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Winkelfunktionen – Spezielle Funktionswerte 11:44 min

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Transkript Winkelfunktionen – Spezielle Funktionswerte

Hallo, liebe Mathematikinteressierte. Hier ist André mit einem Video zu den Winkelfunktionen. Es geht heute um spezielle Funktionswerte. Welche Voraussetzungen solltet ihr dafür mitbringen? Ihr solltet: 1. Einfache geometrische Begriffe kennen und anwenden können. Dreiecke, gleichseitige, rechtwinklige und so weiter sollten für euch keine Fremdwörter sein. 2. Ihr solltet den Lehrsatz des Pythagoras kennen und anwenden können. 3. Ihr solltet gut vertraut sein mit einfachen Winkelfunktionen und deren Anwendung: Sinus, Kosinus, Tangens. Wir kommen zum Problem. Ich bitte euch einmal, jeder einen Taschenrechner zur Hand zu nehmen. Habt ihr ihn? Dann berechnet einmal den Wert des Ausdrucks ½×\sqrt(3). Habt ihr das? Bis auf 4 Stellen hinter dem Komma habe ich das auch getan und hier aufgeschrieben. Und jetzt ein anderer Wert zum Vergleich. Berechnet mit dem Taschenrechner den Wert von sin60° und notiert ihn bis auf 4 Stellen nach dem Komma. Habt ihr das? Was fällt euch auf? Beide Werte stimmen mit der angegebenen Genauigkeit überein. Ist das ein Zufall? Oder ist tatsächlich ½×\sqrt(3)=sin60°? Wir wollen versuchen, dafür den Beweis zu führen.  Die Behauptung lautet: sin60°=½×\sqrt(3). Für die Beweisführung habe ich ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a gezeichnet. Nun fällen wir das Lot von dem oberen Eckpunkt des Dreiecks auf die entsprechende Dreiecksseite unten. Wir erhalten 2 neue Dreiecke. Für die Beweisführung benutzen wir das linke Dreieck. Wegen der Gleichseitigkeit des Ursprungsdreiecks hat es einen Winkel 60°, wegen der Lotbedingung einen 2. Winkel 90°. Das Lot hat die Grundseite halbiert. Daher beträgt die rot untersetzte Seite im kleinen Dreieck links a/2 oder ½a. Der sin60° ist laut Definition gleich Gegenkathete (hier blau) durch Hypotenuse (hier schwarz dargestellt). Wir berechnen die Länge der Gegenkathete g. Nach dem Lehrsatz des Pythagoras erhalten wir für das linke rechtwinklige Hilfsdreieck: a2=g2+(a/2)2. Daraus ergibt sich schließlich ganz rechts: g2+¼a2. Wir bringen nun das ¼a2 auf die linke Seite. Subtrahieren. Und erhalten links: 4/4a2 (ein ganzes a2 sozusagen) -¼a2=3/4a2=g2. Wir ziehen die Wurzel und erhalten: (\sqrt(3)/ \sqrt(4))a oder, weiter vereinfacht, (\sqrt(3)/2)a=g. Den Wert setzen wir in die untere Formel ein und erhalten (\sqrt(3)/2)a im Zähler, das ist die Gegenkathete, geteilt durch a, das ist die Hypotenuse im linken rechwinkligen Dreieck. Nun wird gekürzt. Wir erhalten \sqrt(3)/2=½×\sqrt(3). Der Beweis wurde geführt.  Die nächste Behauptung: cos60°=½. Für den Beweis können wir wieder die Zeichnung links unten verwenden. cos60°=Ankathete/Hypotenuse. Wir entnehmen der Zeichnung: Ankathete=½a im Zähler, Hypotenuse=a im Nenner. Wir können nun kürzen, das Ergebnis ist ½, was zu beweisen war.  Die nächste Behauptung: tan60°=\sqrt(3). Nach Definition ist der Tangens=Gegenkathete/Ankathete. Die Gegenkathete, so erinnert euch, beträgt g=(\sqrt(3)/2)a. Wir setzen in die Formel für den Tangens ein. Im Zähler (\sqrt(3)/2)a, im Nenner ½a. Wir vereinfachen den Ausdruck, indem wir mit dem Reziproken des Nenners multiplizieren. Nach Kürzen ergibt sich: tan60°=\sqrt(3). Was zu beweisen war. Die nächste Behauptung: sin30°=½. Wir können die Zeichnung wieder verwenden, müssen jetzt allerdings den Winkel 30° betrachten. sin30° ist der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse. Wir setzen ein: ½a im Zähler, a im Nenner. Nach Kürzen, dividieren durch a in Zähler und Nenner, erhalten wir sin30°=½. Was zu beweisen war. Die nächste Behauptung: cos30°=½\sqrt(3). cos30° ist laut Definition der Quotient aus Ankathete und Hypotenuse. Die Ankathete ist g=(\sqrt(3)/2)a. Dieser Ausdruck steht im Zähler. Im Nenner bleibt die Hypotenuse=a. Wir kürzen durch a und erhalten \sqrt(3)/2=½\sqrt(3). Somit ist cos30°=½\sqrt(3), was zu beweisen war. Den tan30° können wir berechnen, indem wir sin30°/cos30° rechnen. Das gilt nach Definition. Setzen wir die Werte ein, erhalten wir, nachdem wir gekürzt haben, 1/\sqrt(3). Das Ergebnis noch schnell notiert und weiter geht es. Die nächste Behauptung: sin45°=½\sqrt(2). Für den Beweis benötigen wir ein gleichschenkliges, rechwinkliges Dreieck, wie ich unten links dargestellt habe. Wegen dem rechten Winkel und der Gleichschenkligkeit sind die beiden Basiswinkel=45°. Nach dem Lehrsatz des Pythagoras erhalten wir h2=a2+a2=2a2. Wir ziehen die Wurzel und es ergibt sich h=\sqrt(2)a. sin45° ist nach Definition Gegenkathete/Hypotenuse. Die Gegenkathete ist hier blau, gleich a. Die Hypotenuse wurde berechnet \sqrt(2)a. Nach Kürzen erhalten wir 1/\sqrt(2). Wenn wir den Zähler und den Nenner mit \sqrt(2) multiplizieren und berücksichtigen, dass \sqrt(2)×\sqrt(2)=2 ist, erhalten wir nach einigen Umformungen sin45°=½\sqrt(2). Was zu beweisen war. So, das Ergebnis noch schnell notieren und weiter geht es. Nächste, vorletzte Behauptung: cos45°=½\sqrt(2). Wir schauen uns unsere Zeichnung an und setzen die entsprechenden Werte ein. Ganz analog wie beim Sinus von 45° erhalten wir hier cos45°=½\sqrt(2). Was zu beweisen war. Das Ergebnis noch schnell notiert und dann geht es zum letzten Beweis tan45°=1. Der Tangens ist der Quotient aus Gegenkathete und Ankathete. Die Gegenkathete und Ankathete sind jeweils a. Wir kürzen und erhalten tan45°=1. Was zu beweisen war.  Nun noch dieses schöne Ergebnis notiert und dann können wir uns an unseren Resultaten erfreuen. Das war ein wirkliches Mammutprogramm. Ich bedanke mich für euer Durchhaltevermögen. Vielleicht habt ihr auch ein wenig Spaß gehabt. Bis zum nächsten Mal alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.

