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Nullstellen von Funktionen höheren Grades

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Team Digital
Nullstellen von Funktionen höheren Grades
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Nullstellen von Funktionen höheren Grades

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Nullstellen von Funktionen dritten und höheren Grades zu berechnen.

Zunächst lernst du, wie Nullstellen durch Ausklammern sichtbar gemacht werden können.

Ausklammern

Anschließend lernst du, wann und warum du eine Polynomdivision anwenden solltest.

Polynomdivision

Abschließend lernst du, wie eine Substitution funktioniert und wann sie dir weiterhilft.

Substitution

Lerne, wie du dich in dem schwierigen Labyrinth der Nullstellensuche zurechtfindest.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Nullstelle, Grad, Polynom, Faktorisierung, Linearfaktoren, Polynomdivision und Substitution.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Polynom ist und wie man die Nullstellen von linearen und quadratischen Funktion berechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Schritte der Kurvendiskussion von Funktionen zu lernen.

Transkript Nullstellen von Funktionen höheren Grades

Kennst du das? Die Matheaufgabe vor dir fühlt sich an wie ein riesiges Labyrinth! Überall Sackgassen, Fallen und Hindernisse! Ohne einen guten Plan kommst du hier nicht ans Ziel. Um so einen Plan geht es in diesem Video zur Suche von „Nullstellen von Funktionen höheren Grades“. Was eine Nullstelle ist und wie man nach ihr sucht, weißt du sicher: Dort wo der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet, ist der Funktionswert „F von x“ gleich Null. Man setzt also den Funktionsterm gleich null und versucht, nach „x“ aufzulösen. Erhält man eine Lösung, ist das die Nullstelle „x-Eins“. Es kann auch sein, dass es keine Lösung gibt – dann hat die Funktion keine Nullstelle. Ein Funktionsgraph kann aber auch mehrere Nullstellen haben. Das ist bei Funktionen höheren Grades oft der Fall. „Der Grad“, das ist ein Merkmal von Funktionen, die sich als ein „Polynom“ schreiben lassen, also als eine Summe von Potenzen von „x“. Die höchste Potenz von „x“, die im Funktionsterm vorkommt, bestimmt den Grad. Es gibt „konstante“, „lineare“, „quadratische“, „kubische“ und unendlich viel mehr Funktionen, wobei mit „höheren Graden“ alles ab dem dritten Grad gemeint ist, wie zum Beispiel diese Funktion. Was ist jetzt das Problem beim „gleich Null setzen“? Du kannst diese Gleichung nicht einfach nach „x“ umstellen, und auch eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen, wie diese hier, hilft erstmal nicht weiter. Also, was tun? Es lohnt sich immer, den Funktionsterm genauer unter die Lupe zu nehmen, und nach Möglichkeiten zu suchen, den Term umzuformen. Bei der Nullstellensuche ist das „Ausklammern“ besonders nützlich. HIER kann man ein „x“ ausklammern. Jetzt liegt die Gleichung teilweise „faktorisiert“ vor, also als Produkt von zwei Faktoren. Diese können wir getrennt betrachten, denn sobald ein Faktor „gleich Null“ ist, wird auch das gesamte Produkt „gleich Null“ sein. Damit haben wir schon eine Nullstelle sichtbar gemacht, nämlich „x-Eins gleich Null“. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn wir den zweiten Faktor gleich Null setzen und die Gleichung lösen, wofür wir jetzt die quadratische Lösungsformel nehmen können, oder einen anderen Weg, mit dem du deine quadratischen Gleichungen normalerweise löst. Ausklammern hilft also, eine Faktorisierung zu erreichen, um die einzelnen Faktoren getrennt betrachten zu können. Durch die berechneten Nullstellen können wir das Polynom vollständig als Produkt von „Linearfaktoren“ schreiben, wodurch alle Nullstellen gut sichtbar werden. Ausklammern ist aber leider nicht immer möglich. Oft sind die Aufgaben dann aber so gestellt, dass man eine Nullstelle durch „Probieren“ erraten kann. Dann setzt du am besten einfach mal „Eins“, „Minus-eins“ und weitere kleine Zahlen ein, bis du ein „x“ gefunden hast, bei dem der Funktionsterm den Wert Null annimmt. hier klappt das bei „x gleich Eins“. Ja, auch die größten Mathematiker haben sich nicht geschämt, mal ein bisschen rumzuprobieren! Manchmal ist aber auch schon eine Nullstelle angegeben – also immer wachsam bleiben! Aber was hilft jetzt diese eine Nullstelle? Wir nutzen sie, um die Funktionsgleichung zu faktorisieren und damit auf eine ähnliche Form wie im vorherigen Beispiel zu kommen. Dazu musst du eine „Polynomdivision“ durchführen, also das Polynom der Funktion durch „x minus die Nullstelle“ teilen. Das ist im Prinzip nichts anderes, als „x minus die Nullstelle“ auszuklammern, allerdings muss eben erst ausgerechnet werden, was dann im zweiten Faktor stehenbleibt. Wie die Polynomdivision genau durchgeführt wird, gehen wir jetzt mal nicht im Einzelnen durch. Wichtig ist nur, das Prinzip zu verstehen: Sie dient dazu, den Funktionsterm zu faktorisieren – genau wie das Ausklammern. Anschließend kannst du wieder die einzelnen Faktoren betrachten. Die eine Nullstelle kennen wir schon. Die anderen können wir berechnen, indem wir den übrigen Term gleich Null setzen, und auflösen. Das Ausklammern und die Polynomdivision sind auch die Mittel der Wahl, um Nullstellen von Funktionen vierten, fünften oder höheren Grades zu bestimmen. Dann müssen diese Strategien allerdings solange auf den übrigen Faktor der Funktionsgleichung angewendet werden, bis ein quadratischer Term übrigbleibt, der mit der Lösungsformel gelöst werden kann. Jetzt gibt es noch einen Cheat, den du anwenden kannst – der funktioniert aber nur, wenn im Funktionsterm NUR Potenzen von „x“ vorkommen, deren Exponenten jeweils das Doppelte voneinander sind. Nehmen wir diese Funktion mit „x-hoch-vier“ und „x-Quadrat“ als Beispiel. Hier kannst du eine „Substitution“ durchführen. „Substituieren“, das heißt „ersetzen“ – und zwar ersetzen wir „x-Quadrat“ durch eine neue Variable, „z“. Mit diesem einfachen Trick wird aus einem Polynom vierten Grades ein quadratischer Term, dessen Nullstellen mit der Lösungsformel bestimmt werden können. wobei auch deren „Gegenzahlen“ Nullstellen von „F von x“ sind. Haben wir zum Beispiel die Nullstellen „Neun“ und „neun Viertel“ nach Substitution ermittelt, sind „Drei“ und „drei Halbe“ sowie „Minus-drei“ und „Minus-drei Halbe“ die Nullstellen von „F von x“. Damit kann auch diese Funktion in Form von Linearfaktoren dargestellt werden. Puh, alles aus dem Weg geräumt! Fassen wir unseren Überblick über die Nullstellensuche zusammen: Um die Nullstellen von Funktionen dritten oder höheren Grades zu bestimmen, müssen diese erst vereinfacht werden. Ziel ist es, eine faktorisierte Form zu erreichen, um die Nullstellen der einzelnen Faktoren ermitteln zu können. Das ist durch „Ausklammern“, oder eine „Polynomdivision“ möglich. Eine „Substitution“ kann angewendet werden, wenn die Exponenten im Funktionsterm jeweils das Doppelte voneinander sind. Mit diesen Werkzeugen kommst du endlich ans Ziel, wenn du dich nicht verrechnet hast.

