Kurvendiskussion – Übungen

1)

Frage: Was versteht man unter dem Definitionsbereich einer Funktion $f$?

Antwort: Alle $x$-Werte, für die $f(x)$ definiert ist.

Erläuterung:

• Der Definitionsbereich gibt an, für welche $x$-Werte der Funktionsterm definiert ist.
• Beispielsweise ist bei der Funktion $f(x)=\frac{1}{x-2}$ der Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus \lbrace 2 \rbrace$, da $x=2$ eine Division durch Null bewirkt.
• Bei Wurzelfunktionen wie $g(x)=\sqrt{x-3}$ ist der Definitionsbereich $[3,\infty[$ (alle reellen Zahlen größer gleich $3$), da unter der Wurzel kein negativer Wert stehen darf.
• Um den Definitionsbereich zu bestimmen, überprüft man, für welche $x$-Werte der Funktionsterm nicht definiert ist, um diese Werte aus dem Definitionsbereich auszuschließen.

2)

Frage: Was bezeichnet man als Nullstelle einer Funktion $f$?

Antwort: Ein $x$-Wert, für den $f(x)=0$.

Erläuterung:

• Nullstellen sind Schnittpunkte des Graphen von $f(x)$ mit der $x$-Achse.
• Um sie zu finden, setzt man $f(x)=0$ und löst nach $x$ auf.
• Beispiel: Für $h(x)=x^2 - 4$ löst man $x^2 - 4 = 0$, was zu $x_{1,2} = \pm 2$ führt.
• Nullstellen sind wichtig, um das Vorzeichen von $f(x)$ in Intervallen zu bestimmen (Vorzeichenwechsel).

3)

Frage: Wie bestimmt man die Extrempunkte einer Funktion $f(x)$?

Antwort: Man löst $f'(x)=0$ und untersucht das Vorzeichen von $f''(x)$.

Erläuterung:

• Zuerst bildet man die erste Ableitung $f'(x)$.
• Extremstellen liegen dort, wo $f'(x)=0$ gilt (kritische Punkte).
• Anschließend prüft man in diesen Punkten das Vorzeichen der zweiten Ableitung $f''(x)$:
  • Ist $f''(x) > 0$, liegt dort ein Minimum (Tiefpunkt).
  • Ist $f''(x) < 0$, liegt dort ein Maximum (Hochpunkt).
• Beispiel: Für $f(x)=x^3 - 3x$ gilt $f'(x)=3x^2 - 3$.
  • Setzt man $3x^2 - 3 = 0$, erhält man $x_{1,2} = \pm 1$.
  • Weiter: $f''(x) = 6x$.
    • Bei $x_1 = -1$ ist $f''(-1) = -6 < 0$ ⇒ Maximum.
    • Bei $x_2 = 1$ ist $f''(1) = 6 > 0$ ⇒ Minimum.
• Die $y$-Koordinaten der Extrempunkte lauten $f(-1)=2$ und $f(1)=-2$.

4)

Frage: Was ist die Bedingung für einen Wendepunkt bei einer zweimal differenzierbaren Funktion $f(x)$?

Antwort: $f''(x)=0$ und Wechsel des Krümmungsverhaltens.

Erläuterung:

• Ein Wendepunkt liegt dort, wo der Graph seine Krümmung von rechtsgekrümmt („konkav“) in linksgekrümmt („konvex“) (oder umgekehrt) wechselt.
• Zunächst bestimmt man die zweite Ableitung $f''(x)$.
• Als notwendige Bedingung muss $f''(x)=0$ gelten.
• Zur Bestätigung des Wendepunkts prüft man, ob das Vorzeichen von $f''(x)$ auf beiden Seiten von $x$ wechselt (alternativ kann auch überprüft werden, ob $f'''(x)\neq0$ gilt).
• Beispiel: $f(x)=x^3$ ⇒ $f''(x)=6x$.
  • Setzt man $6x = 0$, so erhält man $x=0$.
  • Links von 0 ist $f''(x) < 0$, rechts von 0 ist $f''(x) > 0$ ⇒ Krümmungswechsel.
  • Damit ist $x=0$ eine Wendestelle mit der $y$-Koordinate $f(0)=0$.

