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Trigonometrische Funktionen – Kurvendiskussion 13:52 min

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Transkript Trigonometrische Funktionen – Kurvendiskussion

Hallo, mein Name ist Frank. Ich werde in diesem Video mit dir eine Kurvendiskussion mit einer trigonometrischen Funktion durchführen. Die trigonometrische Funktion habe ich hier schon angeschrieben: f(x)=sin2(x). Und ich beschränke mich im Folgenden auf das Intervall [-π;π]. Wie du hier links sehen kannst, sin(x) ist punktsymmetrisch. Durch das Quadrat fällt das Minus raus. Insgesamt haben wir bei dieser Funktion Achsensymmetrie. Und nun schaue ich mir die Ableitung an. Für die erste Ableitung verwende ich die Kettenregel, da wir ja hier eine verkettete Funktion haben. Die äußere Funktion ist hoch 2, also ist die Ableitung zwei Mal. Ich schreibe die innere Funktion einfach ab. Sin(x) mal Ableitung der inneren Funktion. Die Ableitung von Sinus ist cos(x). Um diesen Term abzuleiten, also für die zweite Ableitung, brauche ich die Produktregel. Den Faktor 2 lasse ich einfach stehen und leite ab: sin(x) abgeleitet ist cos(x) * cos(x) = cos2(x). Plus, erster Faktor abgeschrieben, sin(x) mal Ableitung von cos(x). Die Ableitung von cos(x) ist -sin(x), also haben wir insgesamt hier ein Minus: -sin2(x). Und um das noch ein bisschen zu vereinfachen, verwende ich den sogenannten trigonometrischen Pythagoras. Der sagt, wenn ich die beiden trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus quadriere und die Quadrate addiere, bekomme ich unabhängig vom Argument immer 1 raus. Das heißt cos2 = 1-sin2 und dann bekomme ich hier oben 2 * (1 - sin2 und noch mal minus sin2, also (1-2sin2(x)). Und wenn ich jetzt also diese zwei reinmultipliziere, erhalte ich die zweite Ableitung: 2 minus (22=4) 4sin2(x). Und für die dritte Ableitung schaue ich mal hin. Hier steht sin2, da auch. Und dann kann ich das hier schon übernehmen. Die dritte Ableitung von x lautet dann: 2 fällt raus, -8sin(x) * cos(x). So, im Folgenden schaue ich mir die Achsenschnittpunkte an. So, dann geht’s weiter mit den Achsenschnittpunkten. Zuerst einmal schaue ich mir die Nullstellen an, also die x-Achsenschnittpunkte: f(x) = 0. Das heißt also sin2(x) = 0. Und da ein Quadrat nur null wird, wenn das Argument null wird, heißt das natürlich auch, das sin(x) = 0 sein muss. Und wie du hier links in der Skizze sehen kannst, die Nullstellen von sin sind gegeben durch die ganzzahligen Vielfachen von π. Und da ich mich hier auf [-π;π] einschränke, erhalte ich die erste Nullstelle bei -π, die zweite Nullstelle bei 0 und die dritte Nullstelle bei π. Gut. Im Folgenden schaue ich mir die Extrema an. So, nachdem wir die Achsenschnittpunkte betrachtet haben, also hier stehen sie noch mal, die Nullstellen: (-π;0), (0;0), das ist auch gleichzeitig der y-Achsenabschnitt, und (π;0). Und hier siehst du jetzt die Nullstellen schon mal in der Skizze. Schaue ich mir im Folgenden die Extrema an. Und wie du sicher aus der einen oder anderen Kurvendiskussion noch weißt, für Extrema muss die erste Ableitung null sein. Hier ist die erste Ableitung. Also 2sin(xE) * cos(xE) = 0. Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Das heißt, entweder muss sin(xE) = 0 sein oder cos(xE) = 0 sein. Und wie du hier unten in der Skizze noch sehen kannst, die Nullstellen von sin sind die ganzzahligen Vielfachen von π, also hieße das xE1 = -π, xE2 = 0 und xE3 = π. Das wären die Nullstellen von sin. Und die Nullstellen von cos auf dem Intervall, das ich da betrachte, wären dann xE4 = -π/2 und xE5 = π/2. Und jetzt müssen wir noch schauen, ob das wirklich Extrema sind. Dafür betrachte ich das hinreichende Kriterium. Und das mache ich jetzt hier mal exemplarisch. Wenn du hier schaust, -π und π, da kommt das Gleiche