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Cosinus und Tangens – Definition

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Team Digital
Cosinus und Tangens – Definition
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Cosinus und Tangens – Definition

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit Cosinus und Tangens zu rechnen.

Zunächst lernst du, wie Cosinus und Tangens definiert sind. Anschließend siehst du an zwei Beispielen, wie du mit Cosinus und Tangens rechnen kannst.

Tangens Cosinus

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie rechtwinkliges Dreieck, Sinus, Cosinus, Tangens, Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie die Seitenbezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck lauten.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Übungsaufgaben mit Sinus, Cosinus und Tangens zu rechnen.

Transkript Cosinus und Tangens – Definition

Welch herzerweicheneder Anblick. Diese holde Maid möchte wohl sehnlichst aus ihrer einsamen Turmkammer errettet werden! Doch wie kommt Prinz Sekans nur zu ihr hinauf? Er hat eine geniale Idee! Die Schönheit kann sich einen Zopf in Höhe des Turmfensters wachsen lassen. Mit dem kann er ganz einfach nach oben gelangen. Doch wie kann Prinz Sekans die Höhe des Turmfensters berechnen? Zum Glück hat er in Mathe aufgepasst. Denn dabei hilft ihm die Trigonometrie, genauer gesagt die Seitenverhältnisse „Cosinus und Tangens“. Wenn das Wort Trigonometrie fällt, geht es meistens in irgendeiner Form um rechtwinklige Dreiecke. Am Besten wiederholen wir dazu kurz die Seitenbezeichnungen, ausgehend von dem Winkel Alpha. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse. Die Seite, die dem betrachteten Winkel Alpha gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Und die dritte Seite, die an dem Winkel Alpha anliegt, ist die Ankathete. Den Sinus kennen wir bereits. Er ist definiert durch das Verhältnis der Seitenlängen von Gegenkathete zu Hypotenuse. Doch es gibt weitere Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck, die unsere Aufmerksamkeit verdient haben. Zum einen gibt es da den Cosinus. Der Cosinus ist gleich Ankathete durch Hypotenuse. Hier steht anstelle der Gegenkathete die Ankathete im Zähler. Der dritte im Bunde ist der Tangens. Dieser ist durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete definiert. Wir können uns also merken: Genauso wie beim Sinus, handelt es sich bei Cosinus und Tangens um Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Daher können wir auch mit Cosinus und Tangens so rechnen, wie wir es bereits vom Sinus kennen. Dazu ein Beispiel. Gegeben ist dieses rechtwinklige Dreieck. Winkel Alpha ist hier gleich sechzig Grad. Und die Länge der Hypotenuse c beträgt zwölf Zentimeter. Wir wollen die Länge der Ankathete b berechnen. Dafür können wir den Cosinus von Alpha verwenden. Denn dieser ist ja gleich Ankathete durch Hypotenuse. Wir müssen nur noch die gegebenen Werte in unsere Formel einsetzen, und anschließend nach b umstellen. Den Cosinus können wir mit dem Taschenrechner ausrechnen. Der Cosinus von sechzig Grad ist gleich 0,5! Das können wir uns ja schonmal merken. Die gesuchte Länge der Ankathete ist also gleich sechs Zentimeter. Zurück zu Prinz Sekans und seinem Turmproblem. Er befindet sich in einem Abstand von zehn Metern zum Turm. Zwischen seinem Standpunkt und dem Turmfenster haben wir außerdem einen fünfundvierzig-Grad-Winkel. Der Prinz muss nun herausfinden wie hoch das Turmfenster liegt, also wie lang die „Seite h“ ist. Denn dann lautet das Motto: „Rapunzel lass dein H herunter“. Und dafür sollte man natürlich wissen, wie lang das H denn sein muss. Doch wie kann Prinz Sekans das herausfinden? Kannst du ihm helfen? Kleiner Tipp: Der Turm ist natürlich in einem rechten Winkel gebaut worden. Hier siehst du außerdem nochmal die Formeln für Cosinus und Tangens. Pausiere das Video kurz! Dann erfährst du die Lösung. Um die Höhe des Turmfensters zu berechnen, müssen wir überlegen welche Größe wir suchen, und welche Größen wir gegeben haben. Da unser betrachteter Winkel in der unteren linken Ecke liegt, ist das gesuchte h die Länge der Gegenkathete. Die Distanz von Prinz Sekans zum Turm entspricht der Ankathete. Wenn sowohl Gegen- als auch Ankathete im Spiel sind, können wir den Tangens nutzen. Wir setzen die gegebenen Werte ein, stellen um, und können so die gesuchte Länge von h ermitteln. Der Tangens von fünfundvierzig Grad ist genau gleich eins. Daher ist die Gegenkathete genauso lang wie die Ankathete! Das Turmfenster ist also zehn Meter hoch! Ein zehn Meter langer Zopf? Das kann dauern. Da muss Prinz Sekans wohl später nochmal vorbeikommen. Während der Prinz die Evakuierung von Rapunzel vorbereitet, fassen wir kurz zusammen. Cosinus und Tangens geben Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck an. Der Cosinus ist durch das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse, der Tangens durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete definiert. Beide können wir – genauso wie den Sinus – dafür nutzen, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu berechnen. So hat es auch Prinz Sekans gemacht, um seine Rettungsaktion zu planen. Und der wird nun auch zur Tat schreiten. Oh, Rapunzel konnte sich wohl sehr gut selber helfen.

