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Zweite Ableitung und Wendepunkte

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sofatutor Team
Zweite Ableitung und Wendepunkte
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Zweite Ableitung und Wendepunkte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Zweite Ableitung und Wendepunkte kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die zweite Ableitung.

    Tipps

    Bestimme zunächst die erste Ableitung. Den erhaltenen Term leitest du nochmal ab.

    Lösung

    $f(x)=10x^5-13x^3+4x+2$

    $f^{\prime}(x)=50x^4-39x^2+4$

    $f^{\prime\prime}(x)=200x^3-78x$

  • Bennene die Eigenschaften der Ableitungen.

    Tipps

    Die Steigung der Steigung ist die Änderung der Steigung.

    Lösung

    Die erste Ableitung gibt die Steigung der ursprünglichen Funktion an.

    Die Ableitung der Ableitung, also die zweite Ableitung, gibt die Steigung der Steigung bzw. die Krümmung der Funktion an.

    Für das Krümmungsverhalten der Funktion gilt:

    $f^{\prime\prime}(x)>0 \rightarrow f$ ist linksgekrümmt

    $f^{\prime\prime}(x)<0 \rightarrow f$ ist rechtsgekrümmt

  • Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung von Wendepunkten.

    Tipps

    Drei Aussagen sind richtig.

    Lösung

    Um die Wendepunkte zu bestimmen, geht man in drei Schritten vor.

    Zunächst muss man die erste Ableitung gleich null setzen. Die Lösungen dieser Gleichung sind die potenziellen Wendestellen.

    An den Wendestellen darf die dritte Ableitung nicht gleich null sein. Also setzt man die potenziellen Wendestellen in die dritte Ableitung ein und prüft, ob das Ergebnis ungleich null ist.

    Liegt ein Wendepunkt vor, muss noch die $y$-Koordinate bestimmt werden. Dazu setzt man die Wendestellen in die ursprüngliche Funktion ein.

  • Bestimme den Wendepunkt.

    Tipps

    $f''(x) = 6x - 12$

    Eine potenzielle Wendestelle liegt bei $x=2$.

    Lösung
    • Bilde zunächst die ersten drei Ableitungen:
    $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 5$

    $f'(x) = 3x^2 - 12x + 12$

    $f''(x) = 6x - 12$

    $f'''(x) = 6$

    • Setze dann die zweite Ableitung gleich Null und bestimme die Lösung:
    $f''(x) = 0 \implies 6x - 12=0 \implies x=2$

    • Setze die potenzielle Wendestelle in die dritte Ableitung ein:
    $f'''(2) = 6 \implies $ $f'''(2)\neq 0$

    Es liegt eine Wendestelle bei $x=2$ vor.

    • Bestimme die $y$-Koordinate durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.
    $f(2) = 2^3 - 6\cdot 2^2 + 12\cdot 2 - 5=3$

    • Der Wendepunkt hat die Koordinaten $(2\vert 3)$.
  • Gib die Eigenschaft einer Funktion am Wendepunkt an.

    Tipps

    Wenn du dir vorstellst, mit dem Fahrrad von $-\infty$ bis $+\infty$ auf dem Graphen zu fahren, ist der Wendepunkt der Punkt, an dem du den Lenker wendest, also über die Mitte von einer Seite auf die andere wechselst.

    Lösung

    Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem dem der Graph der Funktion von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder andersherum.

  • Bestimme das Krümmungsverhalten.

    Tipps

    Bilde die zweite Ableitung und prüfe, ob diese eine Nullstelle besitzt oder ob sie durchgängig das gleiche Vorzeichen hat.

    Wenn die zweite Ableitung null ist, liegt keine Krümmung vor.

    Lösung

    • $f(x)=x^2+3x-2$
    Die zweite Ableitung ist $f''(x)=2$, also ist die zweite Ableitung überall positiv und der Graph überall linksgekrümmt.

    Du kannst dir auch vorstellen, dass es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt und wenn du diese mit dem Fahrrad abfährst, würdest du die ganze Zeit nach links lenken.

    • $f(x)=-3x^4$
    Die zweite Ableitung ist $f''(x)=-36x^2$, also ist die zweite Ableitung überall negativ und der Graph überall rechtsgekrümmt.

    Der Graph ist ähnlich wie eine Parabel geformt und nach unten geöffnet. Wenn du diesen Graphen mit dem Rad abfährst, musst du die ganze Zeit nach rechts lenken.

    • $f(x)=0,5x+7$
    Die zweite Ableitung ist $f''(x)=0$, also ist die Ableitung weder positiv noch negativ und der Graph hat keine Krümmung. Es handlet sich um eine Gerade. Würdest du diese mit dem Fahrrad abfahren, müsstest du gar nicht lenken.

    • $f(x)=x^3$
    Die zweite Ableitung ist $f''(x)=6x$, also ist die Ableitung mal positiv und mal negativ – je nachdem, welche Zahl man für $x$ einsetzt. Also ändert sich das Krümmungsverhalten. Der Wendepunkt liegt hier bei $(0\vert 0)$.

    Der Graph hat einen S-förmigen Verlauf und wollte man entlang des Graphen fahren, müsste man in verschiedene Richtungen lenken.