raus aufgrund der Achsensymmetrie, ebenso bei -π/2 und π/2. Das heißt, ich schaue mir jetzt das hinreichende Kriterium an für -π. Zweite Ableitung an -π, die zweite Ableitung steht hier, ist also 2-4sin2(-π). Sin(-π) = 0, also kommt hier 2 raus. Das ist größer null. Das heißt bei -π, 0 und π haben wir einen Tiefpunkt. Und die zweite Ableitung an der Stelle -π/2 = 2-4 sin2(-π/2) und sin(-π/2) = -1, also kommt hier das Quadrat plus eins. 2-4 = -2, das ist kleiner als null, also haben wir da einen Hochpunkt gefunden. Gut. So nun haben wir auch die Extrema schon geschafft. Ich habe die hier noch mal notiert. Die Tiefpunkte hatten wir bei -π, 0 und π. Und den jeweils entsprechenden Funktionswert bekommen wir durch Einsetzen der Funktionsvorschrift. Also -π hier eingesetzt liefert sin(-π) und das siehst du hier unten, das ist 02 , kommt null raus. Analog bekommen wir auch diese entsprechenden Funktionswerte. Und bei den Hochpunkten, bei -π/2 und π/2 bekomme ich einen Funktionswert auch durch Einsetzen in der Funktionsvorschrift sin(-π/2) = -1. Durch das Quadrat wird es plus eins. Und auch analog oder mit der Achsensymmetrie bekommst du auch diesen Funktionswert. Und auch die kannst du hier in der Skizze jetzt schon sehen. So, nun komme ich zu den Wendepunkten. Auch bei den Wendepunkten überprüfen wir zuerst ein notwendiges Kriterium, also f‘‘(xW) = 0. Die zweite Ableitung lautet 2-4 mal, hier steht sie, sin2(xW) = 0. Und wenn ich diese Gleichung umforme, erhalte ich also sin(xW) = ±√1/2. Das könntest du nun auch an der Skizze da unten sehen, wobei √1/2 = 0,707. Das kann man nicht so gut erkennen. Das heißt, hier könntest du mit dem Taschenrechner sin-1 berechnen und erhältst bei plus, also bei +√1/2, einmal xW1 = π/4 oder xW2 = 3/4. Und wenn du dasselbe mit -√1/2 machst, bekommst du weitere Stellen: xW3 = -π/4 oder xW4 = -3/4π. Und um zu überprüfen, ob es wirklich Wendepunkte sind, setze ich das in der dritten Ableitung ein. Das mache ich wieder exemplarisch mit einem und bei den anderen läuft das vollkommen analog. Also hinreichend die dritte Ableitung und wie gesagt, ich nehme da mal π/4 raus: = (hier steht die dritte Ableitung,also) -8 * sin(π/4) * cos(π/4). Sin(π/4) = √1/2, cos(π/4) ist auch √1/2. Also √1/2 √1/2 = 1/2, kommt also -4 raus. Und das ist ungleich null. Das heißt, wir haben einen Wendepunkt. Wie gesagt, bei den anderen läuft es analog und dann schaue ich mir im Folgenden die Skizze an. So, jetzt haben wir die Wendepunkte auch schon und hier siehst du die noch einmal. Die x-Koordinaten habe ich vorhin berechnet: π/4, 3/4, -π/4, -3/4π. Die entsprechenden y-Koordinaten bekommst du wieder durch Einsetzen der x-Koordinate in der Ausgangsfunktion. Sin(π/4) = √1/2 und durch das Quadrieren bekommen wir 1/2 und das läuft hier bei diesen entsprechenden Wendepunkten ganz genauso. Und auch die Wendepunkte kannst du jetzt hier in der Skizze sehen. Und da wir das nun alles haben, können wir die Punkte miteinander verbinden und erhalten den Funktionsverlauf, den du da siehst. Ich nehme dann jetzt nochmal die ganzen Punkte raus, weil das womöglich verwirrend sein kann. Dann kannst du jetzt hier noch einmal die Funktion f(x) = sin2(x) ohne die einzelnen Punkte markiert erkennen. Ja, dann fasse ich nochmal zusammen, was ich in dem Video gemacht habe: Ich habe eine Kurvendiskussion mit einer trigonometrischen Funktion hoch 2, also sin2(x) durchgeführt. Und gut ist, wenn du dir verschiedene Eigenschaften von Sinus und Cosinus, also hier unten siehst du Sinus und Cosinus noch, einprägen kannst, zum Beispiel die Nullstellen, weil wir die immer wieder im Laufe der Rechnung gebraucht haben. Dann danke ich dir für deine Aufmerksamkeit und hoffe, dass du alles verstehen konntest, freue mich wie immer über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