Winkelfunktionen – Spezielle Funktionswerte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkelfunktionen – Spezielle Funktionswerte kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die Besonderheiten eines gleichseitigen Dreiecks.

    Tipps

    Verwende den Innenwinkelsatz: In einem beliebigen Dreieck ergänzen sich die drei Innenwinkel zu $180^\circ$.

    Beachte: In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der Winkel $90^\circ$. Damit gilt für die beiden verbleibenden Winkel, dass sie sich zu $90^\circ$ summieren.

    Lösung

    In einem gleichseitigen Dreieck gilt nicht nur, dass die drei Seiten gleich lang sind.

    • Darüber hinaus sind auch alle drei Winkel gleich groß. Da diese sich nach dem Innenwinkelsatz zu $180^\circ$ addieren, folgt, dass jeder dieser Winkel, also auch $\alpha$, $\frac{180^\circ}3=60^\circ$ beträgt.
    • Ebenfalls mit dem Innenwinkelsatz gilt, dass $60^\circ+\beta+90^\circ=180^\circ$. Dies führt zu $\beta=30^\circ$. Merke dir: In einem rechtwinkligen Dreieck summieren sich die beiden spitzen Winkel zu $90^\circ$.
    Schauen wir uns das linke rechtwinklige Dreieck noch etwas genauer an.

    • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Diesen erkennst du übrigens an dem Viertelkreis mit dem Punkt darin. Hier ist $a$ die Hypotenuse.
    • Die eine Kathete ist die Höhe $g$.
    • Da diese Höhe die Seite $a$ halbiert, ist $\frac a2$ die andere Kathete.
  • Beschreibe, wie du $\sin(60^\circ)$ berechnen kannst.

    Tipps

    Für den Sinus gelten folgende Gleichungen:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$ und
    • $\sin(\beta)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}}$.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Die Werte der Sinusfunktion liegen in dem Intervall $[-1;1]$.

    Lösung

    Zur Berechnung des Ausdrucks $\sin(60^\circ)$ schauen wir uns das linke rechtwinklige Hilfsdreieck an.

    Hier gilt $\sin(60^\circ)=\frac ga$. Du teilst die Länge der Gegenkathete von $\alpha$ durch die Länge der Hypotenuse.

    Zunächst muss die Länge der Gegenkathete berechnet werden. Hierfür verwendest du den Satz des Pythagoras:

    $g^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2$.

    Subtrahiere auf beiden Seiten $\left(\frac a2\right)^2$. Du erhältst:

    $g^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=a^2-\frac14a^2=\frac34a^2$.

    Nun kannst du die Wurzel ziehen. Das führt zu $g=\sqrt{\frac34a^2}=\frac12\cdot \sqrt 3\cdot a$.

    So! Jetzt kannst du $g$ in die obige Formel einsetzen und erhältst damit:

    $\sin(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot \sqrt 3\cdot a}a=\frac12\cdot \sqrt 3$.

    Wenn du sowohl $\sin(60^\circ)$ als auch $\frac12\cdot\sqrt 3$ in den Taschenrechner eingibst, erhältst du beide Male ungefähr $0{,}8660$.

  • Bestimme die speziellen Funktionswerte der Winkelfunktionen.

    Tipps

    Der Ausdruck $\sin(60^\circ)$ ergibt $\frac12\cdot \sqrt 3$.

    Hier siehst du, dass die Gegenkathete von $\alpha$ die Ankathete von $\beta$ ist.

    Die Bezeichnungen hängen also immer von dem Winkel ab, den du gerade betrachtest.

    Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Ankathete von $\beta$.

    Deshalb folgt:

    $\sin(\alpha)=\cos(\beta)$.

    Ebenso gilt $\cos(\alpha)=\sin(\beta)$.

    Lösung

    Hier siehst du den Nachweis dafür, dass $\sin(30^\circ)=\frac12$ gilt. Die Gegenkathete des $30^\circ$-Winkels $(\beta)$ ist $\frac a2$. Damit gilt:

    $\sin(30^\circ)=\dfrac{\frac a2}{a}=\frac12$.

    Fertig! Das ging ja schnell!

    Da die Gegenkathete von $\beta$ die Ankathete von $\alpha$ ist, gilt:

    • $\cos(60^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac12$ und
    • $\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$.
    Für den Tangens gilt:

    $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

    Mithilfe dieses Zusammenhangs kannst du nun die Werte für $\tan(60^\circ)$ und $\tan(30^\circ)$ ebenfalls berechnen:

    • $\tan(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot\sqrt 3}{\frac12}=\sqrt 3$ und
    • $\tan(30^\circ)=\dfrac{\frac12}{\frac12\cdot\sqrt 3}=\frac1{\sqrt 3}$.
  • Ermittle die fehlenden Werte der Tabelle.

    Tipps

    In diesem Einheitskreis ist der Winkel $60^\circ$ eingetragen. Der größere Winkel, welcher nicht eingetragen ist, beträgt $120^\circ$.

    Du siehst, dass $\sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)$ ist.

    Ebenso kannst du $\sin(135^\circ)$ und $\sin(150^\circ)$ bestimmen.

