Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen
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Grundlagen zum Thema Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Polynomdivision anzuwenden, um Nullstellen von Funktionen höheren Grades zu bestimmen.
Zunächst lernst du, was das Ziel und der Hintergedanke der Polynomdivision ist und wie das mit dem Satz vom Nullprodukt zusammenhängt.
Anschließend lernst du die Rechenschritte, die zur Anwendung der Polynomdivision notwendig sind.
Abschließend erfährst du, wie mit einer erfolgreichen Polynomdivision die Faktorisierung eines Funktionsterms gelingt und damit die Nullstellen der Funktion bestimmt werden können.
Lerne etwas über den absoluten Nullpunkt.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Nullstelle, Nullprodukt, Polynom, Polynomdivision, Division, Dividend, Funktion höheren Grades, ganzrationale Funktion, gebrochenrationale Funktion, pq-Formel, Mitternachtsformel, quadratische Lösungsformel, Faktorisierung, Linearfaktoren, konstantes Glied und absolutes Glied.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man die Nullstellen von linearen und quadratischen Funktionen bestimmt. Du solltest grundlegendes Wissen zur Lösung von linearen und quadratischen Gleichungen haben.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Bestimmung von Nullstellen im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion von Funktionen höheren Grades anzuwenden.
Nullstellen – Funktionen dritten Grads
Du kennst sicher schon die quadratischen Funktionen. Aber weißt du auch, was eine Funktion dritten Grads ist? Das kannst du dir leicht überlegen: Eine quadratische Funktion heißt quadratisch, weil die höchste Potenz der Variablen $x$ $2$ ist. Bei einer Funktion dritten Grads ist die höchste Potenz der Variablen $3$.
Funktionen dritten Grads – Beispiel:
Ein Beispiel für eine Funktion dritten Grads siehst du hier:
$f(x) = x^{3} + 6x^{2} +11x +6$
Natürlich kannst du auch bei einer solchen Funktion nach charakteristischen Punkten suchen, wie zum Beispiel den Nullstellen.
Nullstellen berechnen bei einer Funktion dritten Grads – Beispiel
Funktionen dritten Grads können unterschiedlich viele Nullstellen aufweisen: keine, eine, zwei oder drei. Um diese zu finden, müssen wir die Funktion zunächst mit null gleichsetzen:
$x^{3} + 6x^{2} +11x +6 = 0$
Im Gegensatz zu einer quadratischen Funktion können wir jetzt allerdings nicht einfach die pq-Formel anwenden. Die Nullstellen einer Funktion dritten Grads kann man im Allgemeinen nur mithilfe der Polynomdivision berechnen. Um die Polynomdivision durchführen zu können, müssen wir allerdings eine Nullstelle kennen.
1. Schritt: erste Nullstellen erraten
Manchmal erschließt sich eine erste Nullstelle aus dem Zusammenhang der Aufgabe, aber häufig müssen wir sie erraten. Natürlich raten wir nicht einfach so, sondern versuchen, systematisch vorzugehen. In der Regel setzt man für $x$ nacheinander die Zahlen $[1, -1, 2, -2, 3, -3, ...]$ und so weiter ein.
Wir beginnen auch bei der gegebenen Funktion mit $1$:
$1^{3} + 6\cdot1^{2} +11\cdot 1 +6 = 24 \neq 0 $
$1$ ist also keine Nullstelle. Testen wir $-1$:
$(-1)^{3} + 6\cdot(-1)^{2} +11\cdot(-1) +6 = -1 + 6 -11 +6 = 0$
Damit haben wir die erste Nullstelle der Funktion gefunden: $x_1 = -1$.