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Trigonometrische Funktionen – Kurvendiskussion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trigonometrische Funktionen – Kurvendiskussion kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion.

    Tipps

    Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen sind:

    • $(\sin(x))'=\cos(x)$ und
    • $(\cos(x))'=-\sin(x)$.

    Es gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$.

    Die Kettenregel lautet: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Die Produktregel in der Kurzschreibweise lautet: $(u\cdot v)'=u' \cdot v+u \cdot v'$.

    Lösung

    Die Ableitungen zu $f(x)=\sin^2(x)$ sind

    • durch die Kettenregel sowie $(\sin(x))'=\cos(x)$:
    $f'(x)=2\sin(x)\cos(x)$.
    • Die Ableitung der 1. Ableitung führt zu der zweiten Ableitung. Dabei wird die Produktregel, $(\sin(x))'=\cos(x)$ und $(\cos(x))'=-\sin(x)$ sowie der trigonometrische Pythagoras $\sin^2+\cos^2=1$ verwendet:
    $\begin{align*} f''(x)&=2\left(\cos^2(x)-\sin^2(x)\right)\\ &=2\left(1-\sin^2(x)-\sin^2(x)\right)\\ &=2-4\sin^2(x). \end{align*}$
    • Die Ableitung der 2. Ableitung ist die 3. Ableitung. Hier wird ähnlich wie bei der 1. Ableitung vorgegangen:
    $f'''(x)=-8\sin(x)\cos(x)$.

  • Gib die Nullstellen der Funktion an.

    Tipps

    Die Nullstellen von $\sin(x)$ sind die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:

    $\sin(x)=0\Leftrightarrow x=k\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.

    Es gibt 3 Nullstellen. Eine Nullstelle ist auch gleichzeitig der y-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Zur Bestimmung der Nullstellen wird die Gleichung $f(x)=0$ gelöst.

    Dabei wird verwendet, dass die Nullstellen von $\sin(x)$ die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ sind.

    $\begin{align*} &&\sin^2(x)&=0 &|& \sqrt{~}\\ &&\sin(x)&=0\\ &\Rightarrow&x_1&=-\pi\\ &&x_2&=0\\ &&x_3&=\pi. \end{align*}$

    Somit gibt es drei Nullstellen: $N_1(-\pi|0)$, $N_2(0|0)$ und $N_3(\pi|0)$. $N_2$ ist auch gleichzeitig der y-Achsenabschnitt, welchen man allgemein durch Einsetzen von $x=0$ in $f(x)$ erhält.

  • Untersuche die Funktion auf Extrema.

    Tipps

    Für Extrema muss

    • die 1. Ableitung $0$ sein und
    • die 2. Ableitung ungleich $0$.

    Die Nullstellen von $\sin(x)$ sind die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:

    $\sin(x)=0\Leftrightarrow x=k\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.