5)

Frage: Wie lautet das Kriterium für Achsensymmetrie und Punktsymmetrie einer Funktion $f(x)$?

Antwort: Achsensymmetrisch, wenn $f(-x)=f(x)$; punktsymmetrisch, wenn $f(-x)=-f(x)$

Erläuterung:

• Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn für alle $x$ gilt: $f(-x) = f(x)$.
• Dann ergibt sich für den Punkt $(x, f(x))$ auf der einen Seite der $y$-Achse der Spiegelpunkt $(-x, f(x))$ auf der anderen Seite.
• Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle $x$ gilt: $f(-x) = -f(x)$.
• Dann liegt der Punkt $(-x, -f(x))$ bezüglich des Ursprungs diametral gegenüber von dem Punkt $(x, f(x))$.
• Beispiel Achsensymmetrie: $f(x) = x^2$ → $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
• Beispiel Punktsymmetrie: $g(x) = x^3$ → $g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$.

6)

Frage: Woran erkennt man Monotonieintervalle einer differenzierbaren Funktion $f(x)$?

Antwort: An der Untersuchung des Vorzeichens von $f'(x)$

Erläuterung:

• Die Funktion ist an einem Intervall streng monoton steigend, wenn $f'(x) > 0$ für alle $x$ in diesem Intervall gilt.
• Sie ist streng monoton fallend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.
• Man findet zunächst die kritischen Punkte durch Lösen von $f'(x)=0$.
• Anschließend testet man in den Intervallen zwischen den kritischen Punkten das Vorzeichen von $f'(x)$.
• Beispiel: $f(x)=x^3 - 3x$ ⇒ $f'(x)=3x^2 - 3$.
  • $3x^2 - 3 = 0$ ⇒ $x_{1,2} = \pm 1$.
  • Für $x < -1$ ist $f'(x) > 0$ ⇒ steigend.
  • Für $-1 < x < 1$ ist $f'(x) < 0$ ⇒ fallend.
  • Für $x > 1$ ist $f'(x) > 0$ ⇒ steigend.

7)

Frage: Was gibt das Krümmungsverhalten einer Funktion $f$ an?

Antwort: Ob der Graph nach rechts oder links gekrümmt ist, bestimmt durch das Vorzeichen von $f''(x)$.

Erläuterung:

• Ist $f''(x) > 0$, ist der Graph in diesem Bereich nach links gekrümmt (konvex).
• Ist $f''(x) < 0$, ist der Graph nach rechts gekrümmt (konkav).
• Wendepunkte liegen dort, wo das Vorzeichen von $f''(x)$ wechselt (siehe Frage 4).

$f(x)=x^3-6x^2+9x$ ist eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion).
Daher ist der Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen).
Ganzrationale Zahlen haben keine Einschränkungen, die ihren Definitionsbereich begrenzen.

Dazu setzt du $x=0$ in $f(x)$ ein:
$f(0)=0^3-6\cdot0^2+9\cdot0=0$.

Der y-Achsenabschnitt ist $(0\vert0)$ (der Ursprung).

Wir setzen den Funktionsterm gleich null und lösen $f(x)=x^3-6x^2+9x=0$.

Hier sollten wir erkennen, dass wir faktorisieren können:
$f(x)=x\,(x^2-6x+9)=x\,(x-3)^2$

Für den zweiten Schritt müssen wir erkennen, dass der Term die Form der 2. binomischen Formel hat. Alternativ können wir die pq-Formel anwenden. Daraus folgen die Nullstellen:

$x_1=0$ und $x_{2,3}=3$ (doppelte Nullstelle).

Wir betrachten die Funktionsgleichung:
$f(x)=x^3-6x^2+9x$

Wir berechnen $f(-x)$ um anschließend auf Punkt- und Achsensymmetrie zu überprüfen:
$f(-x)=(-x)^3-6(-x)^2+9(-x) =-x^3-6x^2-9x$

Vergleiche mit $f(x)=x^3-6x^2+9x$ und $-f(x)=-x^3+6x^2-9x$.
Es gilt weder $f(-x)=f(x)$ noch $f(-x)=-f(x)$.
Folglich keine Punkt- oder Achsensymmetrie.

