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Einführung in die Kurvendiskussion

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Team Digital
Einführung in die Kurvendiskussion
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Einführung in die Kurvendiskussion

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die einzelnen Schritte einer Kurvendiskussion zu benennen und ihren Zweck zu verstehen.

Kurvendiskussion

Zunächst lernst du, was es mit dem Definitionsbereich und den Achsenabschnitten einer Funktion auf sich hat. Anschließend wird gezeigt, wie durch Bestimmung des Globalverhaltens und der Grenzwerte die Grenzbereiche eines Funktionsgraphen skizziert werden können.

Globalverhalten und Grenzwerte

Abschließend erfährst du, was Monotonie, Extrempunkte und das Krümmungsverhalten über den Verlauf eines Funktionsgraphen aussagen.

Monotonie, Extrema und Krümmung

Lerne etwas über den Verlauf des Lebens und das Schicksal.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Kurvendiskussion, Analysis, Definitionsbereich, Definitionslücke, Achsenabschnitte, Nullstellen, Grenzwert, Globalverhalten, Wertebereich, Symmetrieverhalten, Monotonie, Ableitung, Krümmungsverhalten, Extrempunkte, Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt und Wendepunkt.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man die Nullstellen einer Funktion bestimmen kann und was mit Definitionsbereich und Wertebereich gemeint ist. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Funktionen und Funktionsgraphen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die einzelnen Schritte der Kurvendiskussion genauer kennenzulernen und selbst durchzuführen.

