Überblick zur Integralrechnung: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion
Integralrechnung ermöglicht dir, Flächen und Volumen zu berechnen, sogar in technischen Anwendungen. Du erfährst, wie du Integrale bestimmst und nutzt die Potenzregel. Interessiert? Lies weiter!
- Integralrechnung einfach erklärt – Was ist ein Integral?
- Integrale berechnen – Regeln und Methoden
- Beispiel für ein unbestimmtes Integral
- Beispiel für ein bestimmtes Integral
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Grundlagen zum Thema Überblick zur Integralrechnung: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion
Integralrechnung einfach erklärt – Was ist ein Integral?
Ein Integral beschreibt, vereinfacht gesagt, die Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der $x$-Achse. Genauer betrachtet unterscheidet man aber zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen:
- Ein bestimmtes Integral berechnet den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse innerhalb zwei fester Grenzen: Dieses Integral beschreibt also einen konkreten Zahlenwert, der auch negativ sein kann.
- Ein unbestimmtes Integral beschreibt eine „Familie“ von Funktionen, sogenannte Stammfunktionen. Bei diesem Integral handelt es sich also um eine Funktionsschar.
Im folgenden werden diese Begriffe mit den passenden Formeln erklärt.
Die Stammfunktion $F(x)$ einer Funktion $f(x)$ ist eine Funktion, deren Ableitung $f(x)$ ergibt:
$$ F'(x) = f(x) $$
Hinweis: Weil Konstanten beim Ableiten wegfallen, gibt es zu einer integrierbaren Funktion $f(x)$ nicht nur eine Stammfunktion $F(x)$, sondern unendlich viele!
Ein unbestimmtes Integral wird folgendermaßen dargestellt:
$$ \int f(x)\,dx = F(x) + C~~ (C\in\mathbb{R}) $$
$C$ ist hier eine beliebige Konstante, die Integrationskonstante, die beim Ableiten wieder wegfällt. Das unbestimmte Integral von $f(x)$ bezeichnet also die Menge aller Stammfunktionen von $f(x)$.
Ein bestimmtes Integral zwischen den Grenzen $a$ und $b$ berechnet sich als Differenz einer Stammfunktion an den Stellen $a$ und $b$:
$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$
Der Zusammenhang zwischen bestimmten Integralen, Stammfunktionen und orientierten Flächeninhalten wird durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beschrieben.
Integrale berechnen – Regeln und Methoden
Um ein Integral zu berechnen, musst du zuerst eine Stammfunktion bestimmen. Eine Stammfunktion findest du durch das „Aufleiten“ oder „Integrieren“ einer gegebenen Funktion mithilfe der Integrationsregeln. Die wichtigsten Regeln sind:
| Regel | Formel |
|---|---|
| Potenzregel | $\int x^n \, \mathrm{d}x = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C~~ (C\in\mathbb{R}) \quad \text{für } n \neq -1$ |
| Faktorregel | $\int a \cdot f(x) \, \mathrm{d}x = a \cdot \int f(x) \, \mathrm{d}x$ |
| Summenregel | $\int (f(x) + g(x)) \, \mathrm{d}x = \int f(x) \, \mathrm{d}x + \int g(x) \, \mathrm{d}x$ |
| Partielle Integration | $\int u(x) \cdot v'(x) \, \mathrm{d}x = u(x)v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \, \mathrm{d}x$ |
| Integration durch Substitution | $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, \mathrm{d}x = \int f(u) \, \mathrm{d}u = F(g(x)) + C~~ (C\in\mathbb{R})$ |
Diese Methoden helfen, Integrale Schritt für Schritt zu lösen.
Beispiel für ein unbestimmtes Integral
Die Funktion $f(x) = 2x$ soll integriert werden. Eine Stammfunktion finden wir intuitiv bzw. mithilfe der Potenzregel und der Faktorregel für Integrale.
$$ \int 2x \, \text{d}x = x^2 + C~~ (C\in\mathbb{R}) $$
Unser Ergebnis können wir mit der Ableitung prüfen:
Die Ableitung von $x^2$ ist $2x$. Passt!