Wir untersuchen $f(x)=x^3-6x^2+9x$.

Für $x\to+\infty$ dominiert $x^3$ mit positivem Vorzeichen, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
In Worten: Die Funktion strebt für größer werdende $x$-Werte gegen „plus unendlich“.

Für $x\to-\infty$ ist $x^3\to-\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$. In Worten: Die Funktion strebt für kleiner werdende $x$-Werte gegen „minus unendlich“.

Erste Ableitung: $$f'(x) = 3x^2-12x+9$$

Zweite Ableitung: $$f''(x) = 6x-12$$

Dritte Ableitung: $$f'''(x) = 6$$

Hierfür betrachten wir zunächst die erste Ableitung:
$f'(x)=3x^2-12x+9$

Wir setzen $f'(x)=0$ und bringen die entsprechende quadratische Gleichung in Normalform:
$3x^2-12x+9=0\;\Rightarrow\; x^2 - 4x + 3 = 0$

Anschließend können wir die pq-Formel anwenden:

$p = -4,\quad q = 3$

$x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

$x_{1,2} = -\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 3}$

$x_{1,2} = 2\pm\sqrt{4 - 3} = 2\pm\sqrt{1}$

$x_1 = 2 + 1 = \underline{\underline{3}},\quad x_2 = 2 - 1 = \underline{\underline{1}}$

Anschließend bestimmen wir die zugehörigen Funktionswerte:

• $f(1)=1-6+9=4$
• $f(3)=27-54+27=0$

Abschließend überprüfen wir mit der zweiten Ableitung, ob es sich tatsächlich um Extrema und in diesem Fall um Hoch- oder Tiefpunkte handelt:
$$f''(x)=6x-12$$

• Für $x_{1}=1$:
  $f''(1)=6\cdot1-12=-6<0\;\Rightarrow$ Maximum bei $(1\vert4)$
• Für $x_{2}=3$:
  $f''(3)=6\cdot3-12=6>0\;\Rightarrow$ Minimum bei $(3\vert0)$

$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

Nullstellen von $f'$: $x_{1}=1,\;x_{2}=3$

Vorzeichen-Analyse:

• Für $x$ kleiner $1$:
  $f(0)=9$ ⇒ $f$ ist steigend auf $]-\infty,\,1[$.
• Für $1$ kleiner $x$ kleiner $3$:
  $f(2)=-3$ ⇒ $f$ ist fallend auf $]1,\,3[$.
• Für $x$ größer $3$:
  $f(4)=9$ ⇒ $f$ ist steigend auf $]3,\,+\infty[$.

Wir betrachten zunächst die zweite Ableitung:
$f''(x)=6x-12$

Wir setzen $f''(x)=0$:
$6x-12=0 \;\Rightarrow\;x_{w}=2$

Zur Überprüfung betrachten wir die dritte Ableitung: $f'''(x)=6$.

Da $f'''(2)=6\neq0$ gilt, bestätigt sich die Wendestelle.

Wir berechnen den zugehörigen Funktionswert:
$f(2)=2^3-6\cdot2^2+9\cdot2 =8-24+18=2$
Wendepunkt: $(2\vert2)$

Hierzu betrachten wir die zweite Ableitung:
$f''(x)=6x-12$

• Für $x<2$:
  $f''(x)=6x-12<0$ ⇒ Graph ist konkav (nach rechts gekrümmt).
• Für $x>2$:
  $f''(x)=6x-12>0$ ⇒ Graph ist konvex (nach links gekrümmt).