    In dieser Darstellung erkennst du, dass $\cos(120^\circ)=-\cos(60^\circ)$ ist.

    Ebenso kannst du $\cos(135^\circ)$ und $\cos(150^\circ)$ bestimmen.

    Verwende $\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

    Einige der Werte sind bereits in dem Video hergeleitet worden.

    Lösung

    Hier siehst du die ausgefüllte Tabelle.

    Die Werte für $\alpha=30^\circ;~45^\circ;~60^\circ$ hast du bereits kennengelernt.

    Du kannst für die verbleibenden Winkel nicht mehr mit rechtwinkligen Dreiecken argumentieren. Hierfür benötigst du einen Einheitskreis. In diesem ist die Hypotenuse gleich dem Radius $r=1$ und damit der Sinus des Winkels die Gegenkathete dieses Winkels. Es ist $\sin(90^\circ-\alpha)=\sin(90^\circ+\alpha)$.
    Ebenso ist $\cos(90^\circ-\alpha)=-\cos(90^\circ+\alpha)$.

    Die jeweiligen Tangenswerte kannst du berechnen, indem du den zu dem Winkel gehörenden Sinuswert durch den Cosinuswert dividierst.

    Schau dir die folgenden Winkel beispielhaft an:

    1. Beispiel: $135^\circ$

    • $\sin(135^\circ)=\sin(90^\circ+45^\circ)=\sin(90^\circ-45^\circ)=\sin(45^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 2$
    • $\cos(135^\circ)=\cos(90^\circ+45^\circ)=-\cos(90^\circ-45^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\frac12\cdot \sqrt 2$
    2. Beispiel: $150^\circ$

    • $\sin(150^\circ)=\sin(90^\circ+60^\circ)=\sin(90^\circ-60^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac12$
    • $\cos(150^\circ)=\cos(90^\circ+60^\circ)=-\cos(90^\circ-60^\circ)=-\cos(30^\circ)=-\frac12\cdot \sqrt 3$
  • Arbeite $\tan(\alpha)$ in Abhängigkeit von $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ heraus und verwende dies, um die speziellen Werte des Tangens zu berechnen.

    Tipps

    Verwende

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$,
    • $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.
    Lösung

    Zunächst benutzen wir die Definition des Tangens:

    $\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.

    Wenn du diesen Bruch mit der Hypotenuse erweiterst, erhältst du

    $\tan(\alpha)=\dfrac{\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}}$.

    Nun kannst du erkennen, dass im Zähler $\sin(\alpha)$ und im Nenner $\cos(\alpha)$ stehen:

    $\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

    Nun kannst du die bekannten Werte für Sinus und Cosinus einsetzen:

    • $\tan(30^\circ)=\dfrac{\frac12}{\frac12\cdot\sqrt 3}=\frac1{\sqrt3}$,
    • $\tan(45^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot \sqrt 2}{\frac12\cdot\sqrt 2}=1$ und
    • $\tan(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot\sqrt 3}{\frac12}=\sqrt3$.
    Du siehst, du kannst diese Werte auch auf einem anderen Weg bestimmen.

  • Weise den trigonometrischen Pythagoras nach.

    Tipps

    Hier siehst du die Definitionen von Sinus und Cosinus:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$ und
    • $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Wenn du einen Bruch quadrierst, quadrierst du sowohl den Zähler als auch den Nenner.

    Lösung

    Es soll nachgewiesen werden, dass $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ ist.

    Zunächst kannst du Sinus und Cosinus über den Quotienten von Gegenkathete beziehungsweise Ankathete zu Hypotenuse bestimmen:

    • $\sin(\alpha)=\frac ac$ und
    • $\cos(\alpha)=\frac bc$.
    Quadriere nun die Terme und addiere die Quadrate. So erhältst du

    $\begin{array}{rclll} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2\\ &=&\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}\\ &=&\frac{a^2+b^2}{c^2} \end{array}$

    Nun kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. $a$ und $b$ sind die Katheten und damit gilt $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Du kannst also $a^2+b^2$ durch $c^2$ ersetzen. So geht es weiter:

    $\begin{array}{rclll} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\frac{a^2+b^2}{c^2} \\ \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\frac{c^2}{c^2}\\ &=&1 \end{array}$