Beispiel für ein bestimmtes Integral
Bei einem bestimmten Integral verwendest du Grenzen, um eine konkrete Fläche zu berechnen.
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = x^2$ von $1$ bis $3$:
$$ \int\limits_{1}^{3} x^2 \, \text{d}x = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}=8\frac{2}{3} $$
Die Fläche beträgt also $8\frac{2}{3}$ Flächeneinheiten.
Integralrechnung – Anwendungsbeispiele
Integralrechnung begegnet dir auch außerhalb des Mathematikunterrichts. Hier sind einige Beispiele:
- Berechnung von Flächen und Volumen in der Technik
- Bestimmung von zurückgelegten Wegen in der Physik
- Finanzmathematische Modelle zur Berechnung von Zinsen
Integralrechnung – Übungen
Ausblick – das lernst du nach Integralrechnung
Wenn du die Integralrechnung gemeistert hast, kannst du dein Wissen noch weiter vertiefen. Themen wie Flächen zwischen Funktionsgraphen oder Rotationskörper warten auf dich. Außerdem ist es spannend, sich mit uneigentlichen Integralen auseinanderzusetzen, die unendliche Bereiche berechnen.
Ein weiteres wichtiges Fachkonzept, dass du dir näher anschauen solltest, ist die Integralfunktion.
Zusammenfassung zum Thema Integralrechnung
- Integralrechnung beschreibt die Umkehrung der Differentialrechnung.
- Wichtig ist die Unterscheidung zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen.
- Integrale werden mit Stammfunktionen und Integrationsregeln berechnet.
- Die Integralrechnung findet Anwendung in Physik, Technik und Wirtschaft.
Häufig gestellte Fragen zur Integralrechnung
Transkript Überblick zur Integralrechnung: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion
„Stammfunktion“, „Integralfunktion“, es geht um Integrale schon klar, aber „bestimmt“ oder „unbestimmt“? Und was hat nochmal diese „Integrationskonstante“ mit dem Ganzen zu tun? Wenn man vor dem Begriffs-Wirrwarr der Integralrechnung steht, kann man schnell den Überblick verlieren. Damit das nicht passiert, soll dieses Video etwas Licht ins Dunkle bringen. Folgende Begriffe wollen wir uns hier mal genauer anschauen und voneinander abgrenzen: Zum einen gibt es „Stammfunktionen“, außerdem das „unbestimmte Integral“, genauso wie das „bestimmte Integral“ und immer mal wieder ist auch die Rede von der „Integralfunktion“. Die Begriffe sollten dir grundsätzlich schon geläufig sein. Dieses Video verschafft dir aber nochmal einen Überblick. Du bist sicher nicht alleine, wenn du da hin und wieder mal den Durchblick verlierst. Aber wir können die Begriffe ja mal Schritt für Schritt durchgehen und uns klar machen, worin sie sich unterscheiden – aber auch wie sie zusammenhängen. Zuerst nehmen wir die „Stammfunktionen“ unter die Lupe. Um eine Stammfunktion zu erhalten, brauchen wir zunächst eine ganz normale Funktion „f von x“. Stammfunktion „Groß-F von x“ zu dieser Funktion ist dann jede Funktion, die die Eigenschaft besitzt, dass sie abgeleitet „f von x“ ergibt. Ein Beispiel: Eine Stammfunktion von „f von x gleich x Quadrat“, ist „ein Drittel x hoch drei“, weil das abgeleitet eben „x Quadrat“ ergibt. „Ein Drittel x hoch drei plus eins“ ist allerdings ebenfalls eine Stammfunktion, da Konstanten beim Ableiten wegfallen. Weil wir eine beliebige konstante Zahl addieren oder subtrahieren können, gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen zu einer integrierbaren Funktion. Das Bestimmen von Stammfunktionen – wir sagen dazu auch integrieren – ist also gewissermaßen die Umkehroperation zum Ableiten. Wenn wir eine „Stammfunktion“ bestimmen, ist unser Ergebnis also eine konkrete Funktion. Doch dieses Ergebnis ist nicht eindeutig. Es gibt zu einer Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Hier kommt das „unbestimmte Integral“ ins Spiel. Um das