Da die Funktionswerte für $x \to -\infty$ gegen $-\infty$ und für $x \to +\infty$ gegen $+\infty$ geht und $f$ stetig ist (es handelt sich um eine ganzrationale Funktion bzw. eine Polynomfunktion), folgt:
$\mathbb{W}=\mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen, ohne Einschränkungen)

Zeichne den Graphen von $f(x)=x^3-6x^2+9x$ unter Berücksichtigung:

1. Nullstellen: $(0\vert0)$ und $(3\vert0)$
2. y-Achsenabschnitt: $(0\vert0)$
3. Extrempunkte:
   $(1\vert4)$ (Maximum)
   $(3\vert0)$ (Minimum; liegt gleichzeitig als doppelte Nullstelle)
4. Wendepunkt: $(2\vert2)$
5. Verhalten im Unendlichen:
   Für $x\to-\infty$: $f(x)\to-\infty$
   für $x\to+\infty$: $f(x)\to+\infty$
6. Monotonie:
   steigend auf $]-\infty,\,1[$
   fallend auf $]1,\,3[$
   steigend auf $]3,\,+\infty[$
7. Krümmung:
   konkav für $x<2$
   konvex für $x>2$

Verbinde diese Punkte mit einem glatten Kurvenverlauf.

$f(x)=x^4-4x^2+3$ ist ein Polynom.
Daher ist der Definitionsbereich
$\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

Setze $x=0$ ein:
$f(0)=0^4-4\cdot0^2+3=3$.
Der y-Achsenabschnitt ist $(0\vert3)$.

Löse $f(x)=x^4-4x^2+3=0$.
Substitution $u=x^2$ führt zu
$u^2-4u+3=0$,
Anwendung der pq-Formel mit $p=-4$, $q=3$:
$u_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

Eingesetzt:
$u_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3}$

Berechnung:
$u_{1,2}=2\pm\sqrt{4-3}=2\pm1$

Damit folgt:
$u_1=3,\quad u_2=1$

Rücksubstitution $x^2=u$:
$x^2=3\;\Rightarrow\;x=\pm\sqrt{3}$,
$x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm 1$

Nullstellen: $x_1=-\sqrt{3}$, $x_2=\sqrt{3}$, $x_3=-1$, $x_4=1$

$f(x)=x^4-4x^2+3$ ist eine gerade Funktion (alle Potenzen von $x$ haben einen geraden Exponenten).

Daher gilt $f(-x)=(-x)^4-4(-x)^2+3=x^4-4x^2+3=f(x)$.

Somit ist $f(x)$ achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für $x\to+\infty$ dominiert $x^4>0$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Für $x\to-\infty$ ist $x^4\to+\infty$ (weil gerader Exponent), $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

Die Funktion strebt also für größer und kleiner werdende $x$-Werte gegen „plus unendlich“.

Erste Ableitung:
$$f'(x)=4x^3-8x$$

Zweite Ableitung:
$$f''(x)=12x^2-8$$

Dritte Ableitung:
$$f'''(x)=24x$$

Wir betrachten die erste Ableitung und setzen diese gleich null:
$$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0$$
$$\Rightarrow x_1=0,\;x_{2,3}=\pm\sqrt{2}$$

Funktionswerte:

• $f(0)=3$
• $f(\pm\sqrt{2})=(\sqrt{2})^4-4(\sqrt{2})^2+3 =4-8+3=-1$

Überprüfung durch die zweite Ableitung $f''(x)=12x^2-8$:

• $f''(0)=-8<0\;\Rightarrow$ Maximum bei $(0\vert3)$
• $f''(\pm\sqrt{2})=12\cdot2-8=16>0\;\Rightarrow$ Minima bei $(\pm\sqrt{2}\vert-1)$

$f'(x)=4x(x^2-2)$.

Vorzeichen-Analyse:

• Für $x$ kleiner $-\sqrt{2}$: $f'(-2)=-16$ ⇒ fallend
• Für $-\sqrt{2}$ kleiner $x$ kleiner $0$: $f'(-1)=4$ ⇒ steigend
• Für $0$ kleiner $x$ kleiner $\sqrt{2}$: $f'(1)=-4$ ⇒ fallend
• Für $x$ größer $\sqrt{2}$: $f'(2)=16$ ⇒ steigend

Monotonie-Intervalle:
$f$ ist fallend auf $]-\infty,-\sqrt{2}[$,
steigend auf $]-\sqrt{2},0[$,
fallend auf $]0,\sqrt{2}[$ und
steigend auf $]\sqrt{2},+\infty[$.