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Nullstellen von Funktionen höheren Grades Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Nullstellen von Funktionen höheren Grades kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man die Nullstellen einer Funktion höheren Grades bestimmen kann.

    Tipps

    Die Funktion $f(x)=x^3-2x^2+x = x(x-1)^2$ hat die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=1$.

    Um die Nullstelle der Funktion $f(x)=3x^3+x^2-4x+5$ zu berechnen, müssen wir die Gleichung $0=3x^3+x^2-4x+5$ lösen.

    Lösung

    Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. Eine Funktion kann eine, mehrere oder auch gar keine Nullstelle haben. Eine Polynomfunktion hat maximal so viele Nullstellen wie der Grad des Polynoms. Der Grad entspricht dabei der höchsten Potenz.

    Eine Funktion $3$. Grades hat genau drei Nullstellen.

    Diese Aussage ist also falsch. Gegenbeispiel: Die Funktion $f(x)=x^3-2x^2+x = x(x-1)^2$ hat die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=1$. Eine Funktion $3$. Grades kann drei, zwei oder eine Nullstelle haben.

    Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, setzen wir ihren Funktionsterm gleich Null.

    Dies ist richtig. Um die Nullstelle der Funktion $f(x)=3x^3+x^2-4x+5$ zu berechnen, müssen wir also die Gleichung $0=3x^3+x^2-4x+5$ lösen. Dazu gehen wir je nach Funktionstyp unterschiedlich vor. Bei einer linearen Funktion können wir die Gleichung einfach durch Äquivalenzumformungen nach $x$ auflösen. Bei einer quadratischen Funktion können wir die Lösungsformel anwenden. Bei einer Funktion höheren Gerades haben wir verschiedene Möglichkeiten:

    • Ausklammern
    • Poynomdivision
    • Substutution
    Manchmal ist es möglich, einen oder mehrere Faktoren auszuklammern. Dies kann helfen, die Nullstellen der Funktion zu bestimmen. Das Ziel ist es dabei, den Funktionsterm als Produkt (faktorisierte Form) zu schreiben.

    Ist eine Funktion in faktorisierter Form gegeben, dürfen wir die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmen, um die Nullstellen der Funktion zu erhalten.

    Diese Aussage ist richtig, denn es gilt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

    Ist eine Nullstelle bekannt, können wir durch Substitution den Funktionsterm faktorisieren.

    Diese Aussage ist falsch. Ist eine Nullstelle bekannt, können wir durch Polynomdivision den Funktionsterm faktorisieren.

  • Berechne die Nullstellen der Funktion durch Substitution.

    Tipps

    Substituieren heißt ersetzen: Wir ersetzen $x^2$ durch eine neue Variable $z$.

    Wir berechnen zunächst die Werte für $z$ und im Anschluss die Nullstellen der Funktion $x_1$ bis $x_4$.

    Lösung

    Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, setzen wir ihren Funktionsterm gleich Null.

    $f(x)=\frac{1}{9}x^4-\frac{5}{4}x^2+\frac{9}{4}$

    Da hier im Funktionsterm nur Potenzen von $x$ vorkommen, deren Exponenten jeweils das Doppelte voneinander sind, können wir hier die Nullstellen durch Substitution bestimmen. Dazu gehen wir wie folgt vor:

    1. Wir substituieren, das heißt, wir ersetzen $x^2 \mapsto z$ und erhalten: $f(z)=\frac{1}{9}z^2-\frac{5}{4}z+\frac{9}{4}$
    2. Wir bestimmen die Nullstellen der Funktion mit der Lösungsformel: $z_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{\frac{5}{4} \pm \sqrt{(-\frac{5}{4})^2-4\cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{4}}}{2 \cdot \frac{1}{9}} = \frac{\frac{5}{4} \pm \frac{3}{4}}{ \frac{2}{9}}$ und erhalten: $z_1=9$ und $z_2=\frac{9}{4}$
    3. Wir resubstituieren: $x_{1/2}= \pm \sqrt{z_1}$ und $x_{3/4}= \pm \sqrt{z_2}$
    4. Damit erhalten wir die Nullstellen: $x_1=+ \sqrt{9} = 3$; $x_2=- \sqrt{9}=-3$; $x_3=+ \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$; $x_4=- \sqrt{\frac{9}{4}}=-\frac{3}{2}$
  • Entscheide, bei welchen Funktionen die Substitution eine geeignete Methode zur Nullstellenfindung ist.

