Trigonometrie – Übungen

Durch welches Verhältnis wird der Sinus eines Winkels beschrieben?

Der Sinus wird durch das Verhältnis $\dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$beschrieben.

Durch welches Verhältnis wird der Cosinus eines Winkels beschrieben?

Der Cosinus wird durch das Verhältnis $\dfrac{Ankathete}{Hypotenuse}$ beschrieben.

Durch welches Verhältnis wird der Tangens eines Winkels beschrieben?

Der Tangens wird durch das Verhältnis $\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete}$ beschrieben.

Was bedeutet der Begriff „Einheitskreis“ im Zusammenhang mit Trigonometrie?

Der Einheitskreis ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius $1$.
Zeichnet man in den Einheitskreis ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Eckpunkt im Ursprung und einem Eckpunkt auf der Kreislinie, hilft der Einheitskreis bei dem Verständnis trigonometrischer Zusammenhänge.

Welcher Zusammenhang gilt hier?

Der Satz des Pythagoras lautet für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis:
$$\sin^2 + \cos^2 = 1^2 = 1$$

Rechenweg:

Berechne $\sin(\alpha)$ mit $\sin(\alpha) = \dfrac{a}{c}$.
Setze ein: $\dfrac{4}{5} = 0{,}8$

Lösung:

$\sin(\alpha) = 0{,}8$

Rechenweg:

Berechne $\cos(\alpha)$ mit $\cos(\alpha) = \dfrac{b}{c}$.
Setze ein: $\dfrac{12}{13} \approx 0{,}923$

Lösung:

$\cos(\alpha) \approx 0{,}923$

Rechenweg:

Berechne $\tan(\alpha)$ mit $\tan(\alpha) = \dfrac{a}{b}$.
Setze ein: $\dfrac{9}{12} = 0{,}75$

Lösung:

$\tan(\alpha) = 0{,}75$

Rechenweg:

Berechne $\sin(\alpha)$ mit $\sin(\alpha) = \dfrac{a}{c}$.
Setze ein: $\dfrac{10}{20} = 0{,}5$

Lösung:

$\sin(\alpha) = 0{,}5$

Rechenweg:

Berechne $\cos(\alpha)$ mit $\cos(\alpha) = \dfrac{b}{c}$.
Setze ein: $\dfrac{15}{17} \approx 0{,}882$

Lösung:

$\cos(\alpha) \approx 0{,}882$

Rechenweg:

Berechne $\tan(\alpha)$ mit $\tan(\alpha) = \dfrac{a}{b}$.
Setze ein: $\dfrac{7}{24} \approx 0{,}292$

Lösung:

$\tan(\alpha) \approx 0{,}292$

Rechenweg:

Berechne $\sin(\alpha)$ mit $\sin(\alpha) = \dfrac{a}{c}$.
Setze ein: $\dfrac{8}{10} = 0{,}8$

Lösung:

$\sin(\alpha) = 0{,}8$

Rechenweg:

Berechne $\cos(\alpha)$ mit $\cos(\alpha) = \dfrac{b}{c}$.
Setze ein: $\dfrac{5}{13} \approx 0{,}385$

Lösung:

$\cos(\alpha) \approx 0{,}385$

Rechenweg:

Berechne $\tan(\alpha)$ mit $\tan(\alpha) = \dfrac{a}{b}$.
Setze ein: $\dfrac{6}{10} = 0{,}6$

Lösung:

$\tan(\alpha) = 0{,}6$

Rechenweg:

Stelle die Formel um: $a = \sin(\alpha) \cdot c$
Setze ein: $0{,}5 \cdot 14 = 7$

Lösung:

Die Gegenkathete ist $a = 7\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $b = \cos(\alpha) \cdot c$
Setze ein: $0{,}8 \cdot 25 = 20$

Lösung:

Die Ankathete ist $b = 20\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $a = \tan(\alpha) \cdot b$
Setze ein: $1{,}2 \cdot 10 = 12$

Lösung:

Die Gegenkathete ist $a = 12\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $a = \sin(\alpha) \cdot c$
Setze ein: $0{,}6 \cdot 10 = 6$

Lösung:

Die Gegenkathete ist $a = 6\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $b = \cos(\alpha) \cdot c$
Setze ein: $0{,}3 \cdot 20 = 6$

Lösung:

Die Ankathete ist $b = 6\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $a = \tan(\alpha) \cdot b$
Setze ein: $1{,}5 \cdot 8 = 12$

Lösung:

Die Gegenkathete ist $a = 12\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $c = a : \sin(\alpha)$
Setze ein: $7 : 0{,}7 = 10$

Lösung:

Die Hypotenuse ist $c = 10\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $b = \cos(\alpha) \cdot c$
Setze ein: $0{,}6 \cdot 15 = 9$

Lösung:

Die Ankathete ist $b = 9\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $b = a : \tan(\alpha)$
Setze ein: $8 : 0{,}5 = 16$

Lösung:

Die Ankathete ist $b = 16\,\text{cm}$.

Rechenweg:

Berechne: $c = a : \sin(\alpha)$
Setze ein: $9 : 0{,}9 = 10$

Lösung:

Die Hypotenuse ist $c = 10\,\text{cm}$.

Verstehen der Aufgabe:

Gesucht ist die Höhe des Dachs – also die Gegenkathete – bei gegebener Hypotenuse ($6\,\text{m}$) und Winkel. Es wird der Sinus verwendet.

Rechenweg:

$\text{Höhe} = 6 \cdot \sin(40^\circ) \approx 6 \cdot 0{,}6428 = 3{,}86$

Antwort:

Der Dachfirst liegt ca. $3{,}86\,\text{m}$ über dem Rand.

Verstehen der Aufgabe:

Gesucht ist der Höhenunterschied – also die Gegenkathete. Die Hypotenuse (Länge des Seils) und der Winkel sind gegeben, also verwenden wir den Sinus.

Rechenweg:

$\text{Höhe} = 1000 \cdot \sin(25^\circ) \approx 1000 \cdot 0{,}4226 = 422{,}6$

Antwort:

Die Seilbahn überwindet einen Höhenunterschied von etwa $422{,}6\,\text{m}$.

Verstehen der Aufgabe:

Gesucht ist der Winkel zwischen Boden und Leiter. Das ergibt ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse ($5\,\text{m}$) und Ankathete ($3\,\text{m}$). Es wird der Cosinus benötigt.

Rechenweg:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$
$\alpha = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ$

Antwort:

Die Leiter steht in einem Winkel von etwa $53{,}13^\circ$ zur Horizontalen.