darzustellen, nutzen wir das klassische, geschwungene S als Integralzeichen, dann kommt der Integrand, also die Funktion, die integriert werden soll, und das „dx“ rundet das „unbestimmte Integral“ ab, indem es anzeigt welche Variable integriert werden soll – in unserem Fall x. Das Integralzeichen und das „dx“ können wir uns also als Klammer vorstellen, die ein Integral einleitet und abschließt. Aber was genau können wir uns jetzt unter solch einem „unbestimmten Integral“ vorstellen? Schauen wir uns das erneut am Beispiel an. Wenn wir das „unbestimmte Integral“ von „x Quadrat“ „dx“ betrachten, meinen wir damit die gesamte Menge aller Stammfunktionen von „x Quadrat“. Das verdeutlichen wir, indem wir zu „ein Drittel x hoch drei“ noch die „Integrationskonstante c“ addieren. C steht hier für eine beliebige reelle Zahl, also alle möglichen Konstanten, die beim Ableiten wieder wegfallen würden. Das „unbestimmte Integral“ ist also eine Funktionsschar mit dem Parameter c. Allgemein heißt das: Das Integral über eine Funktion „f von x“ fasst als Funktionsschar alle Stammfunktionen zusammen, die abgeleitet „f von x“ ergeben. Alles klar! Die nächste Frage ist dann: Wie unterscheidet sich das „bestimmte Integral“ vom „Unbestimmten“? Ganz einfach gesagt: Das „bestimmte Integral“ hat Integrationsgrenzen, die beim unbestimmten Integral fehlen. Ein weiterer Unterschied, der damit einhergeht, ist, dass das bestimmte Integral keine Funktion oder Funktionsschar wiedergibt, sondern einen einfachen Zahlenwert – hier durch das w symbolisiert. Dieser Zahlenwert wiederum steht für einen orientierten Flächeninhalt – das heißt für eine Flächenbilanz zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse – bei der Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv, und Flächeninhalte unterhalb der x-Achse negativ bilanziert werden. Den konkreten Wert dieser Flächenbilanz können wir wiederum berechnen, indem wir den „Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung“ anwenden. Das müssen wir uns nochmal genauer anschauen. Die Integralgrenzen geben also ein bestimmtes Intervall an, in dem das Integral ausgewertet werden soll. Deshalb auch „bestimmtes Integral“. Es handelt sich dann um den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse in diesem bestimmten Intervall. Wir betrachten wieder unser konkretes Beispiel: Uns interessiert die Fläche, die „X Quadrat“ mit der x-Achse im Intervall von null bis eins einschließt. Dafür nutzen wir den Hauptsatz, bilden also eine Stammfunktion, und werten diese Stammfunktion an den Intervallgrenzen aus. Wir erhalten ein Drittel als Flächeninhalt. Wie wir sehen, erhalten wir durch die Berechnung des bestimmten Integrals einen konkreten Zahlenwert. Darauf achten, dass dieser den orientierten Flächeninhalt widerspiegelt und nicht immer – wie in diesem Beispiel – positiv sein muss. Und schon bleibt nur noch ein Begriff übrig: Die „Integralfunktion“. Um diesen Begriff zu erklären, nehmen wir das „bestimmte Integral“ als Ausgangspunkt. Hier haben wir ja feste Grenzen für ein Intervall, in dem wir den orientierten Flächeninhalt betrachten. Jetzt könnte man auf die Idee kommen, einen dieser Werte beliebig zu variieren, also variabel zu halten. Wir verdeutlichen das, indem wir für die feste Grenze b, die Variable Grenze t einsetzen. So verändert sich die Größe der Flächenbilanz, je nachdem welchen Wert wir für t wählen. Wenn wir das Ganze als Zuordnung betrachten, haben wir eine Funktion konstruiert – wir benennen sie mit einem großen i für Integralfunktion und mit der unabhängigen Variablen t. Diese Funktion gibt uns für verschiedene Werte von t jeweils die resultierende Flächenbilanz zwischen dem Graphen der Funktion „f von x“ und der