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Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion

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Team Digital
Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die wichtigsten Begriffe der Integralrechnung voneinander zu unterscheiden und miteinander in Beziehung zu setzen.

Zunächst lernst du, was man unter einer Stammfunktion versteht. Anschließend lernst du, wie man ein unbestimmtes und wie man das bestimmtes Integral berechnen kann und wie sich diese unterscheiden. Abschließend erfährst du, was man unter einer Integralfunktion versteht.

Stammfunktion unbestimmtes und bestimmtes Integral und Integralfunktion

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie (un)bestimmtes Integral, Stammfunktion, Integrationskonstante, Integralfunktion, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Flächenbilanz usw.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Begriffe kennen, die in diesem Video noch einmal in einen Zusammenhang gebracht werden sollen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur Integralrechnung haben.

Transkript Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion

„Stammfunktion“, „Integralfunktion“, es geht um Integrale schon klar, aber „bestimmt“ oder „unbestimmt“? Und was hat nochmal diese „Integrationskonstante“ mit dem Ganzen zu tun? Wenn man vor dem Begriffs-Wirrwarr der Integralrechnung steht, kann man schnell den Überblick verlieren. Damit das nicht passiert, soll dieses Video etwas Licht ins Dunkle bringen. Folgende Begriffe wollen wir uns hier mal genauer anschauen und voneinander abgrenzen: Zum einen gibt es „Stammfunktionen“, außerdem das „unbestimmte Integral“, genauso wie das „bestimmte Integral“ und immer mal wieder ist auch die Rede von der „Integralfunktion“. Die Begriffe sollten dir grundsätzlich schon geläufig sein. Dieses Video verschafft dir aber nochmal einen Überblick. Du bist sicher nicht alleine, wenn du da hin und wieder mal den Durchblick verlierst. Aber wir können die Begriffe ja mal Schritt für Schritt durchgehen und uns klar machen, worin sie sich unterscheiden – aber auch wie sie zusammenhängen. Zuerst nehmen wir die „Stammfunktionen“ unter die Lupe. Um eine Stammfunktion zu erhalten, brauchen wir zunächst eine ganz normale Funktion „f von x“. Stammfunktion „Groß-F von x“ zu dieser Funktion ist dann jede Funktion, die die Eigenschaft besitzt, dass sie abgeleitet „f von x“ ergibt. Ein Beispiel: Eine Stammfunktion von „f von x gleich x Quadrat“, ist „ein Drittel x hoch drei“, weil das abgeleitet eben „x Quadrat“ ergibt. „Ein Drittel x hoch drei plus eins“ ist allerdings ebenfalls eine Stammfunktion, da Konstanten beim Ableiten wegfallen. Weil wir eine beliebige konstante Zahl addieren oder subtrahieren können, gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen zu einer integrierbaren Funktion. Das Bestimmen von Stammfunktionen – wir sagen dazu auch integrieren – ist also gewissermaßen die Umkehroperation zum Ableiten. Wenn wir eine „Stammfunktion“ bestimmen, ist unser Ergebnis also eine konkrete Funktion. Doch dieses Ergebnis ist nicht eindeutig. Es gibt zu einer Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Hier kommt das „unbestimmte Integral“ ins Spiel. Um das darzustellen, nutzen wir das klassische, geschwungene S als Integralzeichen, dann kommt der Integrand, also die Funktion, die integriert werden soll, und das „dx“ rundet das „unbestimmte Integral“ ab, indem es anzeigt welche Variable integriert werden soll – in unserem Fall x. Das Integralzeichen und das „dx“ können wir uns also als Klammer vorstellen, die ein Integral einleitet und abschließt. Aber was genau können wir uns jetzt unter solch einem „unbestimmten Integral“ vorstellen? Schauen wir uns das erneut am Beispiel an. Wenn wir das „unbestimmte Integral“ von „x Quadrat“ „dx“ betrachten, meinen wir damit die gesamte Menge aller Stammfunktionen von „x Quadrat“. Das verdeutlichen wir, indem wir zu „ein Drittel x hoch drei“ noch die „Integrationskonstante c“ addieren. C steht hier für eine beliebige reelle Zahl, also alle möglichen Konstanten, die beim