2. Schritt: Polynomdivision durchführen
Diese Nullstelle können wir jetzt benutzen, um eine Polynomdivision durchzuführen. Dazu teilen wir die Funktion durch den
$(x - x_1) = (x - (-1)) = (x +1)$.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$(x^{3} + 6x^{2} +11x +6) : (x +1)= x^{2} + 5x + 6$
Die verbleibenden Nullstellen der Funktion dritten Grads sind die Nullstellen dieser quadratischen Funktion. Warum das so ist, können wir leicht sehen. Wir haben in der Polynomdivision die Ausgangsfunktion durch $(x+1)$ geteilt:
$x^{2} + 5x + 6 = f(x) : (x+1)$
Wenn wir beide Seiten mit $(x+1)$ multiplizieren, erhalten wir:
$(x^{2} + 5x + 6) \cdot (x+1) = f(x)$
Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. Für den zweiten Faktor kennen wir die Nullstelle bereits, denn das ist ja gerade $-1$. Also brauchen wir nur noch die Nullstellen des ersten Faktors:
$x^{2} + 5x + 6 = 0$
Das ist eine quadratische Funktion, also können wir hier einfach die pq-Formel anwenden:
$x_{2,3} = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{ \biggl( \frac{5}{2} \biggr)^{2} -6 } $
$\Rightarrow x_2 = -2 ; x_3 = -3$
Damit haben wir alle Nullstellen bestimmt: $x_1 = -1, x_2 = -2, x_3 = -3$. Zur Überprüfung können wir uns den Funktionsgraphen anschauen:
Kurze Zusammenfassung von dem Video Nullstellen berechnen – Funktion dritten Grades
In diesem Video lernst du, wie man mithilfe der Polynomdivision und den Regeln für quadratische Gleichungen die Nullstellen von Funktionen dritten Grads bestimmen kann. Dafür solltest du schon wissen, was die Polynomdivision ist und wie man die pq-Formel anwendet.
Transkript Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen
Was ist für dich der „absolute Nullpunkt“? Dein Interesse für Mathe? Oder die tiefste Temperatur, die es gibt? Null Kelvin? Wir steigen heute mal hinab in die „tiefsten Tiefen der Nullstellensuche“, und lernen, wie man „Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen“ kann. Die Fragen, wozu Nullstellen gut sind und wie man sie bei einfachen Funktionen herausfindet, haben wir längst hinter uns gelassen. Uns geht es um die harten Brocken: Funktionen höheren Grades, die man nicht einfach umstellen kann, und für die es keine Lösungsformel gibt. Eiskalte Funktionen, wie diese hier. Unser Ziel ist es, den Funktionsterm zu faktorisieren, also in ein Produkt aus „Linearfaktoren“ umzuwandeln. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann „gleich Null“ wird, wenn einer der Faktoren „gleich Null“ ist. Das ist der „Satz vom Nullprodukt“. Wie kommt man aber auf die Linearfaktoren? Dabei hilft die „Polynomdivision“. Sobald man eine Nullstelle kennt, kann man das „Polynom“, also hier den gesamten Funktionsterm, durch „x Minus die Nullstelle“ teilen, also dividieren. Das Ergebnis wird ein vereinfachter Faktor sein. Wenn man diesen wieder mit dem „Divisor“ multiplizieren würde, käme man wieder auf den ursprünglichen Term. Der Term wird also in zwei Faktoren zerlegt. Aber da gibt's ein Problem! Damit das klappt, muss ja eine Nullstelle bereits bekannt sein! Da gibt es jetzt zwei Möglichkeiten: Entweder, eine Nullstelle ist bereits angegeben – das wäre natürlich ein Lichtblick. oder, es lässt sich eine Nullstelle durch Probieren herausfinden. Jap, einfach mal irgendwas Einsetzen ist hier tatsächlich das Mittel der Wahl! Üblicherweise sind „Eins“ und „Minus-Eins“ gute Kandidaten. Klappt das nicht, lohnt es sich, das „absolute“ oder auch „konstante