    Die Nullstellen von $\cos(x)$ liegen genau in der Mitte der ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:

    $\cos(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2k+1}2\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.

    Lösung

    Für die Extrema werden die ersten beiden Ableitungen benötigt:

    $\begin{align*} f'(x)& =2\sin(x)\cos(x)\\ f''(x)& =2-4\sin^2(x) \end{align*}$

    Die 1. Ableitung muss $0$ sein, damit ein Extremum vorliegen kann:

    $\begin{align*} &&2\sin(x)\cos(x)&=0 \\ &\Rightarrow&\sin(x)&=0\\ &\text{oder}&\cos(x)&=0\\ &\Rightarrow&x_{E1}&=-\pi\\ &&x_{E2}&=0\\ &&x_{E3}&=\pi\\ &\text{oder}&x_{E4}&=-\frac{\pi}2\\ &&x_{E5}&=\frac{\pi}2. \end{align*}$

    Dabei wurde verwendet, dass die Nullstellen von $\sin$ und $\cos$ wie folgt gegeben sind:

    • $\sin(x)=0\Leftrightarrow x=k\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$ und
    • $\cos(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2k+1}2\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$
    Damit ein Extremum vorliegt, muss die 2. Ableitung an diesen Stellen ungleich $0$ sein:
    • $f''(-\pi)=2-4\sin^2(-\pi)=2>0$, also liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_1(-\pi|0)$. Die y-Koordinate dieses Tiefpunktes ist $y=f(0)=\sin^2(-\pi)=0$.
    • $f''(0)=2-4\sin^2(0)=2>0$, also liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_2(0|0)$.
    • $f''(\pi)=2-4\sin^2(\pi)=2>0$, also liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_3(\pi|0)$.
    • $f''(-\frac{\pi}2)=2-4\sin^2(-\frac{\pi}2)=-2<0$, also liegt ein Hochpunkt vor: $HP_4(-\frac{\pi}2|1)$. Auch hier ergibt sich die y-Koordinate durch Einsetzen von $-\frac{\pi}2$ in $f(x)$, also $y=\sin^2\left(-\frac{\pi}2\right)=1$.
    • $f''(\frac{\pi}2)=2-4\sin^2(\frac{\pi}2)=-2<0$, also liegt ein Hochpunkt vor: $HP_5(\frac{\pi}2|1)$.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Die Nullstellen von $\cos(x)$ sind gegeben durch

    $x=\frac{2k+1}2\cdot\pi ,~k\in\mathbb{Z}$.

    Es gilt $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

    $\tan(x)=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}4+k\cdot\pi ,~k\in\mathbb{Z}$.

    Lösung

    Zu lösen ist die Gleichung $x(\sin(x)-\cos(x))=0$. Zunächst gilt, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, also ist

    • entweder $x=0$
    • oder $\sin(x)-\cos(x)=0$.
    $\begin{align*} &&\sin(x)-\cos(x)&=0 &|& +\cos(x) \\ &\Leftrightarrow&\sin(x)&=\cos(x) &|& :\cos(x) \end{align*}$

    Hierbei ist zu beachten, dass $\cos(x)\neq 0$ sein muss, das heißt, die Nullstellen von $\cos(x)$ müssen ausgeschlossen werden. Diese sind $x=\frac{2k+1}2\cdot\pi,~k\in\mathbb{Z}$. Jedoch gilt für diese

    $\sin\left(\frac{2k+1}2\cdot\pi\right)-\cos\left(\frac{2k+1}2\cdot\pi\right)=\sin\left(\frac{2k+1}2\cdot\pi\right)\neq 0$.

    $\begin{align*} &&\sin(x)&=\cos(x) &|& :\cos(x) \\ &\Leftrightarrow&\frac{\sin(x)}{\cos(x)}&=1\\ &\Leftrightarrow&\tan(x)&=1, \end{align*}$

    da $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ gilt.

    Es ist $\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}4$.