Ableiten wieder wegfallen würden. Das „unbestimmte Integral“ ist also eine Funktionsschar mit dem Parameter c. Allgemein heißt das: Das Integral über eine Funktion „f von x“ fasst als Funktionsschar alle Stammfunktionen zusammen, die abgeleitet „f von x“ ergeben. Alles klar! Die nächste Frage ist dann: Wie unterscheidet sich das „bestimmte Integral“ vom „Unbestimmten“? Ganz einfach gesagt: Das „bestimmte Integral“ hat Integrationsgrenzen, die beim unbestimmten Integral fehlen. Ein weiterer Unterschied, der damit einhergeht, ist, dass das bestimmte Integral keine Funktion oder Funktionsschar wiedergibt, sondern einen einfachen Zahlenwert – hier durch das w symbolisiert. Dieser Zahlenwert wiederum steht für einen orientierten Flächeninhalt – das heißt für eine Flächenbilanz zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse – bei der Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv, und Flächeninhalte unterhalb der x-Achse negativ bilanziert werden. Den konkreten Wert dieser Flächenbilanz können wir wiederum berechnen, indem wir den „Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung“ anwenden. Das müssen wir uns nochmal genauer anschauen. Die Integralgrenzen geben also ein bestimmtes Intervall an, in dem das Integral ausgewertet werden soll. Deshalb auch „bestimmtes Integral“. Es handelt sich dann um den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse in diesem bestimmten Intervall. Wir betrachten wieder unser konkretes Beispiel: Uns interessiert die Fläche, die „X Quadrat“ mit der x-Achse im Intervall von null bis eins einschließt. Dafür nutzen wir den Hauptsatz, bilden also eine Stammfunktion, und werten diese Stammfunktion an den Intervallgrenzen aus. Wir erhalten ein Drittel als Flächeninhalt. Wie wir sehen, erhalten wir durch die Berechnung des bestimmten Integrals einen konkreten Zahlenwert. Darauf achten, dass dieser den orientierten Flächeninhalt widerspiegelt und nicht immer – wie in diesem Beispiel – positiv sein muss. Und schon bleibt nur noch ein Begriff übrig: Die „Integralfunktion“. Um diesen Begriff zu erklären, nehmen wir das „bestimmte Integral“ als Ausgangspunkt. Hier haben wir ja feste Grenzen für ein Intervall, in dem wir den orientierten Flächeninhalt betrachten. Jetzt könnte man auf die Idee kommen, einen dieser Werte beliebig zu variieren, also variabel zu halten. Wir verdeutlichen das, indem wir für die feste Grenze b, die Variable Grenze t einsetzen. So verändert sich die Größe der Flächenbilanz, je nachdem welchen Wert wir für t wählen. Wenn wir das Ganze als Zuordnung betrachten, haben wir eine Funktion konstruiert – wir benennen sie mit einem großen i für Integralfunktion und mit der unabhängigen Variablen t. Diese Funktion gibt uns für verschiedene Werte von t jeweils die resultierende Flächenbilanz zwischen dem Graphen der Funktion „f von x“ und der x-Achse wieder. Die untere Integrationsgrenze a ist dabei ein festgelegter Wert. Auch das schauen wir uns nochmal konkret an der Funktion „f von x gleich x Quadrat“ und der unteren Intervallgrenze zwei an. Um den Funktionsterm der entsprechenden Integralfunktion aufzustellen, können wir jetzt wieder den Hauptsatz anwenden. So erhalten wir eine ganz konkrete Funktion als Ergebnis. Wenn wir die Variable t jetzt wieder in ein x umbenennen, erkennen wir, dass es sich bei der Integralfunktion um eine Stammfunktion von „f von x“ handelt. Nämlich genau die, die an der „unteren Integrationsgrenze zwei“ eine Nullstelle hat. Eine Integralfunktion ist also eine spezielle Stammfunktion mit festgelegter Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze. Wir erkennen, dass alle Begriffe irgendwie miteinander zusammenhängen. Trotzdem oder gerade deswegen sollten wir bei der Integralrechnung achtsam bleiben und genau überlegen, was wir gerade berechnen wollen. „Stammfunktionen“ und „Integralfunktionen“ sind jeweils Funktionen, das „unbestimmte Integral“ beschreibt die Menge aller Stammfunktionen, sprich eine Funktionsschar, und das „bestimme Integral“ gibt einen orientierten Flächeninhalt an, also eine konkrete Zahl. Na also, geht doch! Da sind die Zweifel doch wie weggewischt!

Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Überblick: Integral, Stammfunktion, Integralfunktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Formeln mit dem passenden Fachbegriff.

    Tipps

    Das unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen an, also eine Funktionsschar.

    Die Integralfunktion wird mithilfe eines bestimmten Integrals angegeben.

    Lösung

    In der Integralrechnung haben wir es mit einigen Fachbegriffen zu tun, die wir in ihrer Bedeutung und Berechnung unterscheiden müssen. Wir betrachten hier die Begriffe Stammfunktion, unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral und Integralfunktion:

    Stammfunktion:
    $F(x)$ mit $\bigl(F(x)\bigr)' = f(x)$
    Eine Stammfunktion $F(x)$ ist eine Funktion, die abgeleitet wieder $f(x)$ ergibt. Dabei gibt es zu einer Funktion $f(x)$ immer mehrere Stammfunktionen, da additive Konstanten beim Ableiten wegfallen.

    unbestimmtes Integral:
    $\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = F(x) + c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Ein unbestimmtes Integral hat keine Integrationsgrenzen. Es ergibt eine Funktionsschar, die für die Menge aller Stammfunktionen steht. Da die Integrationskonstante $c$ beim Ableiten wegfällt, gilt: $\bigl(F(x) + c\bigr)' = f(x)$.

    bestimmtes Integral:
    $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x = F(b) - F(a)$
    Ein bestimmtes Integral beschreibt die orientierte Fläche, die der Funktionsgraph und die $x$-Achse zwischen den Integrationsgrenzen einschließen. Wir können es über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen, indem wir die Integrationsgrenzen in eine Stammfunktion einsetzen und die Differenz berechnen. Das Ergebnis ist eine Zahl.

    Integralfunktion:
    $I_a(t) = \displaystyle\int\limits_{a}^{t} f(x) ~\text{d}x$
    Eine Integralfunktion ist ein bestimmtes Integral, bei dem eine untere Grenze $a$ festgelegt wird und die obere Grenze $t$ variiert wird. Berechnen wir das bestimmte Integral mit der allgemeinen Variable $t$, so erhalten wir eine bestimmte Stammfunktion der Funktion $f(x)$.

  • Beschreibe, wie eine Integralfunktion mithilfe eines bestimmten Integrals aufgestellt wird.

    Tipps

    Für jede Stammfunktion gilt:

    $\bigl(F(x)\bigr)' = f(x)$

    Jede Integralfunktion $I_a(t)$ hat bei $a$ eine Nullstelle.

    Lösung

    Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion. Zusätzlich besitzt sie eine Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze.
    Es kommen also nur Stammfunktionen als Integralfunktion in Frage, die mindestens eine Nullstelle haben.
    Um die Integralfunktion $I_a(t)$ anzugeben, berechnen wir das bestimmte Integral in den Grenzen $a$ und $t$. Das Ergebnis ist eine Funktion, die den Flächeninhalt in Abhängigkeit der Variable $t$ beschreibt.

    Beispiel:
    $\begin{array}{ll} I_1(t) &= \displaystyle \int\limits_{1}^{t} 2x^3 ~\text{d}x = \biggl[\dfrac{1}{2}x^4\biggr]_{1}^{t} \\ & \\ &= \dfrac{1}{2}t^4 - \dfrac{1}{2}\cdot 1^4 = \dfrac{1}{2}t^4 - \dfrac{1}{2} \end{array}$

    Es gilt: $I_1(1) = 0$, da jede Integralfunktion $I_a(t)$ bei $t = a$ eine Nullstelle hat.

  • Entscheide, ob die Beschreibungen und Beispiele für Stammfunktion, Integralfunktion, bestimmtes oder unbestimmtes Integral sprechen.

    Tipps

    Eine Integralfunktion $I_a(t)$ muss mindestens eine Nullstelle haben. Stammfunktionen gibt es auch ohne Nullstellen.