Glied“ des Polynoms genauer zu betrachten. Dieses ist nämlich immer das Vielfache einer Nullstelle, wie in diesem Beispiel ein Vielfaches von „x-Eins gleich Drei“. Okay! Jetzt haben wir eine Nullstelle, und legen los mir der Polynomdivision! Wir stellen also „x minus Drei“ als Divisor hinter den Funktionsterm. Im ersten Schritt wird nun der erste Summand durch „x“ geteilt. Also überlegen wir uns, womit wir „x“ multiplizieren müssten, damit „Zwei x hoch Drei“ herauskommt – richtig, mit „Zwei x-Quadrat“. Jetzt machen wir genau das: Wir multiplizieren den gesamten Divisor mit „Zwei x-Quadrat“ und erhalten das gewünschte „Zwei x hoch Drei“, und „Minus-Sechs x-Quadrat“, das hier noch dazukommt und auch unter den Funktionsterm geschrieben wird. Dann ziehen wir die zweite Zeile von der ersten ab. Dazu setzen wir den gerade erhaltenen Term in Klammern und ein „Minus“ davor. So drehen sich die Vorzeichen um und wir können die zwei Zeilen einfach zusammenrechnen. „Zwei x hoch Drei“ fällt dabei heraus – das war ja der Plan. Die restlichen Terme werden auch addiert, und das Ergebnis nach unten geschrieben. Das wiederholen wir jetzt so oft, bis alle Summanden abgearbeitet sind. Als nächstes betrachten wir also „Fünf x-Quadrat“. Das bekommen wir, wenn wir x mit „Fünf x“ multiplizieren – also machen wir das. Jetzt führen wir die Multiplikation wieder mit dem ganzen Divisor aus, und schreiben das Ergebnis in die nächste Zeile. Wir drehen wieder die Vorzeichen der Zeile um, und addieren dann die beiden letzten Zeilen. Ein letzter Schritt noch: „Minus-drei“ mal x ergibt „Minus-drei x“, und „Minus-drei mal Minus-drei“ gibt Neun. Jetzt wird nach dem Umdrehen der Vorzeichen, und der Addition der Zeilen, kein Rest mehr bleiben. Die Polynomdivision ist also aufgegangen. Damit haben wir den Funktionsterm erfolgreich in zwei Faktoren zerlegt. Der zweite Faktor ist nun für sich genommen eine quadratische Gleichung, die mit der P-Q-Formel oder der Mitternachtsformel gelöst werden kann. Daraus ergeben sich zwei weitere Nullstellen, „x-zwei gleich Einhalb“ und „x-drei gleich Minus-drei“. Mit diesen haben wir dann alle Linearfaktoren beisammen. Die Polynomdivision klappt bei allen Polynomen höheren Grades, nur musst du sie eventuell mehrmals hintereinander ausführen, bis alles zerlegt ist. Bei einer „gebrochen rationalen Funktion“ reicht es, nur das Polynom im Zähler zu zerlegen. Denn die Nullstellen des Zählers sind auch die Nullstellen der gesamten Funktion, solange sie nicht auch Nullstellen des Nenners sind und damit Definitionslücken wären. So, jetzt lass uns das Wichtigste nochmal zusammenfassen! Die „Polynomdivision“ dient dazu, einen Funktionsterm höheren Grades zu faktorisieren. Sie wird anhand einer bereits bekannten Nullstelle der Polynomfunktion durchgeführt, und beinhaltet mehrere Rechenschritte, die immer nach dem gleichen Muster ablaufen. Durch die Faktorisierung können schließlich weitere Nullstellen der Funktion ermittelt werden. Und so finden wir schließlich auch die allerletzte Nullstelle, unseren absoluten Nullpunkt. Bloß wer holt uns jetzt hier wieder raus?
Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen Übung
-
Gib Eigenschaften der Polynomdivision an.
TippsZiel der Polynomdivision ist es, einen Funktionsterm höheren Grades in Linearfaktoren zu zerlegen.
Das Ergebnis einer Polynomdivision können wir zum Beispiel mit der $pq$- oder Mitternachtsformel auf weitere Nullstellen untersuchen.