    Tipps

    Die Methode der Substitution kann angewendet werden, wenn im Funktionsterm nur Potenzen von $x$ vorkommen, deren Exponenten jeweils das Doppelte voneinander sind.

    Beispiel: $f(x)= x^6+3x^3-2$

    Hier kann die Substitution angewendet werden.

    Lösung

    Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, setzen wir ihren Funktionsterm gleich Null. Wenn im Funktionsterm nur Potenzen von $x$ vorkommen, deren Exponenten jeweils das Doppelte voneinander sind, können wir die Nullstellen durch Substitution bestimmen.

    Dazu substituieren, also ersetzen wir eine Potenz von $x$ durch $z$. Wir können dann die Nullstellen der Funktion $f(z)$ bestimmen und anschließend resubstituieren.

    Wir überprüfen, ob bei den gegebenen Funktionen die Exponenten jeweils das Doppelte voneinander sind:

    • $f(x)=4z^4+z^2-5 \quad$ Es gilt: $4 = 2 \cdot 2 \quad \mapsto$ geeignet
    • $f(t)=t^6+3t^3 \quad$ Es gilt: $6 = 2 \cdot 3 \quad \mapsto$ geeignet
    • $f(z)=3x^4-x^2+7x \quad$ Hier lässt sich nichts substituieren, da die kleinste Potenz $x$ ist $\quad \mapsto$ nicht geeignet
    • $f(a) = a^8+4a^4-2 \quad$ Es gilt: $8 = 2 \cdot 4 \quad \mapsto$ geeignet
    • $f(x)=2x^2+2 \quad$ Hier können die Nullstellen direkt durch Auflösen der Gleichung $f(x)=0$ ermittelt werden$\quad \mapsto$ nicht geeignet
    • $f(z) = 3x^{12} - 4x^6-3 \quad$ Es gilt: $12 = 2 \cdot 6 \quad \mapsto$ geeignet
  • Bestimme die faktorisierte Form der Funktionen.

    Tipps

    Du kannst den faktorisierten Term ausmultiplizieren, um herauszufinden, welche Funktionen gleich sind.

    Beispiel:

    $x=3$ ist Nullstelle von $f(x)=2x^3-x^2-45$, denn:

    $f(3)=2\cdot 3^3-2^3-45=0$

    Ist eine Funktion in faktorisierter Form gegeben, dürfen wir die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmen, um die Nullstellen der Funktion zu erhalten.

    Lösung

    Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, setzen wir ihren Funktionsterm gleich Null. Ist eine Funktion in faktorisierter Form gegeben, dürfen wir die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmen, um die Nullstellen der Funktion zu erhalten.

    Wir können prüfen, ob ein gegebener $x$-Wert eine Nullstelle der Funktion ist, indem wir ihn in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob der Funktionswert Null ergibt.

    Wir haben also zwei Möglichkeiten, um die Aufgabe zu lösen:

    1. Die Nullstellen, welche wir in der faktorisierten Form ablesen können, in den ursprünglichen Term einsetzen
    2. Den faktorisierten Term ausmultiplizieren
    $\,$

    erste Funktion:
    $f(x)=3x^3-3x = 3(x+1) \cdot (x-1) \cdot x$ denn:

    • $x+1 = 0 \Leftrightarrow x_1=-1 \quad f(-1)=3 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1) = 0 \longrightarrow x=-1$ ist Nullstelle
    • $x-1 = 0 \Leftrightarrow x_2=1 \quad f(1)=3 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1 = 0 \longrightarrow x=1$ ist Nullstelle
    • $x_3=0 \quad f(0)=3 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 \longrightarrow x=0$ ist Nullstelle
    oder:

    $3(x+1) \cdot (x-1) \cdot x = 3(x^2-1) \cdot x = (3x^2-3) \cdot x = 3x^3-3x$

    zweite Funktion:
    $f(x)=x^4+4x^3-3x^2-10x+8 = (x+4) \cdot (x+2) \cdot (x-1)^2$ denn:

    • $x+4 = 0 \Leftrightarrow x_1=-4 \quad f(-4)= (-4)^4 + 4 \cdot (-4)^3 - 3 \cdot (-4)^2 - 10 \cdot (-4) +8 = 0 \longrightarrow x=-4$ ist Nullstelle
    • $x+2 = 0 \Leftrightarrow x_2=-2 \quad f(-2)= (-2)^4 + 4 \cdot (-2)^3 - 3 \cdot (-2)^2 - 10 \cdot (-2) +8 = 0 \longrightarrow x=-2$ ist Nullstelle
    • $x-1 = 0 \Leftrightarrow x_3=1 \quad f(1)= 1^4 + 4 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 +8 = 0 \longrightarrow x=1$ ist Nullstelle
    oder:

    $(x+4) \cdot (x+2) \cdot (x-1)^2 = (x+4) \cdot (x+2) \cdot (x^2-2x+1) = (x^2+6x+8) \cdot (x^2-2x+1) = x^4+4x^3-3x^2-10x+8$

    dritte Funktion:
    $f(x)=x^2+9x+8 = (x+8) \cdot (x+1)$

    • $x+1 = 0 \Leftrightarrow x_1=-1 \quad f(-1) = (-1)^2 + 9 \cdot (-1) +8 = 0 \longrightarrow x=-1$ ist Nullstelle
    • $x+8 = 0 \Leftrightarrow x_2=-2 \quad f(-8) = (-8)^2 + 9 \cdot (-8) +8 = 0 \longrightarrow x=-8$ ist Nullstelle
    oder:

    $(x+8) \cdot (x+1) = x^2+9x+8$

    vierte Funktion:
    $f(x)=x^3+x^2-6x = (x+3) \cdot (x-2) \cdot x$

    • $x+3 = 0 \Leftrightarrow x_1=-3 \quad f(-3)= (-3)^3 + (-3)^2 -6 \cdot (-3) = 0 \longrightarrow x=-3$ ist Nullstelle
    • $x-2 = 0 \Leftrightarrow x_2=2 \quad f(2)= 2^3 + 2^2 -6 \cdot 2 = 0 \longrightarrow x=2$ ist Nullstelle
    • $x_3=0 \quad f(0)= 0^3 + 0^2 -6 \cdot 0 = 0 \longrightarrow x=0$ ist Nullstelle
    oder:

    $(x+3) \cdot (x-2) \cdot x = (x+3) \cdot (x^2-2x) = x^3+x^2-6x$

  • Gib die Nullstellen der Funktionen an.

    Tipps

    Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die $x$-Achse schneidet.

    Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen haben.

    Diese Funktion hat vier Nullstellen:

    $x_1=-2$; $x_2=-1$; $x_3=1$; $x_4=2$

    Lösung

    Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten:

    • Schneidet die Funktion die $x$-Achse nicht, hat sie keine Nullstellen.
    • Schneidet die Funktion die $x$-Achse einmal, hat sie eine Nullstellen.
    • Schneidet die Funktion die $x$-Achse mehrmals, hat sie mehrere Nullstellen.
    $\,$

    Wir betrachten also die Funktionsgraphen:

    violetter Graph: Schneidet die $x$-Achse einmal $\mapsto$ eine Nullstelle $x=3$

    roter Graph: Schneidet die $x$-Achse nicht $\mapsto$ keine Nullstelle

    blauer Graph: Schneidet die $x$-Achse dreimal $\mapsto$ drei Nullstellen $x_1=-1$; $x_2=0$; $x_3=1$

    grüner Graph: Schneidet die $x$-Achse einmal $\mapsto$ eine Nullstelle $x=-2$

    Hinweis: Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, setzen wir ihren Funktionsterm gleich Null.