Cosinus und Tangens – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Cosinus und Tangens – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zur Wiederholung der Trigonometrie.

    Tipps

    In der Trigonometrie werden Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken untersucht.

    Gegenüber des rechten Winkels liegt die längste Seite des Dreiecks.

    Die Katheten werden nach ihrer Position zum dazugehörigen Winkel benannt.

    Lösung

    Die drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens heißen auch trigonometrische Funktionen. Es handelt sich dabei um Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Dadurch ist es möglich, fehlende Winkel- oder Seitengrößen einfach zu berechnen.

    Betrachten wir einen bestimmten Innenwinkel des Dreiecks, so ist die gegenüberliegende Seite dieses Winkels die Gegenkathete. Die an dem Winkel anliegende Seite nennt man Ankathete. Die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, nennen wir Hypotenuse. Sie ist stets die längste Seite im Dreieck.

  • Bestimme Schritt für Schritt die Rechnung zum Tangens.

    Tipps

    Die Seite $h$ liegt dem Winkel $\alpha = 45^\circ$ gegenüber.

    Es gilt: $\tan (45^\circ) = 1$

    Lösung

    Bei trigonometrischen Funktionen betrachten wir stets rechtwinklige Dreiecke. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit $\alpha = 45^\circ$ und anliegend die Seite mit der Größe von $10 ~\text{m}$, welche die Ankathete darstellt. Dem Winkel gegenüber liegt die gesuchte Höhe $h$, welche der Gegenkathete des Winkels entspricht.

    Wir betrachten also das Seitenverhältnis der Gegenkathete zur Ankathete in Bezug zum Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck, um die Lösung für die Höhe $h$ herauszufinden. Dabei wird die Gleichung mithilfe des Tangens aufgestellt. Die gegebenen Werte können in die Gleichung eingesetzt und die Variable anschließend wie folgt berechnet werden:

    $\begin{array}{rlll} \tan (\alpha)& =& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\ \\ \tan (45^\circ) &= &\frac{h}{10~\text{m}} &| \cdot 10 ~\text{m} \\ \\ \tan (45^\circ) \cdot 10~\text{m} &=& h \\ \\ 1 \cdot 10~\text{m} &=& h \\ \\ h & =&10~\text{m} \end{array} $

    Beachte dabei, dass gilt: $\tan(45^\circ) = 1$. Dies kannst du in deinem Taschenrechner nachrechnen.

  • Berechne die fehlende Größe.

    Tipps

    Der Tangens lautet: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Die Werte $\alpha = 45^\circ$ und $a=8~\text{cm}$ werden in die Formel eingesetzt und nach der Variablen aufgelöst.

    $\tan(45^\circ) = 1$

    Lösung

    Im Dreieck $ABC$ ist der Winkel $\alpha = 45^\circ$ und die Gegenkathete $a=8~\text{cm}$ gegeben. Um die Ankathete $b$ zu berechnen, nutzen wir eine trigonometrische Funktion. In diesem Fall den Tangens, da er das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete angibt. Wir stellen die Gleichung auf und lösen nach der Variablen auf:

    $\begin{array}{rlll} \tan (\alpha)& =& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\ \\ \tan (45^\circ) &= &\frac{8~\text{cm}}{b} &| \cdot b \\ \\ \tan (45^\circ) \cdot b &=& 8~\text{cm} & | : \tan (45^\circ) \\ \\ b &=& \frac{8~\text{cm}}{\tan (45^\circ)} & \\ \\ b &=& \frac{8~\text{cm}}{1} & \\ \\ b& =& 8~\text{cm} & \\ \end{array} $

  • Berechne die Länge der Leiter.

    Tipps

    Die Länge der Leiter entspricht exakt der Strecke zwischen dem Prinz und dem Fenster.

