Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen Übung

• Gib Eigenschaften der Polynomdivision an.

  Tipps

  Ziel der Polynomdivision ist es, einen Funktionsterm höheren Grades in Linearfaktoren zu zerlegen.

  Das Ergebnis einer Polynomdivision können wir zum Beispiel mit der $pq$- oder Mitternachtsformel auf weitere Nullstellen untersuchen.

  Lösung

  Wir betrachten Funktionen höheren Grades:

  $f_n(x)=a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0x^0$

  Für die Nullstellen von Funktionen höheren Grades gibt es keine Lösungsformel. Ist jedoch eine Nullstelle bereits bekannt, so können wir die Polynomdivision nutzen, um die weiteren Nullstellen zu bestimmen.
  Ziel ist es dabei, den Funktionsterm in Linearfaktoren zu zerlegen. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
  Bei der Polynomdivision dividieren wir den Funktionsterm durch einen Linearfaktor. Dabei verwenden wir die bereits bekannte Nullstelle $x_0$:

  $\left(a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0x^0\right) : (x-x_0)$

  Folgende Aussagen sind somit richtig:

  • Die Polynomdivision hilft uns, die Nullstellen von Funktionen höheren Grades zu bestimmen.
  • Um die Polynomdivision anwenden zu können, müssen wir eine Nullstelle bereits kennen.

  
  

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Mithilfe der Polynomdivision können wir die Linearfaktoren einer Funktion ausmultiplizieren.

  Falsch, stattdessen können wir mithilfe der Polynomdivision die Linearfaktoren einer Funktion ermitteln und diese dann faktorisieren.

  • Das Ergebnis der Polynomdivision entspricht immer einem Linearfaktor.

  Falsch, stattdessen entspricht der Divisor bei der Polynomdivision einem Linearfaktor. Das Ergebnis ist hingegen im Allgemeinen nicht linear. (Ausnahme: Wenn du einen quadratischen Term durch einen Linearfaktor teilst, erhältst du einen zweiten Linearfaktor. In diesem Fall wenden wir in der Regel aber nicht die Polynomdivision, sondern die $pq$- oder die Mitternachtsformel an.)

• Vervollständige die Polynomdivision.

  Tipps

  Die Vorgehensweise bei der Polynomdivision entspricht der Vorgehensweise beim schriftlichen Dividieren von ganzen Zahlen.

  Achte auf die Vorzeichen beim Subtrahieren.

  $2x^2 \cdot (x-3) = 2x^3-6x^2$

  Lösung

  Die Polynomdivision nutzen wir beim Bestimmen der Nullstellen von Funktionen höheren Grades.
  Ziel ist es dabei, den Funktionsterm in Linearfaktoren zu zerlegen. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
  Um die Linearfaktoren zu ermitteln, hilft uns die Polynomdivision. Dazu müssen wir die erste Nullstelle kennen.

  In unserem Fall lautet die Funktion
  $f(x)=2x^3-x^2-18x+9$.
  Die erste bekannte Nullstelle ist
  $x=3$.
  Wir dividieren den Funktionsterm also durch $(x-3)$, um den Funktionsterm in zwei Faktoren zu zerlegen:

  $(2x^3-x^2-18x+9) : (x-3)$

  Die gesamte Polynomdivision siehst du oben. Dabei gehen wir wie folgt vor:

  • Wir teilen den ersten Summanden $2x^3$ durch $x$, indem wir überlegen, womit wir $x$ multiplizieren müssen, damit $2x^3$ herauskommt. Das Ergebnis $2x^2$ notieren wir hinter dem Gleichheitszeichen.
  • Wir multiplizieren den gesamten Divisor, also $(x-3)$ mit $2x^2$ und schreiben das Ergebnis $2x^3-6x^2$ unter den Funktionsterm.
  • Wir subtrahieren nun die zweite Zeile von der ersten. Dabei fällt $2x^3$ weg und es bleibt $5x^2-18x+9$.
  • Wir überlegen nun, womit wir $x$ multiplizieren müssen, damit $5x^2$ herauskommt. Das Ergebnis $5x$ addieren wir beim Ergebnis.
  • Wir multiplizieren den ganzen Divisor mit $5x$ und erhalten $5x^2-15x$.
  • Wir subtrahieren diesen Term von der vorherigen Zeile und erhalten $-3x+9$.
  • Wir dividieren $-3x$ durch $x$ und notieren das Resultat $-3$ beim Ergebnis.
  • Wir multiplizieren $-3$ mit dem Divisor und schreiben das Ergebnis unter die letzte Zeile.
  • Beim Subtrahieren erhalten wir nun $0$, die Polynomdivision ist damit abgeschlossen.