    Durch die Integrationsgrenzen wird ein Intervall bestimmt.

    Lösung

    Auch wenn Stammfunktion, Integralfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral eng miteinander zusammenhängen, ist es wichtig, diese Begriffe zu unterscheiden.

    • Stammfunktion:
    Eine Stammfunktion einer Funktion $f(x)$ wird mit $\color{#99CC00}{\mathbf{F(x)}}$ (sprich 'groß F') bezeichnet. Dabei handelt es sich um eine beliebige Funktion, für die gilt: $\bigl(F(x)\bigr)' = f(x)$.
    Zum Beispiel ist $\color{#99CC00}{\mathbf{x^2 + 3}}$ eine Stammfunktion von $2x$, da gilt: $\bigl(x^2 + 3\bigr)' = 2x$.

    • Integralfunktion:
    Bei einer Integralfunktion $\color{#99CC00}{\mathbf{I_a(t)}}$ ist die untere Grenze auf den Wert $a$ festgelegt. Die obere Grenze ist mit $t$ variabel. Das Ergebnis ist eine bestimmte Stammfunktion, die bei $a$ eine Nullstelle besitzt.
    Zum Beispiel ist $\color{#99CC00}{\mathbf{4 - t^2}}$ eine Integralfunktion $I_2(t)$ zur Funktion $f(x) = {-}2x$ mit unterer Integrationsgrenze $a= 2$.

    • unbestimmtes Integral:
    Das unbestimmte Integral wird ohne Integrationsgrenzen geschrieben und beschreibt die Menge aller Stammfunktionen:
    $\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = \color{#99CC00}{\mathbf{F(x) + c}}$. Durch Hinzufügen der Integrationskonstante $c$ erhalten wir eine Funktionsschar.

    • bestimmtes Integral:
    Das bestimmte Integral hat eine obere und untere Integrationsgrenze. Wir können es mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Grenzen in eine Stammfunktion berechnen. Das Ergebnis ist ein Zahlenwert, der eine Flächenbilanz zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse beschreibt.
    Beispiel: $\displaystyle\color{#99CC00}{\mathbf{\int\limits_{0}^{2} e^x ~\text{d}x}} \color{black}{=} \Bigl[e^x\Bigr]_{0}^{2} = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}4$

    $ \Rightarrow$ Der Graph von $e^x$ schließt im Intervall $[0{;}1]$ eine Fläche von $6{,}4 ~[\text{FE}]$ mit der $x$-Achse ein.

  • Beurteile die Aussagen zur Integralrechnung.

    Tipps

    Jede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle.

    Der Wert eines bestimmten Integrals lässt sich mit einer beliebigen Stammfunktion berechnen.

    Lösung

    Die Integralrechnung nutzt das Integrieren, gewissermaßen die Umkehrung des Ableitens, zur Berechnung von Flächen. Dabei müssen wir verschiedene Anwendungen unterscheiden.

    Dem Namen nach handelt es sich bei einer Stammfunktion und einer Integralfunktion jeweils um Funktionen. Eine Integralfunktion ist dabei eine bestimmte Stammfunktion, die mithilfe des bestimmten Integrals und einer festgelegten unteren Grenze bestimmt werden kann. Die obere Grenze beschreibt dabei die Variable der Funktion. Die Integralfunktion hat immer eine Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze.
    $\Rightarrow$ Stammfunktionen und Integralfunktionen sind Funktionen. Das ist richtig.
    $\Rightarrow$ Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion. Das ist richtig.
    $\Rightarrow$ Jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion. Das ist falsch – dies gilt nur für Stammfunktionen, die zumindest eine Nullstelle haben.

    Ein bestimmtes Integral $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x\ \ $ steht für den orientierten Flächeninhalt, den der Graph der Funktion im Intervall $[a{;}b]$ einschließt. Zur Berechnung können wir eine beliebige Stammfunktion verwenden (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).
    $\Rightarrow$ Wir können ein bestimmtes Integral mit einer Integralfunktion berechnen. Das ist richtig – eine Integralfunktion ist schließlich stets ein bestimmtes Integral.