LösungWir betrachten Funktionen höheren Grades:
$f_n(x)=a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0x^0$
Für die Nullstellen von Funktionen höheren Grades gibt es keine Lösungsformel. Ist jedoch eine Nullstelle bereits bekannt, so können wir die Polynomdivision nutzen, um die weiteren Nullstellen zu bestimmen.
Ziel ist es dabei, den Funktionsterm in Linearfaktoren zu zerlegen. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
Bei der Polynomdivision dividieren wir den Funktionsterm durch einen Linearfaktor. Dabei verwenden wir die bereits bekannte Nullstelle $x_0$:$\left(a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0x^0\right) : (x-x_0)$
Folgende Aussagen sind somit richtig:
- Die Polynomdivision hilft uns, die Nullstellen von Funktionen höheren Grades zu bestimmen.
- Um die Polynomdivision anwenden zu können, müssen wir eine Nullstelle bereits kennen.
Folgende Aussagen sind falsch:
- Mithilfe der Polynomdivision können wir die Linearfaktoren einer Funktion ausmultiplizieren.
- Das Ergebnis der Polynomdivision entspricht immer einem Linearfaktor.
-
Vervollständige die Polynomdivision.
TippsDie Vorgehensweise bei der Polynomdivision entspricht der Vorgehensweise beim schriftlichen Dividieren von ganzen Zahlen.
Achte auf die Vorzeichen beim Subtrahieren.
$2x^2 \cdot (x-3) = 2x^3-6x^2$
LösungDie Polynomdivision nutzen wir beim Bestimmen der Nullstellen von Funktionen höheren Grades.
Ziel ist es dabei, den Funktionsterm in Linearfaktoren zu zerlegen. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
Um die Linearfaktoren zu ermitteln, hilft uns die Polynomdivision. Dazu müssen wir die erste Nullstelle kennen.In unserem Fall lautet die Funktion
$f(x)=2x^3-x^2-18x+9$.
Die erste bekannte Nullstelle ist
$x=3$.
Wir dividieren den Funktionsterm also durch $(x-3)$, um den Funktionsterm in zwei Faktoren zu zerlegen:$(2x^3-x^2-18x+9) : (x-3)$
Die gesamte Polynomdivision siehst du oben. Dabei gehen wir wie folgt vor:
- Wir teilen den ersten Summanden $2x^3$ durch $x$, indem wir überlegen, womit wir $x$ multiplizieren müssen, damit $2x^3$ herauskommt. Das Ergebnis $2x^2$ notieren wir hinter dem Gleichheitszeichen.
- Wir multiplizieren den gesamten Divisor, also $(x-3)$ mit $2x^2$ und schreiben das Ergebnis $2x^3-6x^2$ unter den Funktionsterm.
- Wir subtrahieren nun die zweite Zeile von der ersten. Dabei fällt $2x^3$ weg und es bleibt $5x^2-18x+9$.
- Wir überlegen nun, womit wir $x$ multiplizieren müssen, damit $5x^2$ herauskommt. Das Ergebnis $5x$ addieren wir beim Ergebnis.
- Wir multiplizieren den ganzen Divisor mit $5x$ und erhalten $5x^2-15x$.
- Wir subtrahieren diesen Term von der vorherigen Zeile und erhalten $-3x+9$.
- Wir dividieren $-3x$ durch $x$ und notieren das Resultat $-3$ beim Ergebnis.
- Wir multiplizieren $-3$ mit dem Divisor und schreiben das Ergebnis unter die letzte Zeile.
- Beim Subtrahieren erhalten wir nun $0$, die Polynomdivision ist damit abgeschlossen.
$f(x)= (2x^3-x^2-18x+9)= (2x^2+5x-3) \cdot (x-3)$
Wir können die übrigen Nullstellen mittels der $pq$-Formel oder Mitternachtsformel ermitteln, indem wir die quadratische Gleichung $2x^2+5x-3=0$ lösen. Die Funktion hat die Nullstellen:
$x_1=3$, $x_2=- \dfrac{1}{2}$, $x_3=-3$
-
Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ mithilfe der Polynomdivision.
