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Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Winkel sind wichtig in der Geometrie. Erfahre mehr über Winkelmaße wie das Grad- und Bogenmaß. Wir zeigen dir, wie man die Bogenlänge berechnet und wie man Grad- und Bogenmaß umrechnet. Neugierig geworden? Das und noch viel mehr findest du im folgenden Text!

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Team Digital
Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Bedeutung des Grad- und des Bogenmaßes.

    Tipps

    Grad heißt im Englischen degree.

    $b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    Lösung

    Um einen Winkel anzugeben, können wir das Gradmaß oder das Bogenmaß verwenden.

    Wir überprüfen die Aussagen:

    • Grad- und Bogenmaß sind unterschiedliche Einheiten für einen Winkel. Diese Aussage ist richtig.
    • Jeder Winkel kann im Gradmaß und im Bogenmaß angegeben werden. Diese Aussage ist richtig.
    • Das Gradmaß wird in der Einheit $^\circ$ angegeben. Diese Aussage ist richtig.
    • Das Bogenmaß wird in $\text{cm}$ angegeben. Diese Aussage ist falsch. Das Bogenmaß ist keine Länge, sondern eine rationale Zahl.
    • Am Taschenrechner müssen wir beim Rechnen mit dem Gradmaß die Einstellung rad wählen. Diese Aussage ist falsch. Beim Rechnen mit dem Gradmaß wählen wir die Einstellung deg und beim Rechnen mit dem Bogenmaß die Einstellung rad.
  • Gib die Herleitung zur Bestimmung des Vollwinkels im Bogenmaß wieder.

    Tipps

    Ein Winkel im Bogenmaß wird meist mit $b$ abgekürzt, ein Winkel im Gradmaß mit $\alpha$.

    Das Bogenmaß entspricht der Länge des zu einem Winkel gehörenden Kreisbogens am Einheitskreis.

    Lösung

    Um die Größe des Vollwinkels $360^\circ$ im Bogenmaß herzuleiten, verwenden wir den Einheitskreis:

    Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $r=1$.

    Der Umfang eines Kreises kann mit der Formel $U=2\pi r$ bestimmt werden.

    Im Einheitskreis ist der Umfang somit $U=2 \pi \cdot 1 = 2 \pi$. Dies entspricht der Größe des Vollwinkels im Bogenmaß. Wir schreiben: $b=2\pi$

    Allgemein teilen wir zur Bestimmung des Bogenmaßes den Umfang durch den Radius.
    Da $\frac{U}{r} = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi$ gilt, gilt dies auch allgemein.

    Für den Vollwinkel gilt also:
    Gradmaß: $\alpha = 360^\circ$ $\quad$ Bogenmaß: $b=2\pi$

  • Bestimme für jeden Winkel die Angabe im Grad- und im Bogenmaß.

    Tipps

    Du kannst entweder die Winkel im Gradmaß ins Bogenmaß umwandeln oder umgekehrt.

    Um einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $b = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    Der Winkel $360^\circ$ entspricht im Bogenmaß $2\pi$.

    Lösung

    Um einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $b = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:

    • Winkel $\alpha=20^\circ$: $b = \frac{20^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{9}$

    • Winkel $\alpha=60^\circ$: $b = \frac{60^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}$

    • Winkel $\alpha=160^\circ$: $b = \frac{160^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{8}{9} \pi$

    • Winkel $\alpha=67,5^\circ$: $b = \frac{67,5^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{8} \pi$

    • Winkel $\alpha=36^\circ$: $b = \frac{36^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{5}$
  • Ermittle die fehlenden Winkelangaben.

    Tipps

    Um einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    $b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    Lösung

    Winkel können wir im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben.

    Um einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:
    $b = \frac{270^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{2} \pi = 1,5 \pi$
    $b = \frac{108^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{5} \pi = 0,6 \pi$

    Um einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:
    $\alpha = \frac{0,75 \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 135^\circ$
    $\alpha = \frac{5 \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 900^\circ$

  • Vervollständige die Tabelle zu den wichtigsten Winkeln im Grad- und Bogenmaß.

    Tipps

    Eine Angabe im Gradmaß trägt immer die Einheit $^\circ$.

    Der Winkel $\alpha=45^\circ$ beträgt im Bogenmaß $b=\frac{\pi}{4}$.

    Lösung

    Wir können einen Winkel immer im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben.

    Der Vollwinkel:
    Da im Einheitskreis der Umfang $2 \pi$ beträgt, entspricht der Vollwinkel $360^\circ$ im Bogenmaß $2 \pi$.

    Der gestreckte Winkel:
    Da $180^\circ$ die Hälfte des Vollwinkels ist, beträgt das zugehörige Bogenmaß $\pi$.

    Der rechte Winkel:
    Halbieren wir den gestreckten Winkel noch einmal, so erhalten wir im Gradmaß den $90^\circ$-Winkel, welcher im Bogenmaß $\frac{\pi}{2}$ entspricht.

  • Stelle die Winkelangaben der Größe nach geordnet dar.

    Tipps

    Wandle zunächst alle Winkel ins Gradmaß oder alle Winkel ins Bogenmaß um.

    Achtung: Jede Angabe ohne das Gradzeichen, ist ein Winkel im Bogenmaß, so zum Beispiel auch $b=45$. Jede Angabe mit Gradzeichen ist hingegen ein Winkel im Gradmaß, so zum Beispiel auch $\alpha = \pi^\circ$.

    $b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    Lösung

    Winkel können wir im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben. Um die Winkel sortieren zu können, wandeln wir sie alle ins Gradmaß um.

    Hinweis: Wir könnten auch alle Winkel ins Bogenmaß umwandeln.

    Um einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    Wir können somit die im Bogenmaß gegebenen Winkel umwandeln:
    $\alpha = \frac{\frac{5}{36} \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 25^\circ$
    $\alpha = \frac{\frac{11}{45} \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 44^\circ$
    $\alpha = \frac{\frac{\pi}{5} \cdot 180^\circ}{\pi} = 36^\circ$
    $\alpha = \frac{45 \cdot 180^\circ}{\pi} \approx 2578,3^\circ$

    Hinweis: Jede Angabe ohne das Gradzeichen, ist ein Winkel im Bogenmaß, so zum Beispiel auch $b=45$. Jede Angabe mit Gradzeichen ist hingegen ein Winkel im Gradmaß, so zum Beispiel auch $\alpha = \pi^\circ$. Hierfür gilt: $\alpha = \pi^\circ \approx 3,14^\circ$.

    Wir können nun die Winkel der Größe nach sortieren:

    $3,14^\circ < 15^\circ < 18^\circ < 25^\circ < 36^\circ < 40^\circ < 44^\circ < 2578,3^\circ$

    bzw.

    $\pi^\circ < 15^\circ < 18^\circ < \frac{5}{36} \pi < \frac{\pi}{5} < 40^\circ < \frac{11}{45} \pi < 45$