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Winkelfunktionen – Kurvendiskussion

Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie, Extrema, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Schnittpunkt y-Achse, Sattelpunkte, Graph

Winkelfunktionen

Was ist eine Winkelfunktion. Eine Winkelfunktion oder auch trigonometrische Funktion ist eine Funktion, in welcher der Sinus, der Cosinus oder der Tangens vorkommen.

Hier siehst du Beispiele für Winkelfunktionen:

  • $f(x)=\sin(x)$
  • $g(x)=(\cos(x))^2$
  • $h(x)=\sin(x+1)-3$

Diese Liste kann natürlich beliebig erweitert werden.

Häufig wirst du Aufgaben bearbeiten müssen, welche Teile einer Kurvendiskussion sind oder aber eine komplette Kurvendiskussion.

Die einzelnen Punkte einer Kurvendiskussion sollten dir dabei bekannt sein.

Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

Für die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus kannst du dir die folgende Listung merken. Dabei ist immer eine Funktion gegeben und die darunter stehende ist deren Ableitung. Übrigens: Wenn du die Liste von unten nach oben betrachtest, erhältst du auch gleich eine jeweilige Stammfunktion.

  • $\sin(x)$
  • $\cos(x)$
  • $-\sin(x)$
  • $-\cos(x)$
  • $\sin(x)$ ... jetzt bist du wieder an dem Ausgangspunkt.

Wir schauen uns nun an einem Beispiel eine solche Kurvendiskussion an.

Beispiel $f(x)=(\cos(x))^2$

Wir beginnen mit dem Definitionsbereich:

Da die Cosinusfunktion für alle $x\in\mathbb{R}$ definiert ist, gilt dies auch für $f(x)$. Somit ist $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}$.

Kommen wir zum Wertebereich. Hierfür schauen wir uns einmal den Wertebereich von Cosinus an, dieser ist das abgeschlossene Intervall $[-1;1]$. Durch das Quadrieren erhältst du den folgenden Wertebereich für die Funktion $f$. Dieser ist $\mathbb{W}_{f}=[0,1]$.

Nullstellen

Zur Untersuchung einer Funktion $f$ auf Nullstellen löst du die Gleichung $f(x)=0$.

Los geht's:

  • $(\cos(x))^2=0$: Zunächst ziehst du die Wurzel und erhältst damit
  • $\cos(x)=0$: Die Nullstellen der Cosinusfunktion sind gegeben durch $\frac{\pi}2+k\cdot \pi$, wobei $k\in\mathbb{Z}$ gilt.

Symmetrie

Du prüfst, ob einer der beiden Fälle gilt:

  • $f(-x)=f(x)$: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • $f(-x)=-f(x)$: Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
  • Andernfalls liegt keine der beiden obigen Symmetrien vor.

Du ersetzt also in der Funktionsgleichung $x$ durch $-x$ und erhältst $f(-x)=(\cos(-x))^2$. Da der Cosinus achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist, gilt $\cos(-x)=\cos(x)$ und somit $f(-x)=(\cos(-x))^2=(\cos(x))^2=f(x)$. Die Funktion $f$ ist somit ebenfalls achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Extrema

Für die Untersuchung auf Extrema benötigst du die ersten beiden Ableitungen:

  • $f(x)=(\cos(x))^2$
  • Hier verwendest du die Kettenregel sowie die Ableitung von Cosinus.: $f'(x)=2\cdot \cos(x)\cdot (-\sin(x))=-2\cdot \cos(x)\cdot \sin(x)$.
  • Mit der Produktregel erhältst du die zweite Ableitung: $f''(x)=-2\cdot \left((-\sin(x))\cdot \sin(x)+\cos(x)\cdot \cos(x)\right)=2\cdot \left((\sin(x))^2-(\cos(x))^2\right)$.

Die erste Ableitung muss für Extrema notwendig $0$ sein: $-2\cdot \cos(x)\cdot \sin(x)=0$, also ist

  • entweder $\sin(x)=0~\Leftrightarrow~x=k\cdot \pi$
  • oder $\cos(x)=0~\Leftrightarrow~x=\frac{\pi}2+k\cdot \pi$.

$k$ ist dabei eine ganze Zahl.

Setze nun diese Lösungen in die zweite Ableitung ein;

  • $f''\left(k\cdot \pi\right)=-2\lt 0$: Das bedeutet, dass hier jeweils ein lokales Maximum vorliegt. Die $y$-Koordinate ist der Funktionswert von $f(x)$, also $1$.
  • $f''\left(\frac{\pi}2+k\cdot \pi\right)=2\gt 0$: Hier liegt also jeweils ein lokales Minimum vor mit der $y$-Koordinate $0$.

Wendepunkte und Sattelpunkte

Im Folgenden benötigst du den trigonometrischen Pythagoras: $(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1$.

Diesen kannst du umformen zu $(\cos(x))^2)=1-(\sin(x))^2$.

Für die Wendepunkte betrachtest du nun die Gleichung $f''(x)=0$, also

$\begin{array}{rclll} 2\cdot \left((\sin(x))^2-(\cos(x))^2\right)&=&0&|&:2\\\ (\sin(x))^2-(\cos(x))^2&=&0&|&\text{trigonometrischer Pythagoras}\\\ 2(\sin(x))^2-1&=&0&|&+1\\\ 2(\sin(x))^2&=&1&|&:2\\\ (\sin(x))^2&=&\frac12&|&\sqrt{~~~}\\\ \sin(x)&|&\pm\sqrt{\frac12} \end{array}$

So erhältst du $x=\frac{\pi}4+k\cdot \frac{\pi}2$, $k\in\mathbb{Z}$. Da diese Stellen immer zwischen zwei Extrema liegen, muss dort jeweils ein Wendepunkt vorliegen. Die zugehörige $y$-Koordinate erhältst du durch Einsetzen dieser Stellen in die Funktionsgleichung. Diese ist jeweils $\frac12$.

Der Funktionsgraph

Schließlich kannst du mit den bisherigen Ergebnissen den Funktionsgraphen zeichnen:

cos_2(x).jpg

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