TippsBestimme zuerst die erste Nullstelle, indem du verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung einsetzt und überprüfst, ob das Ergebnis Null ist.
Die letzten beiden Nullstellen erhältst du, indem du eine quadratische Gleichung löst.
LösungWir wollen die Nullstellen der Funktion ermitteln. Bei einer Funktion höheren Grades müssen wir dazu die erste Nullstelle kennen und wenden dann die Polynomdivision an. Konkret gehen wir im Beispiel wie folgt vor:
$f(x)=3x^3+1{,}5x^2-19{,}5x+9$
1. Erste Nullstelle durch Probieren ermitteln:
Wir setzen verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:
$f(1)= 3 \cdot 1^3 + 1{,}5 \cdot 1^2 - 19{,}5 \cdot 1 + 9 = -6{,}5$
$f(2)= 3 \cdot 2^3 + 1{,}5 \cdot 2^2 - 19{,}5 \cdot 2 + 9 = 0$$\Rightarrow ~ x_1=2$ ist also unsere erste Nullstelle.
2. Polynomdivision anwenden:
Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-2)$ abzuspalten:
$\begin{array}{rrrrrccc} &(3x^3&+1{,}5x^2~\,& -19{,}5x~\,& +9) & : & (x-2) & = & 3x^2 & +7{,}5x & -4{,}5 \\ -& (3x^3 & -6x^2)&&&&&& \\ \hline & & 7{,}5x^2 & -19{,}5x~\,& +9~\,& \\ & - & (7{,}5x^2 & -15x) & \\ \hline & & & -4{,}5x & +9~\, \\ & &- & (-4{,}5x & +9) \\ \hline &&&&0 \end{array}$
3. Quadratische Gleichung lösen:
Wir können nun die Funktion schreiben als $f(x)= (3x^2+7{,}5x-4,5) \cdot (x-2)$. Da ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, können wir die weiteren Nullstellen der Funktion ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:
$3x^2+7{,}5x-4{,}5 = 0$
Dazu dividieren wir zuerst durch $3$ und erhalten:
$x^2+2{,}5x - 1{,}5=0$
Wir können nun die $pq$-Formel anwenden:
$\begin{array}{ccll} x^2+2{,}5x-1{,}5 & = & 0 &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{2{,}5}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{2{,}5}{2}\right)^2+1{,}5} &\\ x_{2/3} & = & - 1{,}25 \pm \sqrt{3{,}0625} &\\ x_{2/3} & = & - 1{,}25 \pm 1{,}75&\\ \end{array}$
Die Funktion hat also die Nullstellen:
$x_1=2$
$x_2= -1{,}25 + 1{,}75 =0{,}5$
$x_3= -1{,}25 - 1{,}75 =-3$ -
Wende die Polynomdivision an.
TippsErmittle jeweils zuerst, mit welchem Term du $x$ multiplizieren musst, um den ersten Summanden der Funktion zu erhalten. Multipliziere anschließend den gesamten Divisor mit diesem Term.
In diesem Bild kannst du ein Beispiel für eine Polynomdivision sehen.
LösungDie Polynomdivision wird wie die normale schriftliche Division durchgeführt. Ziel ist es, einen Funktionsterm höheren Grades in seine Linearfaktoren zu zerlegen, um seine Nullstellen zu bestimmen. Dazu müssen wir die erste Nullstelle kennen.
In dieser Aufgabe ist die erste Nullstelle jeweils gegeben, sodass wir die Polynomdivision direkt durchführen können.