Wir setzen die zweite Ableitung gleich null:
$f''(x)=12x^2-8=0 \;\Rightarrow\;x^2=\tfrac{2}{3} \;\Rightarrow\;x_{w}=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}$

Zur Überprüfung betrachten wir die dritte Ableitung:
$f'''(x)=24x$

Da $f'''\left(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)=24\sqrt{\tfrac{2}{3}}>0$ und $f'''\left(-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)=24\left(-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)<0$ gilt, handelt es sich in beiden Fällen um Wendestellen.

Funktionswerte bestimmen:
$f\left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) =\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 -4\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)+3 =\tfrac{4}{9}-\tfrac{8}{3}+3 =\tfrac{4~-~24~+~27}{9} =\tfrac{7}{9}$

Wendepunkte:
$x_1=\left(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\tfrac{7}{9}\right)$, $x_2=\left(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\tfrac{7}{9}\right)$

$f''(x)=12x^2-8$

• Für $|x|<\sqrt{\tfrac{2}{3}}$:
  $f''(x)<0$ ⇒ Graph ist konkav.
• Für $|x|>\sqrt{\tfrac{2}{3}}$:
  $f''(x)>0$ ⇒ Graph ist konvex.

Da $f(x)\to+\infty$ für $x\to\pm\infty$ und $f$ stetig ist,
sowie lokale Minima existieren, ergibt sich
$\mathbb{W}=[-1,\,+\infty[$.

Zeichne den Graphen von $f(x)=x^4-4x^2+3$ unter Berücksichtigung:

1. Nullstellen: $(\pm1\vert0)$ und $(\pm\sqrt{3}\vert0)$
2. y-Achsenabschnitt: $(0\vert3)$
3. Extrempunkte: $(0\vert3)$ (Maximum), $(\pm\sqrt{2}\vert-1)$ (Minima)
4. Wendepunkte: $\left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\vert\tfrac{7}{9}\right)$
5. Monotonie und Krümmung: siehe obige Intervalle
6. Verhalten im Unendlichen: $f(x)\to+\infty$ für $x\to\pm\infty$
7. Symmetrie: gerade Funktion (y-Achsensymmetrie)

Verbinde diese Punkte zu einer glatten Kurve.

$f(x)=x^5-5x^3+4x$ ist ein Polynom.
Daher ist der Definitionsbereich
$\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

Setze $x=0$ ein:
$f(0)=0^5-5\cdot0^3+4\cdot0=0$.
Der y-Achsenabschnitt ist $(0\vert0)$.

Löse $f(x)=x^5-5x^3+4x=0$.
Faktorisiere:
$f(x)=x\,(x^4-5x^2+4)=0$.
Substitution $u=x^2$ ⇒ $u^2-5u+4=0$.
Löse $u^2-5u+4=(u-1)(u-4)=0$ ⇒ $u=1$ oder $u=4$.
Rücksubstitution $x^2=u$ ⇒
$x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm1$,
$x^2=4\;\Rightarrow\;x=\pm2$.

Zusammen mit $x=0$ erhält man alle Nullstellen:
$x_{1}=-2$, $x_{2}=-1$, $x_{3}=0$, $x_{4}=1$ und $x_{5}=2$.

$f(x)=x^5-5x^3+4x$ enthält nur ungerade Potenzen ⇒ $f(-x)=-f(x)$.
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für $x\to+\infty$ dominiert $x^5$ mit positivem Vorzeichen und $f$ geht gegen $+\infty$.
Für $x\to-\infty$ dominiert $x^5\to-\infty$ und $f$ geht gegen $-\infty$.

