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Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften

Die Sinusfunktion beschreibt periodische Vorgänge in der Mathematik. Sie entsteht aus dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis. Die Funktion kann durch Parameter verändert werden und ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Interessiert? All das und noch mehr findest du im folgenden Text.

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Team Digital
Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die richtigen Aussagen.

    Tipps

    Die Strecke vom Nulldurchgang bis zu einer Extremstelle heißt bei trigonometrischen Funktionen Amplitude.

    Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ ist auf der gesamten $x$-Achse definiert.

    Das ist der Graph der Sinusfunktion.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • In die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann man alle reellen Zahlen einsetzen.
    Die Sinusfunktion hat den Definitionsbereich $D=\mathbb{R}$. Also darf man alle reellen Zahlen einsetzen.
    • Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen.
    Die Sinusfunktion hat den Wertebereich $W=[-1,1]$. Demzufolge kann sie Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen.
    • Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ ist eine periodische Funktion.
    Die Werte der Sinusfunktion wiederholen sich in regelmäßigen Abständen von $2 \pi$. Also ist die Sinusfunktion eine periodische Funktion.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Die Amplitude der Sinusfunktion ist $2$.
    Bei trigonometrischen Funktionen, also auch der Sinusfunktion, heißt die Strecke vom Nulldurchgang bis zu einer Extremstelle Amplitude. Hier hat diese Strecke die Länge $1$. Darum beträgt die Amplitude der Sinusfunktion $1$.
    • Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ hat eine Periode von $\pi$.
    Die Periode der Sinusfunktion ist $2\pi$.
  • Beschrifte den Graphen der Sinusfunktion.

    Tipps

    Alle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden.

    Extremwerte befinden sich genau zwischen zwei Nullstellen.

    Lösung

    Alle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Für die ersten beiden positiven Nullstellen gilt: Für $k=0$ ergibt sich $x=0$ und für $k=1$ ergibt sich $x=\pi$. Das sind also die Nullstellen im Graphen.

    Alle Hochpunkte der Sinusfunktion kann man durch $(2 \pi k + \frac{\pi}{2} |1)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ ausdrücken. Der erste positive Hochpunkt liegt also für $k=0$ bei $(\frac{\pi}{2} |1)$.

    Alle Tiefpunkte der Sinusfunktion kann man durch $(2 \pi k - \frac{\pi}{2} |1)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ ausdrücken. Der erste positive Tiefpunkt liegt also für $k=1$ bei $(\frac{3\pi}{2} |-1)$. Hier muss $k=1$ eingesetzt werden, da man sonst im negativen $x$-Bereich landet.

  • Zeige die Punktsymmetrie eines Punktes der Sinusfunktion.

    Tipps

    Zu Beginn jeder Rechnung muss aufgeschrieben werden, was ausgerechnet werden soll.

    Die anfängliche Relation wird so lange durch Einsetzen oder Rechenschritte verändert, bis die Punktsymmetrie gezeigt ist.

    Lösung

    Um Punktsymmetrie zu zeigen, muss die Relation $f(x)=-f(-x)$ nachgerechnet werden.

    Zu Beginn jeder Rechnung muss aufgeschrieben werden, was ausgerechnet werden soll.

    Wählt man $f(x)=\text{sin}(x)$ und multipliziert mit $-1$, erhält man:

    $\text{sin}(-x)=-\text{sin}(x)$

    Man konkretisiert, was ausgerechnet werden soll.

    Jetzt kann man Werte für $x$ einsetzen und kontrollieren, ob das stimmt. Für $x=\frac{\pi}{2}$ gilt:

    Die gefundene Relation soll für einen Punkt geprüft werden.

    $\text{sin}(-x)=\text{sin}(-\frac{\pi}{2})=-1$

    Außerdem erhält man:

    $-\text{sin}(x)=-\text{sin}(\frac{\pi}{2})=-1$

    Dafür setzt man den Punkt einzeln in beide Seiten der Gleichung ein und berechnet.

    Die Werte sind also gleich. Damit ist die Punktsymmetrie für den Wert $x=\frac{\pi}{2}$ gezeigt.

    Die Rechnung wird durch einen Antwortsatz abgeschlossen.

  • Bestimme die Besonderheit der gegebenen $x$-Werte.