    Weitere Lösungen sind auf Grund der $\pi$-Periodizität gegeben durch

    $x=\frac{\pi}4+k\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.

    Also existieren auf dem Intervall $I=[-\pi;\pi]$ die Lösungen $x_1=0$, $x_2=-\frac{3\pi}4$ und $x_3=\frac{\pi}4$.

  • Berechne schrittweise die ersten beiden Ableitungen der Funktion.

    Tipps

    Es gilt

    • $(\sin(x))'=\cos(x)$ und
    • $(\cos(x))'=-\sin(x)$.

    Der trigonometrische Pythagoras $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ ist äquivalent zu $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$.

    Die Produktregel in der Kurzschreibweise lautet: $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.

    Die Kettenregel lautet: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Lösung

    Die 1. Ableitung kann mit der Kettenregel sowie der Ableitung $(\cos(x))'=-\sin(x)$ berechnet werden:

    $f'(x)=-2\cos(x)\sin(x)$.

    Mit der Produktregel und den Ableitungen $(\cos(x))'=-\sin(x)$ sowie $(\sin(x))'=\cos(x)$ gelangt man zu der 2. Ableitung. Dabei wird zusätzlich der trigonometrische Pythagoras $\sin^2+\cos^2=1$, welcher äquivalent ist zu $\sin^2=1-\cos^2$, verwendet:

    $\begin{align*} f''(x)&=-2\left(-\sin^2(x)+\cos^2(x)\right)\\ &=-2\left(-1+\cos^2(x)+\cos^2(x)\right)\\ &=2-4\cos^2(x). \end{align*}$

  • Untersuche die Funktion auf Nullstellen und Extrema.

    Tipps

    Die ersten beiden Ableitungen sind

    $\begin{align*} f'(x)&=-2\cos(x)\sin(x)\\ f''(x)&=2-4\cos^2(x). \end{align*}$

    Die Nullstellen von $\cos(x)$ sind gegeben durch

    $\cos(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2k+1}2\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.

    Es müssen die folgenden Gleichungen gelöst werden:

    • Nullstellen: $f(x)=0$ und
    • Extrema: $f'(x)=0$.

    Lösung

    Die ersten beiden Ableitungen sind:

    $\begin{align*} f(x)&=\cos^2(x)\\ f'(x)&=-2\cos(x)\sin(x)\\ f''(x)&=-2\left(-\sin^2(x)+\cos^2(x)\right)\\ &=-2\left(-(1-\cos^2(x))+\cos^2(x)\right)\\ &=2-4\cos^2(x). \end{align*}$

    Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:

    $\begin{align*} &&\cos^2(x)&=0\\ &&\cos(x)&=0\\ &\Rightarrow&x_1&-\frac{\pi}2\\ &&x_2&=\frac{\pi}2. \end{align*}$

    Also sind die Nullstellen $N_1\left(-\frac{\pi}2|0\right)$ und $N_2\left(\frac{\pi}2|0\right)$.

    Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$:

    $\begin{align*} &&-2\cos(x)\sin(x)&=0\\ &\Rightarrow&\cos(x)&=0\\ &\text{oder}&\sin(x)&=0\\ &\Rightarrow&x_{E1}&-\frac{\pi}2\\ &&x_{E2}&=\frac{\pi}2\\ &&x_{E3}&=0. \end{align*}$

    Ob wirklich Extrema vorliegen, kann man überprüfen, indem man jeweils die x-Koordinate in der 2. Ableitung einsetzt (h).

    • $f''\left(-\frac{\pi}2\right)=2-4\cos^2\left(-\frac{\pi}2\right)=2>0$. Somit liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_1\left(-\frac{\pi}2|0\right)$.
    • $f''\left(\frac{\pi}2\right)=2-4\cos^2\left(\frac{\pi}2\right)=2>0$. Somit liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_2\left(\frac{\pi}2|0\right)$.
    • $f''\left(0\right)=2-4\cos^2\left(0\right)=-2<0$. Somit liegt ein Hochpunkt vor: $HP_3\left(0|1\right)$.