  • Berechne die Nullstellen der Funktionen.

    Tipps

    Untersuche zunächst, ob du geschickt ausklammern kannst.

    Die Nullstellen der Funktion $h(x)$ kannst du durch Substitution ermitteln.

    Lösung

    Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, setzen wir ihren Funktionsterm gleich Null und lösen die so entstandene Gleichung. Dazu gehen wir je nach Funktionstyp unterschiedlich vor. Bei einer linearen Funktion können wir die Gleichung einfach durch Äquivalenzumformungen nach $x$ auflösen. Bei einer quadratischen Funktion können wir die Lösungsformel anwenden. Bei einer Funktion höheren Gerades haben wir verschiedene Möglichkeiten:

    • Ausklammern
    • Poynomdivision
    • Substutution
    Wir betrachten die gegebenen Beispiele:

    erstes Beispiel: $f(x)=2x^3+8x^2-10x \quad$ Ausklammern:

    Manchmal können wir einen $x$-Term in der Funktionsgleichung ausklammern, so wie hier:

    $2x^3+8x^2-10x = x(2x^2+8x-10)$

    Dadurch können wir den Funktionsterm in faktorisierter Form schreiben. Dabei gilt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Eine Nullstelle der Funktion haben wir somit schon ermittelt:

    $x_1=0$

    Die weiteren Nullstellen können wir berechnen, indem wir den quadratischen Term gleich $0$ setzen und mit der Lösungsformel lösen:

    $x_{2/3} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm 12}{4}$

    Wir erhalten: $x_2=-5$ und $x_3=1$

    $\,$

    zweites Beispiel: $g(x)=x^3-x^2-8x+12 \quad$ Polynomdivision:

    Wenn bereits eine Nullstelle bekannt ist, können wir den Funktionsterm durch Polynomdivision faktorisieren. Wir rechnen also:

    $\begin{array}{rrlllllll} &x^3&-x^2&-8x&+12&:&(x+3)&=&x^2&-4x&+4&\\ \hline -& (x^3&+3x^2)\\ \hline && -x^2&-8x\\ -& &(-4x^2&-12x)\\ \hline &&& 4x&+12&\\ -&& &(4x&+12)\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$

    Wir können nun die Funktionsgleichung schreiben als:

    $f(x)= (x^2-4x+4) \cdot (x+3)$

    In dem quadratischen Term erkennen wir die binomische Formel:

    $x^2-4x+4 = (x-2)^2$

    Die zweite Nullstelle lautet also: $x_2=2$.

    $\,$

    drittes Beispiel: $h(x)=x^6-35x^3+216 \quad$ Substitution:

    Da hier im Funktionsterm nur Potenzen von $x$ vorkommen, deren Exponenten jeweils das Doppelte voneinander sind, können wir hier die Nullstellen durch Substitution bestimmen. Dazu substituieren wir $x^3 \mapsto z$ und erhalten:

    $f(z)=z^2-35z+216$

    Wir bestimmen die Nullstellen der Funktion mit der Lösungsformel:

    $z_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2-4 \cdot 1 \cdot 216}}{2 \cdot 1} = \frac{35 \pm 19}{2}$

    Wir erhalten: $z_1=27$ und $z_2=8$

    Wir resubstituieren: $x_{1}= \sqrt[3]{z_1}$ und $x_{2}= \sqrt[3]{z_2}$

    Damit erhalten wir die Nullstellen: $x_{1}= \sqrt[3]{27} =3$ und $x_{2}= \sqrt[3]{8} =2$

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