Transkript Einführung in die Kurvendiskussion

Glaubst du ans Schicksal? Daran, dass das Leben vorherbestimmt ist? Stell dir vor, allein durch die Naturgesetze wären alle Ereignisse in deinem Leben bereits festgelegt, einer bestimmten Logik folgend, wie eine gigantische mathematische Funktion. Das klingt vielleicht deprimierend, aber andererseits hättest du dann die Möglichkeit, deine persönliche „Lebensformel“ zu entschlüsseln – und so in die Zukunft zu blicken. Dafür müsstest du allerdings wissen, wie man eine anständige „Kurvendiskussion“ durchführt – und deshalb schauen wir uns das jetzt mal an. Bei der „Kurvendiskussion“ geht es darum, die Kurve einer Funktion, also das Auf und Ab des „Funktionsgraphen“, genau zu untersuchen. Dabei ist ein Ziel, markante Punkte der „Kurve“ anhand der Funktionsgleichung exakt zu ermitteln, anstatt sie grob vom Graphen abzulesen. So offenbaren sich oft auch Eigenschaften der Funktion, die auf den ersten Blick gar nicht zu erkennen waren. Aus der Funktionsgleichung kann damit auch der Verlauf des Graphen vorhergesagt und skizziert werden, wenn dieser nicht bekannt ist. Das ist das zweite Ziel der Kurvendiskussion: das Skizzieren des Funktionsgraphen. Jede Kurvendiskussion setzt sich aus einer Reihe von Schritten zusammen, die dazu dienen, verschiedene Eigenschaften und markante Punkte einer gegebenen Funktion zu bestimmen. Das beinhaltet den „Definitionsbereich“, die „Achsenabschnitte“, das „Globalverhalten“ und die „Grenzwerte“, das „Symmetrieverhalten“, die „Monotonie“, „Extrempunkte“, und das „Krümmungsverhalten“ der Funktion. Die mathematischen Werkzeuge und Rechenwege, die für diese Schritte notwendig sind, werden unter dem Begriff „Análysis“ zusammengefasst. Das ist ein Begriff aus dem Griechischen, der mit „analysieren“ – also „untersuchen“ oder „aufgliedern“ – zusammenhängt. Wir schauen uns im Folgenden mal alle Schritte einer Kurvendiskussion an und gehen dabei auf die wichtigsten Werkzeuge ein. Als Anschauungsbeispiel soll uns „diese gigantische Funktion“ hier dienen. Los geht's mit dem Definitionsbereich: Wir gehen bei jeder Funktion erstmal vom Definitionsbereich „R“ aus, also der Menge aller reellen Zahlen, und schauen dann, ob es Ausnahmen gibt. Bei dieser Funktion müssen wir beispielsweise „x gleich Eins“ ausschließen, denn der Nenner eines Terms darf niemals „Null“ werden. Hier brauchen wir also das Werkzeug des „Gleich-Null-Setzens“, wobei wir hier nur diesen Faktor des Funktionsterms betrachten müssen, was uns zur Definitionslücke „x-null gleich Eins“ führt. „Gleich-Null-Setzen“ müssen wir auch, wenn wir die ersten markanten Punkte, die „Achsenabschnitte“ der Funktion, ermitteln. Mit „Achsenabschnitt“ sind nämlich einerseits die Schnittpunkte mit der X-Achse gemeint. Das sind die Nullstellen der Funktion – von denen es hier gleich VIER gibt. Andererseits der Schnittpunkt mit der Y-Achse – den ermitteln wir durch die „uralte Technik des Einsetzens“, also das Einsetzen von „x gleich Null“ in die Funktionsgleichung. Das Einsetzen hilft uns auch beim Untersuchen des „Globalverhaltens“ und der „Grenzwerte“ der Funktion. Hier geht es darum, abzuschätzen, wie sich die Funktionswerte entwickeln, wenn die eingesetzten x-Werte immer größer und größer, oder immer kleiner und kleiner werden. Außerdem, wie sie sich an Definitionslücken annähern – wie hier an „x-null gleich Eins“. Das Rechnen mit dem „Limes“ wird dabei der entscheidende Schlüssel sein. Haben wir das untersucht, können wir schon den „Wertebereich“ der Funktion angeben, also die Menge aller „y-Werte“, die die Funktion annehmen kann. hier sind das alle reellen Zahlen. Aber zum Beispiel bei der „Normalparabel“ würde es keine negativen Funktionswerte geben. Die Normalparabel wäre außerdem „achsensymmetrisch“ – eine Eigenschaft, die durch Einsetzen von „Minus-x“ geprüft werden kann. Das ist mit „Symmetrieverhalten“ gemeint, dem nächsten Punkt auf unserer Liste. Darauf gehen wir jetzt aber nicht näher ein, denn unsere Beispielfunktion ist weder achsen-, noch punktsymmetrisch. Für die letzten drei Punkte, „Monotonie, Extrempunkte und Krümmungsverhalten“, brauchen wir noch ein weiteres Werkzeug: die Ableitung. Das Ableiten der Funktionsgleichung ist dein stärkster Trumpf bei jeder Kurvendiskussion. Das machst du am besten gleich dreimal, dann bist du auf wirklich alles vorbereitet. Mit der ersten Ableitung kann der Verlauf und das Vorzeichen der Steigung an jedem Punkt der Funktion bestimmt werden. Das ist mit „Monotonie“ gemeint. Durch „Gleich-Null-Setzen“ der Ableitung kannst du außerdem „Hochpunkte“, „Tiefpunkte“, Sattelpunkte und auch „Wendepunkte“ exakt berechnen. Über die weiteren Ableitungen kann außerdem das „Krümmungsverhalten“, um diese wichtigen Punkte bestimmt werden, sodass schließlich mit dem zuvor bestimmten Globalverhalten der Funktionsgraph skizziert werden kann.
Die einzelnen Rechnungen sparen wir uns jetzt aber, denn erstens dient dieses Video nur der Übersicht, und zweitens sind die Ableitungen unserer riesigen Beispielfunktion gar nicht mal so leicht zu bilden. Also machen wir Schluss und fassen nochmal das Wichtigste zusammen: Die „Kurvendiskussion“ dient der exakten Bestimmung markanter Punkte einer Funktion, sowie weiterer Eigenschaften, die das Skizzieren des Funktionsgraphen ermöglichen. Dafür werden mehrere Methoden der mathematischen „Análysis“ angewendet, um den „Definitionsbereich“, die „Achsenabschnitte“, das „Globalverhalten“ und die „Grenzwerte“, das „Symmetrieverhalten“, die „Monotonie“, „Extrempunkte“, und das „Krümmungsverhalten“ der Funktion zu bestimmen. Ingenieure nutzen diese Kenntnisse, um das Verhalten von komplex konstruierten Maschinen vorherzubestimmen, von denen du aber hoffentlich keine bist.

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