  Wir können nun die Funktion in faktorisierter Form schreiben:

  $f(x)= (2x^3-x^2-18x+9)= (2x^2+5x-3) \cdot (x-3)$

  Wir können die übrigen Nullstellen mittels der $pq$-Formel oder Mitternachtsformel ermitteln, indem wir die quadratische Gleichung $2x^2+5x-3=0$ lösen. Die Funktion hat die Nullstellen:

  $x_1=3$, $x_2=- \dfrac{1}{2}$, $x_3=-3$

• Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ mithilfe der Polynomdivision.

  Tipps

  Bestimme zuerst die erste Nullstelle, indem du verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung einsetzt und überprüfst, ob das Ergebnis Null ist.

  Die letzten beiden Nullstellen erhältst du, indem du eine quadratische Gleichung löst.

  Lösung

  Wir wollen die Nullstellen der Funktion ermitteln. Bei einer Funktion höheren Grades müssen wir dazu die erste Nullstelle kennen und wenden dann die Polynomdivision an. Konkret gehen wir im Beispiel wie folgt vor:

  $f(x)=3x^3+1{,}5x^2-19{,}5x+9$

  1. Erste Nullstelle durch Probieren ermitteln:

  Wir setzen verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:

  $f(1)= 3 \cdot 1^3 + 1{,}5 \cdot 1^2 - 19{,}5 \cdot 1 + 9 = -6{,}5$
  $f(2)= 3 \cdot 2^3 + 1{,}5 \cdot 2^2 - 19{,}5 \cdot 2 + 9 = 0$

  $\Rightarrow ~ x_1=2$ ist also unsere erste Nullstelle.

  2. Polynomdivision anwenden:

  Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-2)$ abzuspalten:

  $\begin{array}{rrrrrccc} &(3x^3&+1{,}5x^2~\,& -19{,}5x~\,& +9) & : & (x-2) & = & 3x^2 & +7{,}5x & -4{,}5 \\ -& (3x^3 & -6x^2)&&&&&& \\ \hline & & 7{,}5x^2 & -19{,}5x~\,& +9~\,& \\ & - & (7{,}5x^2 & -15x) & \\ \hline & & & -4{,}5x & +9~\, \\ & &- & (-4{,}5x & +9) \\ \hline &&&&0 \end{array}$

  3. Quadratische Gleichung lösen:

  Wir können nun die Funktion schreiben als $f(x)= (3x^2+7{,}5x-4,5) \cdot (x-2)$. Da ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, können wir die weiteren Nullstellen der Funktion ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:

  $3x^2+7{,}5x-4{,}5 = 0$

  Dazu dividieren wir zuerst durch $3$ und erhalten:

  $x^2+2{,}5x - 1{,}5=0$

  Wir können nun die $pq$-Formel anwenden:

  $\begin{array}{ccll} x^2+2{,}5x-1{,}5 & = & 0 &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{2{,}5}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{2{,}5}{2}\right)^2+1{,}5} &\\ x_{2/3} & = & - 1{,}25 \pm \sqrt{3{,}0625} &\\ x_{2/3} & = & - 1{,}25 \pm 1{,}75&\\ \end{array}$

  Die Funktion hat also die Nullstellen:

  $x_1=2$
  $x_2= -1{,}25 + 1{,}75 =0{,}5$
  $x_3= -1{,}25 - 1{,}75 =-3$

• Wende die Polynomdivision an.

  Tipps

  Ermittle jeweils zuerst, mit welchem Term du $x$ multiplizieren musst, um den ersten Summanden der Funktion zu erhalten. Multipliziere anschließend den gesamten Divisor mit diesem Term.

  In diesem Bild kannst du ein Beispiel für eine Polynomdivision sehen.

  Lösung

  Die Polynomdivision wird wie die normale schriftliche Division durchgeführt. Ziel ist es, einen Funktionsterm höheren Grades in seine Linearfaktoren zu zerlegen, um seine Nullstellen zu bestimmen. Dazu müssen wir die erste Nullstelle kennen.

  In dieser Aufgabe ist die erste Nullstelle jeweils gegeben, sodass wir die Polynomdivision direkt durchführen können.

