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Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion

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Team Digital
Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die wichtigsten Begriffe der Integralrechnung voneinander zu unterscheiden und miteinander in Beziehung zu setzen.

Zunächst lernst du, was man unter einer Stammfunktion versteht. Anschließend lernst du, wie man ein unbestimmtes und wie man das bestimmtes Integral berechnen kann und wie sich diese unterscheiden. Abschließend erfährst du, was man unter einer Integralfunktion versteht.

Stammfunktion unbestimmtes und bestimmtes Integral und Integralfunktion

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie (un)bestimmtes Integral, Stammfunktion, Integrationskonstante, Integralfunktion, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Flächenbilanz usw.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Begriffe kennen, die in diesem Video noch einmal in einen Zusammenhang gebracht werden sollen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur Integralrechnung haben.

Transkript Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion

„Stammfunktion“, „Integralfunktion“, es geht um Integrale schon klar, aber „bestimmt“ oder „unbestimmt“? Und was hat nochmal diese „Integrationskonstante“ mit dem Ganzen zu tun? Wenn man vor dem Begriffs-Wirrwarr der Integralrechnung steht, kann man schnell den Überblick verlieren. Damit das nicht passiert, soll dieses Video etwas Licht ins Dunkle bringen. Folgende Begriffe wollen wir uns hier mal genauer anschauen und voneinander abgrenzen: Zum einen gibt es „Stammfunktionen“, außerdem das „unbestimmte Integral“, genauso wie das „bestimmte Integral“ und immer mal wieder ist auch die Rede von der „Integralfunktion“. Die Begriffe sollten dir grundsätzlich schon geläufig sein. Dieses Video verschafft dir aber nochmal einen Überblick. Du bist sicher nicht alleine, wenn du da hin und wieder mal den Durchblick verlierst. Aber wir können die Begriffe ja mal Schritt für Schritt durchgehen und uns klar machen, worin sie sich unterscheiden – aber auch wie sie zusammenhängen. Zuerst nehmen wir die „Stammfunktionen“ unter die Lupe. Um eine Stammfunktion zu erhalten, brauchen wir zunächst eine ganz normale Funktion „f von x“. Stammfunktion „Groß-F von x“ zu dieser Funktion ist dann jede Funktion, die die Eigenschaft besitzt, dass sie abgeleitet „f von x“ ergibt. Ein Beispiel: Eine Stammfunktion von „f von x gleich x Quadrat“, ist „ein Drittel x hoch drei“, weil das abgeleitet eben „x Quadrat“ ergibt. „Ein Drittel x hoch drei plus eins“ ist allerdings ebenfalls eine Stammfunktion, da Konstanten beim Ableiten wegfallen. Weil wir eine beliebige konstante Zahl addieren oder subtrahieren können, gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen zu einer integrierbaren Funktion. Das Bestimmen von Stammfunktionen – wir sagen dazu auch integrieren – ist also gewissermaßen die Umkehroperation zum Ableiten. Wenn wir eine „Stammfunktion“ bestimmen, ist unser Ergebnis also eine konkrete Funktion. Doch dieses Ergebnis ist nicht eindeutig. Es gibt zu einer Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Hier kommt das „unbestimmte Integral“ ins Spiel. Um das darzustellen, nutzen wir das klassische, geschwungene S als Integralzeichen, dann kommt der Integrand, also die Funktion, die integriert werden soll, und das „dx“ rundet das „unbestimmte Integral“ ab, indem es anzeigt welche Variable integriert werden soll – in unserem Fall x. Das Integralzeichen und das „dx“ können wir uns also als Klammer vorstellen, die ein Integral einleitet und abschließt. Aber was genau können wir uns jetzt unter solch einem „unbestimmten Integral“ vorstellen? Schauen wir uns das erneut am Beispiel an. Wenn wir das „unbestimmte Integral“ von „x Quadrat“ „dx“ betrachten, meinen wir damit die gesamte Menge aller Stammfunktionen von „x Quadrat“. Das verdeutlichen wir, indem wir zu „ein Drittel x hoch drei“ noch die „Integrationskonstante c“ addieren. C steht hier für eine beliebige reelle Zahl, also alle möglichen Konstanten, die beim Ableiten wieder wegfallen