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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Team Digital
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anzuwenden.

Zunächst lernst du, dass der Hauptsatz es ermöglicht konkrete Flächen zu berechnen, indem man auf Stammfunktionen zurückgreift. Anschließend siehst du an einem konkreten Beispiel, wie man den Hauptsatz anwenden kann, um bestimmte Integrale zu berechnen. Abschließend erfährst du, dass ein bestimmtes Integral nicht direkt einen Flächeninhalt, sondern eine Flächenbilanz wiedergibt.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.jpg

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie bestimmtes Integral, Integrationsgrenzen, Stammfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Stammfunktionen kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur Integralrechnung haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Flächeninhalte mit dem Hauptsatz auszurechnen.

Transkript Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Jahrelang hast du auf diesen Moment hingearbeitet. Es gab Höhen, es gab Tiefen Mathestunde für Mathestunde hast du alles gegeben! Nicht immer warst du dir sicher, ob das noch alles SINN ergibt, ob dein Weg der richtige ist doch dann – wie aus dem Nichts – kommt dieser eine Moment und er steht plötzlich vor dir: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Scheint wichtig zu sein. Und das ist er in der Tat. Er wird auch „Fundamentalsatz der Analysis“ genannt, da er den Zusammenhang zwischen den zwei ganz großen Themenbereichen der Analysis herstellt. Der Differenzialrechnung, also dem Ableiten, einerseits und der Integralrechnung andererseits. Das alleine schon lässt das Herz von Mathematiker*innen höher schlagen. Darüber hinaus ist er aber auch super praktisch, um ganz konkret „bestimmte Integrale“ und damit zusammenhängende Flächeninhalte zu berechnen. Wie genau das funktioniert, schauen wir uns gleich an. Zunächst einmal eine kleine Wiederholung. Im Rahmen der Integralrechnung gibt es zwei grundlegende Interpretationsmöglichkeiten, die sich gegenüberstehen. Zum einen ist da die „Integration als Methode zur Flächenberechnung“. Dabei geht es darum, die Fläche zu bestimmen, die zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen ist. Die grundlegende Idee dieser geometrischen Deutung ist es, den Flächeninhalt mit Hilfe von Unter- und Obersummen immer besser abzuschätzen und diese Schätzung immer weiter zu verfeinern. Auf diese Weise bekommt man dann schließlich einen konkreten Zahlenwert für die betrachtete Fläche als Ergebnis. Auf der anderen Seite steht die „Integration als Umkehrung des Ableitens“. Genauso wie wir eine Funktion ableiten können, um ihre Ableitungsfunktion zu bestimmen, können wir eine Funktion integrieren, um ihre Stammfunktion zu bestimmen. Dabei ist uns aufgefallen, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer Funktion gibt, da Konstanten beim Ableiten ja wegfallen. Um diesen Informationsverlust beim Ableiten aufzufangen, addieren wir beim Integrieren die Integrationskonstante c. Bis auf Konstanten können wir also eine abgeleitete Funktion durch das Integrieren gewissermaßen „wiedererlangen“. Bei dieser Betrachtungsweise geht es also darum, eine oder mehrere konkrete Funktionen zu bestimmen. Nämlich Stammfunktionen. Wir können die Integration also einerseits als Methode zur Flächenberechnung betrachten. Dabei berechnen wir eine konkrete Maßzahl. Oder andererseits als Umkehrung des Ableitens betrachten. Und so Stammfunktionen bestimmen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet jetzt diese beiden Deutungsmöglichkeiten von Integralen. Und zwar indem er aufzeigt, wie wir konkrete Flächeninhalte mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen können. Wir betrachten dafür ein bestimmtes Integral in den Integrationsgrenzen a und b einer beliebigen Funktion „f von x“, die nach der Integrationsvariable x integriert werden soll. Um dieses Integral zu berechnen, brauchen wir eine Stammfunktion „Groß-F von x“ in