    Das unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen als Funktionsschar an. Im Gegensatz zum bestimmten Integral gibt es hier keine Integrationsgrenzen. Es wird also kein Intervall betrachtet.
    $\Rightarrow$ Bestimmtes und unbestimmtes Integral sind Zahlenwerte. Das ist falsch – dies gilt nur für das bestimmte Integral. Das unbestimmte Integral ist hingegen eine Funktionsschar.
    $\Rightarrow$ Ein unbestimmtes Integral hat keinen Integranden. Das ist falsch – der Integrand steht stets zwischen dem Integralzeichen und $\text{d}x$. Das unbestimmte Integral hat keine Integrationsgrenzen.

  • Bestimme die Integrale.

    Tipps

    Faktorregel:
    $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = {k \cdot F(x) + c}$

    Summenregel:
    $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = {F(x) + G(x) + c}$

    Beispiel:

    $\begin{array}{ll} \displaystyle \int 5x^2 - 4x^4 ~\text{d}x &= 5 \cdot \dfrac{1}{3}x^3 - 4 \cdot \dfrac{1}{5}x^5 + c \\ & \\ &= \dfrac{5}{3}x^4 - \dfrac{4}{5}x^5 + c \end{array}$

    Lösung

    Um eine ganzrationale Funktion zu integrieren, nutzen wir die folgenden Regeln:

    Potenzregel:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \quad (c\in \mathbb{R})$

    Faktorregel:
    $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot F(x) + c \quad (c\in \mathbb{R}) $

    Summenregel:
    $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = {F(x) + G(x) + c} \quad (c\in \mathbb{R})$

    Beispiel 1:
    $\begin{array}{ll} \displaystyle \int 6x^2 ~\text{d}x &= 6 \cdot \dfrac{1}{2+1}x^{2+1} + c \\ & \\ &= \dfrac{6}{3}x^3 + c \\ & \\ &= 2x^3 +c \end{array}$

    Beispiel 2:
    $\begin{array}{ll} \displaystyle \int 3x^5 ~\text{d}x &= 3 \cdot \dfrac{1}{5+1}x^{5+1} + c \\ & \\ &= \dfrac{3}{6}x^6 +c \\ & \\ &= 0{,}5x^6 + c \end{array}$

    Beispiel 3:
    $\begin{array}{ll} \displaystyle \int 2x^3 - 12x^2 ~\text{d}x &= 2 \cdot \dfrac{1}{3+1}x^{3+1} - 12 \cdot \dfrac{1}{2+1}x^{2+1} + c \\ & \\ &= \dfrac{2}{4}x^4 - \dfrac{12}{3}x^3 + c\\ & \\ &= 0{,}5x^4 - 4x^3 + c \end{array}$

  • Entscheide, was im Graphen dargestellt ist.

    Tipps

    Eine additive Kontante verschiebt den Funktionsgraph in $y$-Richtung nach oben oder unten.

    Jede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle.

    Lösung

    Wir betrachten die graphische Darstellung von Stammfunktion, Integralfunktion, bestimmtem und unbestimmtem Integral.

    Stammfunktion und Integralfunktionen sind jeweils Funktionen, wobei eine Integralfunktion $I_a(t)$ stets zumindest eine Nullstelle bei der unteren Integrationsgrenze $a$ hat.
    $\Rightarrow$ Der erste Graph ist eine Stammfunktion, da er keine Nullstelle hat. Das heißt, es kann sich nicht um eine Integralfunktion handeln. Der dritte Graph stellt entsprechend die Integralfunktion $I_{{-}2}$ oder $I_{1}$ dar, da er an diesen Punkten Nullstellen hat.

    Das unbestimmte Integral
    $\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = F(x) + c~$
    ist eine Funktionsschar, bei der die einzelnen Graphen durch die Integrationskonstante in $y$-Richtung nach oben oder unten verschoben sind.
    $\Rightarrow$ Die zweite Abbildung veranschaulicht ein unbestimmtes Integral.

    Ein bestimmtes Integral steht für die Flächenbilanz von orientierten Flächen, die der Graph und die $x$-Achse in den Integrationsgrenzen einschließen.
    $\Rightarrow$ Die vierte Abbildung zeigt ein bestimmtes Integral mit den Grenzen $-0{,}5$ und $3{,}5$.

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