x-Achse wieder. Die untere Integrationsgrenze a ist dabei ein festgelegter Wert. Auch das schauen wir uns nochmal konkret an der Funktion „f von x gleich x Quadrat“ und der unteren Intervallgrenze zwei an. Um den Funktionsterm der entsprechenden Integralfunktion aufzustellen, können wir jetzt wieder den Hauptsatz anwenden. So erhalten wir eine ganz konkrete Funktion als Ergebnis. Wenn wir die Variable t jetzt wieder in ein x umbenennen, erkennen wir, dass es sich bei der Integralfunktion um eine Stammfunktion von „f von x“ handelt. Nämlich genau die, die an der „unteren Integrationsgrenze zwei“ eine Nullstelle hat. Eine Integralfunktion ist also eine spezielle Stammfunktion mit festgelegter Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze. Wir erkennen, dass alle Begriffe irgendwie miteinander zusammenhängen. Trotzdem oder gerade deswegen sollten wir bei der Integralrechnung achtsam bleiben und genau überlegen, was wir gerade berechnen wollen. „Stammfunktionen“ und „Integralfunktionen“ sind jeweils Funktionen, das „unbestimmte Integral“ beschreibt die Menge aller Stammfunktionen, sprich eine Funktionsschar, und das „bestimme Integral“ gibt einen orientierten Flächeninhalt an, also eine konkrete Zahl. Na also, geht doch! Da sind die Zweifel doch wie weggewischt!
Überblick zur Integralrechnung: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion Übung
-
Benenne die Formeln mit dem passenden Fachbegriff.
TippsDas unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen an, also eine Funktionsschar.
Die Integralfunktion wird mithilfe eines bestimmten Integrals angegeben.
LösungIn der Integralrechnung haben wir es mit einigen Fachbegriffen zu tun, die wir in ihrer Bedeutung und Berechnung unterscheiden müssen. Wir betrachten hier die Begriffe Stammfunktion, unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral und Integralfunktion:
Stammfunktion:
$F(x)$ mit $\bigl(F(x)\bigr)' = f(x)$
Eine Stammfunktion $F(x)$ ist eine Funktion, die abgeleitet wieder $f(x)$ ergibt. Dabei gibt es zu einer Funktion $f(x)$ immer mehrere Stammfunktionen, da additive Konstanten beim Ableiten wegfallen.unbestimmtes Integral:
$\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = F(x) + c \quad (c \in \mathbb{R})$
Ein unbestimmtes Integral hat keine Integrationsgrenzen. Es ergibt eine Funktionsschar, die für die Menge aller Stammfunktionen steht. Da die Integrationskonstante $c$ beim Ableiten wegfällt, gilt: $\bigl(F(x) + c\bigr)' = f(x)$.bestimmtes Integral:
$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x = F(b) - F(a)$
Ein bestimmtes Integral beschreibt die orientierte Fläche, die der Funktionsgraph und die $x$-Achse zwischen den Integrationsgrenzen einschließen. Wir können es über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen, indem wir die Integrationsgrenzen in eine Stammfunktion einsetzen und die Differenz berechnen. Das Ergebnis ist eine Zahl.Integralfunktion:
$I_a(t) = \displaystyle\int\limits_{a}^{t} f(x) ~\text{d}x$
Eine Integralfunktion ist ein bestimmtes Integral, bei dem eine untere Grenze $a$ festgelegt wird und die obere Grenze $t$ variiert wird. Berechnen wir das bestimmte Integral mit der allgemeinen Variable $t$, so erhalten wir eine bestimmte Stammfunktion der Funktion $f(x)$. -
Beschreibe, wie eine Integralfunktion mithilfe eines bestimmten Integrals aufgestellt wird.
TippsFür jede Stammfunktion gilt:
$\bigl(F(x)\bigr)' = f(x)$
Jede Integralfunktion $I_a(t)$ hat bei $a$ eine Nullstelle.
LösungJede Integralfunktion ist eine Stammfunktion. Zusätzlich besitzt sie eine Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze.
Es kommen also nur Stammfunktionen als Integralfunktion in Frage, die mindestens eine Nullstelle haben.