den Grenzen a bis b. Das wiederum bedeutet, dass wir in die Stammfunktion sowohl b als auch a einsetzen, also die Funktion an diesen beiden konkreten Stellen auswerten, und dann die Differenz dieser beiden Funktionswerte bilden. Und da ist das Ding! Was für eine prächtige Formel! Dann können wir uns ja jetzt mal anschauen, wie wir den Hauptsatz nutzen können, um den konkreten Wert eines bestimmten Integrals zu berechnen. Ein einfaches Beispiel zum Reinkommen: Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion „x hoch 2“ in den Grenzen eins und zwei. In anderen Worten: Wir wollen den Flächeninhalt berechnen, den der Graph der Funktion im Intervall eins bis zwei mit der x-Achse einschließt. Um das tun zu können, müssen wir jetzt erstmal eine Stammfunktion finden, also eine Funktion die abgeleitet „x hoch zwei“ ergibt. An dieser Stelle müssen wir also grundsätzlich die Rechenregeln für Integrale auf dem Kasten haben. Das ist bei unserer Funktion aber noch recht einfach. Mit Hilfe der Potenzregel erhalten wir „ein Drittel x hoch drei“ als eine mögliche Stammfunktion. Diese Funktion müssen wir jetzt nur noch an der oberen und unteren Intervallgrenze auswerten. Sprich, wir müssen zunächst die obere Grenze in die aufgestellte Stammfunktion einsetzen und davon dann die an der unteren Grenze ausgewertete Stammfunktion abziehen. Dann müssen wir nur noch rechnen. Sieben drittel ist also unser Ergebnis! Zwei Fragen sind an dieser Stelle noch zu klären. Erstens: Was ist eigentlich mit der Integrationskonstante c, die wir beim Integrieren eigentlich immer beachten sollten? Nun ja, wir können sie ja mal hinzufügen. Wie wir sehen, kürzt sich c automatisch weg und hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. Die Integrationskonstante können wir also bei der Berechnung eines bestimmten Integrals einfach weglassen. Praktisch! Zweitens sollten wir uns am Graphen von „x hoch zwei“ nochmal anschauen, was wir da jetzt eigentlich berechnet haben. Wir haben das bestimmte Integral in den Grenzen eins und zwei betrachtet. Dazu haben wir das Integral zunächst an seiner oberen Grenze ausgewertet, wobei wir den Wert acht Drittel erhalten haben. Das entspricht dem gesamten Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall von null bis zwei. Da uns aber nur der Flächeninhalt von eins bis zwei interessiert, haben wir anschließend diesen Flächeninhalt im Intervall null bis eins, dessen Wert wir durch das an der unteren Intervallgrenze ausgewertete Integral erhalten haben, wieder abgezogen. Übrig bleibt, so wie es gesucht war, die Fläche zwischen dem Graphen von „x hoch zwei“ und der x-Achse in dem Intervall von eins bis zwei! Diese ist also sieben Drittel Flächeneinheiten groß. Eine kleine, aber wichtige Anmerkung noch: Das bestimmte Integral – das wir mit dem Hauptsatz berechnen können – gibt nicht direkt den häufig gesuchten Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse, sondern vielmehr eine Flächenbilanz an. Konkret heißt das, dass Flächeninhalte unterhalb der x-Achse auch negativ in diese Bilanz mit eingehen – sprich von der Gesamtgröße des Flächeninhalts abgezogen werden. Wie wir dieses Problem umgehen können, klären wir aber in einem anderen Video. Wir fassen das Gelernte erstmal auf einen Blick zusammen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt den Flächeninhalt, der sich zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse ergibt, in einen direkten Zusammenhang mit Stammfunktionen. Genauer gesagt können wir mit ihm ein bestimmtes Integral berechnen, indem wir eine Stammfunktion bestimmen, diese an den Integrationsgrenzen auswerten, und dann die Differenz der Funktionswerte berechnen. Als Ergebnis erhalten wir so eine konkrete Zahl, die eine Flächenbilanz wiedergibt. Wir können also festhalten: Die harte Arbeit hat sich ausgezahlt! Wir wissen jetzt, was der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aussagt und wie wir ihn anwenden können. Ein absolutes Highlight einer jeden Mathekarriere! No Cap!

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