Aus den Grenzwerten und der Stetigkeit $f$ folgt:
$\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Erste Ableitung:
$$f'(x)=5x^4-15x^2+4$$

Zweite Ableitung:
$$f''(x)=20x^3-30x$$

Dritte Ableitung:
$$f'''(x)=60x^2-30$$

Löse$f'(x)=0$:

$ 5x^4-15x^2+4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^4-3x^2+0{,}8=0 $

Setze $u=x^2$:

$ u^2-3u+0{,}8=0 \quad\Longrightarrow\quad u_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{9-3{,}2}}2 =\dfrac{3\pm\sqrt{5{,}8}}2 $

Damit:

$ u_1=\dfrac{3+\sqrt{5{,}8}}2,\quad u_2=\dfrac{3-\sqrt{5{,}8}}2. $

Da $u=x^2\ge0$, erhalten wir vier reelle Lösungen:

$ x=\pm\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5{,}8}}2}\approx\pm0{,}54\,, \quad x=\pm\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5{,}8}}2}\approx\pm1{,}64. $

Zweite Ableitung und Klassifikation

Wir werten $f''$ an den kritischen Stellen aus und berechnen die entsprechenden Funktionswerte (hier kann auch mit der Punktsymmetrie zum Ursprung argumentiert werden):

Ergebnis in übersichtlicher Form

• Lokales Minimum bei $T_1 (-0{,}54\vert-1{,}42)$

• Lokales Maximum bei $H_1 (0{,}54\vert1{,}42)$

• Lokales Maximum bei $H_2 (-1{,}64\vert3{,}63)$

• Lokales Minimum bei $T_2 (1{,}64\vert-3{,}63)$

$f'(x)=5x^4-15x^2+4$

Monotonie-Intervalle:

Setze $f''(x)=0$:

$20x^3-30x=10x(2x^2-3)=0$

⇒ $x_1=0,\;x_{2,3}=\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}\approx\pm1{,}22$

Wir überprüfen diese potentiellen Wendestellen mit $f'''(x)=60x^2-30$:

$f'''(0)=-30$

$f'''\left(\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}\right)=60$

Somit handelt es sich tatsächlich um drei Wendestellen, wir berechnen die entsprechenden Funktionswerte:

$f(0)=0$,

$f\left(\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}\right)\approx\pm1{,}53$

Wendepunkte: $W_1(0\vert0)$, $W_2(1{,}22\vert-1{,}53)$ und $W_3(-1{,}22\vert1{,}53)$

$f''(x)=20x^3-30x=10x(2x^2-3)$

Für $|x|$ kleiner $\sqrt{\tfrac{3}{2}}$ ist $2x^2-3$ kleiner $0$:

• $x$ kleiner $0$ ⇒ $f''(x)>0$ ⇒ konvex
• $0$ kleiner $x$ kleiner $\sqrt{\tfrac{3}{2}}$ ⇒ $f''(x)<0$ ⇒ konkav

Für $|x|$ größer $\sqrt{\tfrac{3}{2}}$ hat $f''(x)$ das Vorzeichen von $x$:

• $x$ größer $\sqrt{\tfrac{3}{2}}$ ⇒ konvex
• $x$ kleiner $-\sqrt{\tfrac{3}{2}}$ ⇒ konkav

Krümmungs-Intervalle:

Skizziere $f(x)=x^5-5x^3+4x$ unter Berücksichtigung:

• Nullstellen bei $x=-2,-1,0,1,2$
• y-Achsenabschnitt $(0\vert0)$
• Extrempunkte: $T_1 (-0{,}54\vert-1{,}42)$, $T_2 (1{,}64\vert-3{,}63)$, $H_1 (0{,}54\vert1{,}42)$, $H_2 (-1{,}64\vert3{,}63)$
• Wendepunkte: $W_1(0\vert0)$, $W_2(1{,}22\vert-1{,}53)$ und $W_3(-1{,}22\vert1{,}53)$
• Monotonie- und Krümmungsintervalle wie oben
• Punktsymmetrie zum Ursprung
• Verhalten im Unendlichen: $-\infty$ zu $-\infty$, $+\infty$ zu $+\infty$.

Verbinde alle markierten Punkte mit einem glatten Verlauf.