    Der Kosinus lautet: $\cos (\alpha)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Die Werte $\alpha = 45^\circ$ und $\text{Ankathete}=10~\text{m}$ werden in die Formel eingesetzt und nach der Variablen aufgelöst.

    Lösung

    Um das Ergebnis zu berechnen müssen wir eine trigonometrische Funktion im rechtwinkligen Dreieck aufstellen und berechnen. Wir suchen die längste Seite $c$ des Dreiecks. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und entspricht exakt der Strecke zwischen Prinz und dem Fenster. In der Trigonometrie nennen wir diese Seite die Hypotenuse. Diese Streckenlänge wird gesucht.

    Gegeben ist neben dem Winkel $45^\circ$ die Ankathete mit $10~\text{m}$. Der Kosinus beschreibt das Seitenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse und ist somit für unsere Berechnung notwendig. Wir stellen die Gleichung auf und lösen nach der Variablen auf:

    $\begin{array}{rlll} \cos (45^\circ)& =& \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}& \\ \\ \cos (45^\circ) &= & \frac{10~\text{m}}{c}& | \cdot c \\ \\ \cos (45^\circ) \cdot c &= & 10~\text{m} & | : \cos (45^\circ) \\ \\ c &= & \frac{10~\text{m}}{\cos (45^\circ)} \\ \\ c& \approx&14,14~\text{m} \end{array} $

    Die Berechnung mithilfe des Kosinus bringt uns das Ergebnis $c \approx 14,14~\text{m}$. Beachte beim Umformen der Gleichung, wie du Schritt für Schritt die Werte und Variablen umformst. Zunächst bringst du das $c$ auf die andere Seite, indem du beide Seiten mit $c$ multiplizierst. Anschließend teilst du die Gleichung durch $\cos (45^\circ)$.

  • Vervollständige die Winkelfunktionen.

    Tipps

    Der Sinus beschreibt das Seitenverhältnis mit einer des Winkels gegenüberliegenden Seite und der längsten Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

    Der Kosinus beinhaltet eine dem Winkel anliegende Seite.

    Die längste Seite des Dreiecks spielt beim Tangens keine Rolle.

    Lösung

    Die Winkelfunktionen $\sin$, $\cos$ und $\tan$ heißen auch trigonometrische Funktionen und ermöglichen das Berechnen von Seiten und Winkelgrößen im rechtwinkligen Dreieck. In unserem vorliegenden Dreieck $ABC$ können wir ganz einfach die jeweilige Winkelfunktion zum Winkel $\alpha$ bestimmen.


    • Betrachten wir die gegenüberliegende Seite des Winkels im Verhältnis zur Hypotenuse (gegenüber des rechten Winkels und längste Seite des Dreiecks), so können wir den Sinus bilden:$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    • Betrachten wir die anliegende Seite des Winkels im Verhältnis zur Hypotenuse (gegenüber des rechten Winkels und längste Seite des Dreiecks), so können wir den Kosinus bilden: $\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    • Betrachten wir die gegenüberliegende Seite des Winkels im Verhältnis zur anliegenden Seite, so können wir den Tangens bilden: $\tan (\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
  • Überprüfe, welche der Angaben korrekt sind.

    Tipps

    Die Winkelfunktion des Kosinus wird aus der anliegenden Seite eines Winkels und der längsten Seite des rechtwinkligen Dreiecks gebildet.

    Die Kosinusfunktion im Koordinatensystem.

    Die Winkelfunktion des Kosinus wird durch den Quotient zweier Seiten dargestellt.

    Lösung

    Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens heißen auch trigonometrische Funktionen. Das Rechnen mit ihnen wird als Trigonometrie bezeichnet.

    Die drei richtigen Lösungen lauten:

    • Der Kosinus wird aus dem Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse gebildet: $\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
    • Der Wertebereich des Kosinus liegt zwischen $-1$ und $+1$. Dies kannst du ganz einfach mit deinem Taschenrechner nachrechnen. Füge verschiedene Winkelwerte für $\cos(\alpha)$ ein und berechne das Ergebnis. Du siehst im zweiten Tipp dazu den Verlauf des Kosinus im Koordinatensystem.
    • Der Kosinus beschreibt ein Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck, da er den Quotienten zwischen Ankathete und Hypotenuse bildet.

    Nicht korrekt sind folgende Angaben:
    • Die Werte des Kosinus sind immer positiv.
    Gegenbeispiel: $\cos (120^\circ) = -0,5$
    • $\cos(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \tan(\alpha)$ gilt nicht.
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