    Tipps

    Benutze die behandelten Formeln, um herauszufinden, welche besonderen Stellen sich an den $x$-Werten befinden.

    Lösung

    Nullstellen

    $x=5 \pi$, $x=-3 \pi$, $x=-25 \pi$

    Alle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi,~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Die oben genannten Stellen ergeben sich für $k=5$, $k=-3$, $k=-25$.

    Maxima

    $x=-5 \frac{1}{2} \pi$, $x=-3,5 \pi$, $x=6 \frac{1}{2} \pi$

    Alle $x$-Werte der Maxima der Sinusfunktion können durch $2 \pi k + \frac{\pi}{2}, ~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Die oben genannten Stellen ergeben sich für $k=-6$, $k=-4$ und $k=6$.

    Minima

    $x=13,5 \pi$, $x=-\frac{13}{2} \pi$

    Alle $x$-Werte der Mimima der Sinusfunktion können durch $2 \pi k - \frac{\pi}{2}, ~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Die oben genannten Werte ergeben sich für $k=7$ und $k=-3$.

  • Bestimme die korrekten Aussagen über die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$.

    Tipps

    Das ist der Graph der Sinusfunktion.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Die Sinusfunktion hat eine Nullstelle bei $x=0$.
    Alle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Für $k=0$ ergibt sich die erste Nullstelle bei $x=0$.
    • Die Funktionswerte der Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ wiederholen sich in regelmäßigen Abständen von $2 \pi$.
    Die Sinusfunktion hat eine Periode von $2 \pi$. Die Funktionswerte wiederholen sich also in regelmäßigen Abständen von $2 \pi$.
    • Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    Die Sinusfunktion erfüllt die Relation $f(x)=-f(-x)$. Also ist die Funktion punktsymetrisch zum Ursprung.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Die Periode der Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann man an dem Abstand zweier nebeneinanderliegender Nullstellen ablesen.
    Bei zwei nebeneinanderliegenden Nullstellen wiederholt sich die Funktion noch nicht, da sie einmal eine positive Steigung und das andere Mal eine negative Steigung aufweist. Erst bei der übernächsten Nullstelle ist die Steigung wieder positiv. Die Periode der Sinusfunktion kann man also ablesen, wenn man eine Nullstelle und die übernächste Nullstelle betrachtet.
    • Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ hat bei $x=0$ einen Hochpunkt.
    Man muss nur den Graphen der Sinusfunktion betrachten, um zu erkennen, dass bei $x=0$ kein Hochpunkt existiert. Der nächste Hochpunkt liegt bei $x=\frac{\pi}{2}$. Allerdings gibt es eine andere periodische Funktion, die einen Hochpunkt bei $x=0$ hat: die Cosinusfunktion $f(x)=\text{cos}(x)$.
  • Erschließe die Streckung und Stauchung der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$.

    Tipps

    Beim Strecken wird etwas in die Länge gezogen.

    Lösung

    Um die Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ auf der $y$-Achse zu strecken oder zu stauchen, multipliziert man die Funktion mit einem Faktor $a$:

    $f(x)=a \cdot \sin(x)$

    Ist der Faktor größer als eins, wird die Funktion gestreckt. Die Amplitude vergrößert sich.

    Ist der Faktor kleiner als eins, wird die Funktion gestaucht. Die Amplitude verkleinert sich.

    Um die Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ auf der $x$-Achse zu strecken oder zu stauchen, multipliziert man den $x$-Wert mit einem Faktor $b$:

    $f(x)=\sin(b \cdot x)$

    Dieser Faktor verändert die Periode $p$ der Funktion.

    Ist der Faktor größer als eins, wird die Funktion gestaucht. Die Periode verkleinert sich.

    Ist der Faktor kleiner als eins, wird die Funktion gestreckt. Die Periode vergrößert sich.

    Beim Strecken wird etwas in die Länge gezogen und beim Stauchen verkleinert.

    Die Funktion $g(x)= 2 \sin(x)$ wurde also auf der $y$-Achse gestreckt.

    Die Funktion $h(x)= \sin(2x)$ wurde auf der $x$-Achse gestaucht.

    Die beiden Veränderungen können auch kombiniert werden:

    $u(x)= 2 \sin(2x)$

    Der Faktor $a$ streckt/staucht die Funktion auf der $y$-Achse und der Faktor $b$ auf der $x$-Achse.