  Erste Funktion: $f(x)=x^3-4x^2-11x+30$

  $\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3& -4x^2~\,& -11x~\,& +30) & : & (x-2) & = & x^2 & -2x & -15 \\ -& (x^3 & -2x^2)&&&&&& \\ \hline & & -2x^2 & -11x~\,& +30~\,& \\ & - & (-2x^2 & +4x) & \\ \hline & & & -15x & +30~\, \\ & &- & (-15x & +30) \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$

  Zweite Funktion: $f(x)=4x^3+8x^2-20x-24$

  $\begin{array}{rrrrrccc} &(4x^3& +8x^2~\,& -20x & -24) & : & (x+1) & = & 4x^2 & +4x & -24 \\ -& (4x^3 & +4x^2)&&&&&& \\ \hline & & 4x^2 & -20x~\,& -24~\,& \\ & - & (4x^2 & +4x) & \\ \hline & & & -24x & -24~\, \\ & &- & (-24x & -24) \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$

  Dritte Funktion: $f(x)=x^3-9x$

  $\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3&& -10x~\,& +3)& : & (x-3) & = & x^2 & +3x & -1 \\ -& (x^3 & -3x^2)&&&&&& \\ \hline & & 3x^2 & -10x~\,& +3~\,& \\ & - & (3x^2 & -9x) & \\ \hline & & & -x & +3~\,& \\ &&-&(-x & +3) & \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$

• Bestimme die Nullstellen der Funktion aus den Linearfaktoren.

  Tipps

  Beispiel:

  $f(x)=(x-1)(x+4)(x-6)$ hat die Nullstellen:

  • $ x_1=1$
  • $ x_2=-4$
  • $ x_3=6$

  Ein konstanter Faktor hat keinen Einfluss auf die Nullstellen.

  Lösung

  Eine Funktionsgleichung, welche in Linearfaktoren zerlegt ist, sieht wie folgt aus:

  $f(x)= (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot ... \cdot (x-x_n)$

  Dabei sind $x_1, ... , x_n$ die Nullstellen der Funktion. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann also je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

  Wir betrachten dies an den gegebenen Funktionen:

  Erste Funktion: $f_1(x)=3(x-2)(x+1)$
  Die Funktion ist genau dann Null, wenn eine der beiden Klammern Null ist. Der konstante Faktor $3$ hat darauf keinen Einfluss. Somit ergeben sich die beiden Nullstellen:

  • $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=2$
  • $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=-1$

  Zweite Funktion: $f_2(x)=(x-3)(x+1)(x-2)$
  Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren, also eine der drei Klammern Null ist. Daraus ergeben sich folgende Nullstellen:

  • $x-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=3$
  • $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=-1$
  • $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=2$

  Dritte Funktion: $f_3(x)=(x+1)(x-2)(x+3)$
  Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren, also eine der drei Klammern Null ist. Daraus ergeben sich folgende Nullstellen:

  • $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=-1$
  • $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=2$
  • $x+3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=-3$

  Vierte Funktion: $f_4(x)= x(x-2)(x-3)$
  Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren Null ist. Der erste Faktor ist $x$, daher ist die erste Nullstelle $x_1=0$. Insgesamt ergeben sich folgende Nullstellen:

  • $x_1=0$
  • $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=2$
  • $x-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=3$

• Ermittle die Linearfaktordarstellung der Funktion.

  Tipps

  Gehe bei der ersten Funktion nach folgenden Schritten vor:

  • erste Nullstelle durch Probieren ermitteln
  • Polynomdivision durchführen
  • Quadratische Gleichung aufstellen und lösen
  • Nullstellen in Linearfaktorzerlegung einsetzen

  Hat eine Funktionsgleichung keinen konstanten Summanden, so kannst du ein $x$ ausklammern. Nach dem Satz vom Nullprodukt lautet eine Nullstelle dann $x_1=0$.