Um die Integralfunktion $I_a(t)$ anzugeben, berechnen wir das bestimmte Integral in den Grenzen $a$ und $t$. Das Ergebnis ist eine Funktion, die den Flächeninhalt in Abhängigkeit der Variable $t$ beschreibt.Beispiel:
$\begin{array}{ll} I_1(t) &= \displaystyle \int\limits_{1}^{t} 2x^3 ~\text{d}x = \biggl[\dfrac{1}{2}x^4\biggr]_{1}^{t} \\ & \\ &= \dfrac{1}{2}t^4 - \dfrac{1}{2}\cdot 1^4 = \dfrac{1}{2}t^4 - \dfrac{1}{2} \end{array}$Es gilt: $I_1(1) = 0$, da jede Integralfunktion $I_a(t)$ bei $t = a$ eine Nullstelle hat.
-
Entscheide, ob die Beschreibungen und Beispiele für Stammfunktion, Integralfunktion, bestimmtes oder unbestimmtes Integral sprechen.
TippsEine Integralfunktion $I_a(t)$ muss mindestens eine Nullstelle haben. Stammfunktionen gibt es auch ohne Nullstellen.
Durch die Integrationsgrenzen wird ein Intervall bestimmt.
LösungAuch wenn Stammfunktion, Integralfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral eng miteinander zusammenhängen, ist es wichtig, diese Begriffe zu unterscheiden.
- Stammfunktion:
Zum Beispiel ist $\color{#99CC00}{\mathbf{x^2 + 3}}$ eine Stammfunktion von $2x$, da gilt: $\bigl(x^2 + 3\bigr)' = 2x$.- Integralfunktion:
Zum Beispiel ist $\color{#99CC00}{\mathbf{4 - t^2}}$ eine Integralfunktion $I_2(t)$ zur Funktion $f(x) = {-}2x$ mit unterer Integrationsgrenze $a= 2$.- unbestimmtes Integral:
$\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = \color{#99CC00}{\mathbf{F(x) + c}}$. Durch Hinzufügen der Integrationskonstante $c$ erhalten wir eine Funktionsschar.- bestimmtes Integral:
Beispiel: $\displaystyle\color{#99CC00}{\mathbf{\int\limits_{0}^{2} e^x ~\text{d}x}} \color{black}{=} \Bigl[e^x\Bigr]_{0}^{2} = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}4$$ \Rightarrow$ Der Graph von $e^x$ schließt im Intervall $[0{;}1]$ eine Fläche von $6{,}4 ~[\text{FE}]$ mit der $x$-Achse ein.
-
Beurteile die Aussagen zur Integralrechnung.
TippsJede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle.
Der Wert eines bestimmten Integrals lässt sich mit einer beliebigen Stammfunktion berechnen.
LösungDie Integralrechnung nutzt das Integrieren, gewissermaßen die Umkehrung des Ableitens, zur Berechnung von Flächen. Dabei müssen wir verschiedene Anwendungen unterscheiden.
Dem Namen nach handelt es sich bei einer Stammfunktion und einer Integralfunktion jeweils um Funktionen. Eine Integralfunktion ist dabei eine bestimmte Stammfunktion, die mithilfe des bestimmten Integrals und einer festgelegten unteren Grenze bestimmt werden kann. Die obere Grenze beschreibt dabei die Variable der Funktion. Die Integralfunktion hat immer eine Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze.
$\Rightarrow$ Stammfunktionen und Integralfunktionen sind Funktionen. Das ist richtig.
$\Rightarrow$ Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion. Das ist richtig.
$\Rightarrow$ Jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion. Das ist falsch – dies gilt nur für Stammfunktionen, die zumindest eine Nullstelle haben.Ein bestimmtes Integral $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x\ \ $ steht für den orientierten Flächeninhalt, den der Graph der Funktion im Intervall $[a{;}b]$ einschließt. Zur Berechnung können wir eine beliebige Stammfunktion verwenden (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).
$\Rightarrow$ Wir können ein bestimmtes Integral mit einer Integralfunktion berechnen. Das ist richtig – eine Integralfunktion ist schließlich stets ein bestimmtes Integral.Das unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen als Funktionsschar an. Im Gegensatz zum bestimmten Integral gibt es hier keine Integrationsgrenzen. Es wird also kein Intervall betrachtet.