Erste Funktion: $f(x)=x^3-4x^2-11x+30$
$\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3& -4x^2~\,& -11x~\,& +30) & : & (x-2) & = & x^2 & -2x & -15 \\ -& (x^3 & -2x^2)&&&&&& \\ \hline & & -2x^2 & -11x~\,& +30~\,& \\ & - & (-2x^2 & +4x) & \\ \hline & & & -15x & +30~\, \\ & &- & (-15x & +30) \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$
Zweite Funktion: $f(x)=4x^3+8x^2-20x-24$
$\begin{array}{rrrrrccc} &(4x^3& +8x^2~\,& -20x & -24) & : & (x+1) & = & 4x^2 & +4x & -24 \\ -& (4x^3 & +4x^2)&&&&&& \\ \hline & & 4x^2 & -20x~\,& -24~\,& \\ & - & (4x^2 & +4x) & \\ \hline & & & -24x & -24~\, \\ & &- & (-24x & -24) \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$
Dritte Funktion: $f(x)=x^3-9x$
$\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3&& -10x~\,& +3)& : & (x-3) & = & x^2 & +3x & -1 \\ -& (x^3 & -3x^2)&&&&&& \\ \hline & & 3x^2 & -10x~\,& +3~\,& \\ & - & (3x^2 & -9x) & \\ \hline & & & -x & +3~\,& \\ &&-&(-x & +3) & \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$
-
Bestimme die Nullstellen der Funktion aus den Linearfaktoren.
TippsBeispiel:
$f(x)=(x-1)(x+4)(x-6)$ hat die Nullstellen:
- $ x_1=1$
- $ x_2=-4$
- $ x_3=6$
Ein konstanter Faktor hat keinen Einfluss auf die Nullstellen.
LösungEine Funktionsgleichung, welche in Linearfaktoren zerlegt ist, sieht wie folgt aus:
$f(x)= (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot ... \cdot (x-x_n)$
Dabei sind $x_1, ... , x_n$ die Nullstellen der Funktion. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann also je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
Wir betrachten dies an den gegebenen Funktionen:
Erste Funktion: $f_1(x)=3(x-2)(x+1)$
Die Funktion ist genau dann Null, wenn eine der beiden Klammern Null ist. Der konstante Faktor $3$ hat darauf keinen Einfluss. Somit ergeben sich die beiden Nullstellen:- $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=2$
- $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=-1$
Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren, also eine der drei Klammern Null ist. Daraus ergeben sich folgende Nullstellen:- $x-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=3$
- $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=-1$
- $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=2$
Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren, also eine der drei Klammern Null ist. Daraus ergeben sich folgende Nullstellen:- $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=-1$
- $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=2$
- $x+3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=-3$
Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren Null ist. Der erste Faktor ist $x$, daher ist die erste Nullstelle $x_1=0$. Insgesamt ergeben sich folgende Nullstellen:- $x_1=0$
- $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=2$
- $x-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=3$
-
Ermittle die Linearfaktordarstellung der Funktion.
TippsGehe bei der ersten Funktion nach folgenden Schritten vor:
- erste Nullstelle durch Probieren ermitteln
- Polynomdivision durchführen
- Quadratische Gleichung aufstellen und lösen
- Nullstellen in Linearfaktorzerlegung einsetzen
Hat eine Funktionsgleichung keinen konstanten Summanden, so kannst du ein $x$ ausklammern. Nach dem Satz vom Nullprodukt lautet eine Nullstelle dann $x_1=0$.
LösungEine Funktion in Linearfaktordarstellung sieht wie folgt aus:
$f(x)= (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot ... \cdot (x-x_n)$
Dabei sind $x_1, ... , x_n$ die Nullstellen der Funktion. Um eine Funktion in ihre Linearfaktoren zu zerlegen, müssen wir also ihre Nullstellen ermitteln. Bei einer Funktion höheren Grades müssen wir dazu die erste Nullstelle kennen und wenden dann die Polynomdivision an. Konkret gehen wir wie folgt vor:
Erste Funktion: $f(x)=3x^3-6x^2-57x+60$
Wir ermitteln die erste Nullstelle durch Probieren. Dazu setzen wir verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:
$f(-1)= 3 \cdot (-1)^3 -6 \cdot (-1)^2 - 57\cdot (-1) + 60 = 6$
$f(1)= 3 \cdot 1^3 -6 \cdot 1^2 - 57\cdot 1 + 60 = 0$$\Rightarrow~ x_1=1$ ist unsere erste Nullstelle.
Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-1)$ abzuspalten:$\begin{array}{rrrrrccc} &(3x^3&-6x^2~\,& -57x~\, & +60) & : & (x-1) & = & 3x^2 & -3x & -60 \\ -& (3x^3 & -3x^2)&&&&&& \\ \hline & & -3x^2 & -57x~\,& +60~\,& \\ & - & (-3x^2 & +3x) & \\ \hline & & & -60x & +60~\, \\ & &- & (-60x & +60) \\ \hline &&&&0 \end{array}$
Wir können nun die Funktion schreiben als $f(x)= (3x^2-3x-60) \cdot (x-1)$. Da ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, können wir die weiteren Nullstellen der Funktion ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:
$3x^2-3x-60 = 0$
Dazu dividieren wir zuerst durch $3$ und erhalten:
$x^2-x - 20=0$
Wir können nun die $pq$-Formel anwenden:
$\begin{array}{ccll} x^2-x-20 & = & 0 &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{-1}{2}\right)^2+20} &\\ x_{2/3} & = & 0{,}5 \pm \sqrt{20{,}25} &\\ x_{2/3} & = & 0{,}5 \pm 4{,}5&\\ \end{array}$
Die Funktion hat also die Nullstellen:
$x_1=1$
$x_2= 0{,}5 + 4{,}5 =5$
$x_3= 0{,}5-4{,}5 =-4$Wir können nun den Funktionsterm mithilfe der Linearfaktoren notieren. Dabei dürfen wir den Faktor $3$, den wir vorher beim quadratischen Term herausdividiert haben, nicht vergessen:
$f(x)=3(x-1)(x-5)(x+4)$
$\,$
Zweite Funktion: $f(x)=x^4-3x^3-4x^2+12x$
Da die Funktion keinen konstanten Faktor hat, können wir $x$ ausklammern:
$f(x)= x(x^3-3x^2-4x+12)$
$\Rightarrow~ x_1=0$ ist die erste Nullstelle.
Wir bestimmen nun die weiteren Nullstellen, indem wir ermitteln, für welche $x$ der Term $(x^3-3x^2-4x+12)$ gleich Null wird. Den ersten $x$-Wert ermitteln wir durch Probieren. Dazu setzen wir verschiedene natürliche Zahlen ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:$x= 1$: $~1^3-3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1+12 = 6$
$x = 2$: $~2^3-3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2+12 = 0$$\Rightarrow~ x_2=2$ ist eine weitere Nullstelle.
Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-2)$ abzuspalten:$\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3&-3x^2~\,& -4x~\,& +12)& : & (x-2) & = & x^2 & -x & -6 \\ -& (x^3 & -2x^2)&&&&&& \\ \hline & & -x^2 & -4x~\,& +12~\,& \\ & - & (-x^2 & +2x) & \\ \hline & & & -6x & +12~\, \\ & &- & (-6x & +12) \\ \hline &&&&0 \end{array}$
Die weiteren Nullstellen der Funktion können wir also ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:
$x^2-x-6 = 0$
Wir wenden dazu die $pq$-Formel an:
$\begin{array}{ccll} x^2-x-6 & = & 0 &\\ x_{3/4} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{3/4} & = & - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{-1}{2}\right)^2+6} &\\ x_{3/4} & = & 0{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} &\\ x_{3/4} & = & 0{,}5 \pm 2{,}5&\\ \end{array}$
Die Funktion hat also die Nullstellen:
$x_1=0$
$x_2=2$
$x_3= 0{,}5 + 2{,}5 =3$
$x_4= 0{,}5-2{,}5 =-2$Wir können nun den Funktionsterm mithilfe der Linearfaktoren notieren:
$f(x)=x(x-2)(x-3)(x+2)$
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