würden. Das „unbestimmte Integral“ ist also eine Funktionsschar mit dem Parameter c. Allgemein heißt das: Das Integral über eine Funktion „f von x“ fasst als Funktionsschar alle Stammfunktionen zusammen, die abgeleitet „f von x“ ergeben. Alles klar! Die nächste Frage ist dann: Wie unterscheidet sich das „bestimmte Integral“ vom „Unbestimmten“? Ganz einfach gesagt: Das „bestimmte Integral“ hat Integrationsgrenzen, die beim unbestimmten Integral fehlen. Ein weiterer Unterschied, der damit einhergeht, ist, dass das bestimmte Integral keine Funktion oder Funktionsschar wiedergibt, sondern einen einfachen Zahlenwert – hier durch das w symbolisiert. Dieser Zahlenwert wiederum steht für einen orientierten Flächeninhalt – das heißt für eine Flächenbilanz zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse – bei der Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv, und Flächeninhalte unterhalb der x-Achse negativ bilanziert werden. Den konkreten Wert dieser Flächenbilanz können wir wiederum berechnen, indem wir den „Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung“ anwenden. Das müssen wir uns nochmal genauer anschauen. Die Integralgrenzen geben also ein bestimmtes Intervall an, in dem das Integral ausgewertet werden soll. Deshalb auch „bestimmtes Integral“. Es handelt sich dann um den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse in diesem bestimmten Intervall. Wir betrachten wieder unser konkretes Beispiel: Uns interessiert die Fläche, die „X Quadrat“ mit der x-Achse im Intervall von null bis eins einschließt. Dafür nutzen wir den Hauptsatz, bilden also eine Stammfunktion, und werten diese Stammfunktion an den Intervallgrenzen aus. Wir erhalten ein Drittel als Flächeninhalt. Wie wir sehen, erhalten wir durch die Berechnung des bestimmten Integrals einen konkreten Zahlenwert. Darauf achten, dass dieser den orientierten Flächeninhalt widerspiegelt und nicht immer – wie in diesem Beispiel – positiv sein muss. Und schon bleibt nur noch ein Begriff übrig: Die „Integralfunktion“. Um diesen Begriff zu erklären, nehmen wir das „bestimmte Integral“ als Ausgangspunkt. Hier haben wir ja feste Grenzen für ein Intervall, in dem wir den orientierten Flächeninhalt betrachten. Jetzt könnte man auf die Idee kommen, einen dieser Werte beliebig zu variieren, also variabel zu halten. Wir verdeutlichen das, indem wir für die feste Grenze b, die Variable Grenze t einsetzen. So verändert sich die Größe der Flächenbilanz, je nachdem welchen Wert wir für t wählen. Wenn wir das Ganze als Zuordnung betrachten, haben wir eine Funktion konstruiert – wir benennen sie mit einem großen i für Integralfunktion und mit der unabhängigen Variablen t. Diese Funktion gibt uns für verschiedene Werte von t jeweils die resultierende Flächenbilanz zwischen dem Graphen der Funktion „f von x“ und der x-Achse wieder. Die untere Integrationsgrenze a ist dabei ein festgelegter Wert. Auch das schauen wir uns nochmal konkret an der Funktion „f von x gleich x Quadrat“ und der unteren Intervallgrenze zwei an. Um den Funktionsterm der entsprechenden Integralfunktion aufzustellen, können wir jetzt wieder den Hauptsatz anwenden. So erhalten wir eine ganz konkrete Funktion als Ergebnis. Wenn wir die Variable t jetzt wieder in ein x umbenennen, erkennen wir, dass es sich bei der Integralfunktion um eine Stammfunktion von „f von x“ handelt. Nämlich genau die, die an der „unteren Integrationsgrenze zwei“ eine Nullstelle hat. Eine Integralfunktion ist also eine spezielle Stammfunktion mit festgelegter Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze. Wir erkennen, dass alle Begriffe irgendwie miteinander zusammenhängen. Trotzdem oder gerade deswegen sollten wir bei der Integralrechnung achtsam bleiben und genau überlegen, was wir gerade berechnen wollen. „Stammfunktionen“ und „Integralfunktionen“ sind jeweils Funktionen, das „unbestimmte Integral“ beschreibt die Menge aller Stammfunktionen, sprich eine Funktionsschar, und das „bestimme Integral“ gibt einen orientierten Flächeninhalt an, also eine konkrete Zahl. Na also, geht doch! Da sind die Zweifel doch wie weggewischt!

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