$\Rightarrow$ Bestimmtes und unbestimmtes Integral sind Zahlenwerte. Das ist falsch – dies gilt nur für das bestimmte Integral. Das unbestimmte Integral ist hingegen eine Funktionsschar.
$\Rightarrow$ Ein unbestimmtes Integral hat keinen Integranden. Das ist falsch – der Integrand steht stets zwischen dem Integralzeichen und $\text{d}x$. Das unbestimmte Integral hat keine Integrationsgrenzen. -
Bestimme die Integrale.
TippsFaktorregel:
$\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = {k \cdot F(x) + c}$Summenregel:
$\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = {F(x) + G(x) + c}$Beispiel:
$\begin{array}{ll} \displaystyle \int 5x^2 - 4x^4 ~\text{d}x &= 5 \cdot \dfrac{1}{3}x^3 - 4 \cdot \dfrac{1}{5}x^5 + c \\ & \\ &= \dfrac{5}{3}x^4 - \dfrac{4}{5}x^5 + c \end{array}$
LösungUm eine ganzrationale Funktion zu integrieren, nutzen wir die folgenden Regeln:
Potenzregel:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \quad (c\in \mathbb{R})$Faktorregel:
$\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot F(x) + c \quad (c\in \mathbb{R}) $Summenregel:
$\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = {F(x) + G(x) + c} \quad (c\in \mathbb{R})$Beispiel 1:
$\begin{array}{ll} \displaystyle \int 6x^2 ~\text{d}x &= 6 \cdot \dfrac{1}{2+1}x^{2+1} + c \\ & \\ &= \dfrac{6}{3}x^3 + c \\ & \\ &= 2x^3 +c \end{array}$Beispiel 2:
$\begin{array}{ll} \displaystyle \int 3x^5 ~\text{d}x &= 3 \cdot \dfrac{1}{5+1}x^{5+1} + c \\ & \\ &= \dfrac{3}{6}x^6 +c \\ & \\ &= 0{,}5x^6 + c \end{array}$Beispiel 3:
$\begin{array}{ll} \displaystyle \int 2x^3 - 12x^2 ~\text{d}x &= 2 \cdot \dfrac{1}{3+1}x^{3+1} - 12 \cdot \dfrac{1}{2+1}x^{2+1} + c \\ & \\ &= \dfrac{2}{4}x^4 - \dfrac{12}{3}x^3 + c\\ & \\ &= 0{,}5x^4 - 4x^3 + c \end{array}$ -
Entscheide, was im Graphen dargestellt ist.
TippsEine additive Kontante verschiebt den Funktionsgraph in $y$-Richtung nach oben oder unten.
Jede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle.
LösungWir betrachten die graphische Darstellung von Stammfunktion, Integralfunktion, bestimmtem und unbestimmtem Integral.
Stammfunktion und Integralfunktionen sind jeweils Funktionen, wobei eine Integralfunktion $I_a(t)$ stets zumindest eine Nullstelle bei der unteren Integrationsgrenze $a$ hat.
$\Rightarrow$ Der erste Graph ist eine Stammfunktion, da er keine Nullstelle hat. Das heißt, es kann sich nicht um eine Integralfunktion handeln. Der dritte Graph stellt entsprechend die Integralfunktion $I_{{-}2}$ oder $I_{1}$ dar, da er an diesen Punkten Nullstellen hat.Das unbestimmte Integral
$\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = F(x) + c~$
ist eine Funktionsschar, bei der die einzelnen Graphen durch die Integrationskonstante in $y$-Richtung nach oben oder unten verschoben sind.
$\Rightarrow$ Die zweite Abbildung veranschaulicht ein unbestimmtes Integral.Ein bestimmtes Integral steht für die Flächenbilanz von orientierten Flächen, die der Graph und die $x$-Achse in den Integrationsgrenzen einschließen.
$\Rightarrow$ Die vierte Abbildung zeigt ein bestimmtes Integral mit den Grenzen $-0{,}5$ und $3{,}5$.
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