  Lösung

  Eine Funktion in Linearfaktordarstellung sieht wie folgt aus:

  $f(x)= (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot ... \cdot (x-x_n)$

  Dabei sind $x_1, ... , x_n$ die Nullstellen der Funktion. Um eine Funktion in ihre Linearfaktoren zu zerlegen, müssen wir also ihre Nullstellen ermitteln. Bei einer Funktion höheren Grades müssen wir dazu die erste Nullstelle kennen und wenden dann die Polynomdivision an. Konkret gehen wir wie folgt vor:

  Erste Funktion: $f(x)=3x^3-6x^2-57x+60$

  Wir ermitteln die erste Nullstelle durch Probieren. Dazu setzen wir verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:

  $f(-1)= 3 \cdot (-1)^3 -6 \cdot (-1)^2 - 57\cdot (-1) + 60 = 6$
  $f(1)= 3 \cdot 1^3 -6 \cdot 1^2 - 57\cdot 1 + 60 = 0$

  $\Rightarrow~ x_1=1$ ist unsere erste Nullstelle.
  Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-1)$ abzuspalten:

  $\begin{array}{rrrrrccc} &(3x^3&-6x^2~\,& -57x~\, & +60) & : & (x-1) & = & 3x^2 & -3x & -60 \\ -& (3x^3 & -3x^2)&&&&&& \\ \hline & & -3x^2 & -57x~\,& +60~\,& \\ & - & (-3x^2 & +3x) & \\ \hline & & & -60x & +60~\, \\ & &- & (-60x & +60) \\ \hline &&&&0 \end{array}$

  Wir können nun die Funktion schreiben als $f(x)= (3x^2-3x-60) \cdot (x-1)$. Da ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, können wir die weiteren Nullstellen der Funktion ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:

  $3x^2-3x-60 = 0$

  Dazu dividieren wir zuerst durch $3$ und erhalten:

  $x^2-x - 20=0$

  Wir können nun die $pq$-Formel anwenden:

  $\begin{array}{ccll} x^2-x-20 & = & 0 &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{-1}{2}\right)^2+20} &\\ x_{2/3} & = & 0{,}5 \pm \sqrt{20{,}25} &\\ x_{2/3} & = & 0{,}5 \pm 4{,}5&\\ \end{array}$

  Die Funktion hat also die Nullstellen:

  $x_1=1$
  $x_2= 0{,}5 + 4{,}5 =5$
  $x_3= 0{,}5-4{,}5 =-4$

  Wir können nun den Funktionsterm mithilfe der Linearfaktoren notieren. Dabei dürfen wir den Faktor $3$, den wir vorher beim quadratischen Term herausdividiert haben, nicht vergessen:

  $f(x)=3(x-1)(x-5)(x+4)$

  $\,$

  Zweite Funktion: $f(x)=x^4-3x^3-4x^2+12x$

  Da die Funktion keinen konstanten Faktor hat, können wir $x$ ausklammern:

  $f(x)= x(x^3-3x^2-4x+12)$

  $\Rightarrow~ x_1=0$ ist die erste Nullstelle.
  Wir bestimmen nun die weiteren Nullstellen, indem wir ermitteln, für welche $x$ der Term $(x^3-3x^2-4x+12)$ gleich Null wird. Den ersten $x$-Wert ermitteln wir durch Probieren. Dazu setzen wir verschiedene natürliche Zahlen ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:

  $x= 1$: $~1^3-3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1+12 = 6$
  $x = 2$: $~2^3-3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2+12 = 0$

  $\Rightarrow~ x_2=2$ ist eine weitere Nullstelle.
  Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-2)$ abzuspalten:

  $\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3&-3x^2~\,& -4x~\,& +12)& : & (x-2) & = & x^2 & -x & -6 \\ -& (x^3 & -2x^2)&&&&&& \\ \hline & & -x^2 & -4x~\,& +12~\,& \\ & - & (-x^2 & +2x) & \\ \hline & & & -6x & +12~\, \\ & &- & (-6x & +12) \\ \hline &&&&0 \end{array}$

  Die weiteren Nullstellen der Funktion können wir also ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:

  $x^2-x-6 = 0$

  Wir wenden dazu die $pq$-Formel an:

  $\begin{array}{ccll} x^2-x-6 & = & 0 &\\ x_{3/4} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{3/4} & = & - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{-1}{2}\right)^2+6} &\\ x_{3/4} & = & 0{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} &\\ x_{3/4} & = & 0{,}5 \pm 2{,}5&\\ \end{array}$

  Die Funktion hat also die Nullstellen:

  $x_1=0$
  $x_2=2$
  $x_3= 0{,}5 + 2{,}5 =3$
  $x_4= 0{,}5-2{,}5 =-2$

  Wir können nun den Funktionsterm mithilfe der Linearfaktoren notieren:

  $f(x)=x(x-2)(x-3)(x+2)$