nullstellen sind möglich. Ein Polynom N-ten Grades kann bis zu „N“ Nullstellen haben. So, jetzt sieh dir doch mal diese Funktionsgleichung in Ruhe an und versuche, die Nullstellen zu bestimmen. Gleich fassen wir das Ergebnis zusammen, das du mithilfe dieser Substitution berechnen kannst. Bereit? Eine „Substitution“ ist hilfreich, wenn eine Funktion als Polynom vorliegt, bei dem alle Exponenten von „x“ im Verhältnis „Zwei zu Eins“ stehen. So kann eine quadratische Gleichung aufgestellt werden, um die Lösungen mit bekannten Mitteln wie „P-Q-“ und „Mitternachtsformel“ zu bestimmen. Durch eine „Resubstitution“ werden aus den Lösungen dann die Nullstellen der ursprünglichen Funktion abgeleitet. Hier im Beispiel ist dafür das Ziehen der vierten Wurzel notwendig, was wieder zu vier Lösungen führt. Ein Perspektivenwechsel hilft übrigens nicht nur bei den Matheaufgaben, sondern kann generell das gegenseitige Verständnis in beide Richtungen fördern.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.016

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.226

Lernvideos

42.181

Übungen

37.281

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden