Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks
Beschreibung Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks
Hallo liebe Mathematikfreunde. Ihr solltet als Voraussetzung Kenntnisse über Winkelfunktionen besitzen und elementare Begriffe der Geometrie kennen. Im Video wird dir die Formel für den Flächeninhalt des regelmäßigen n -Ecks hergeleitet. Das Vorgehen wird am Quadrat erklärt und am Sechseck überprüft. Das Quadrat ist ein Viereck, welches von einem Kreis umschrieben werden kann. Damit ist sehr anschaulich und verständlich ist, achten wir im Video darauf, dass wir die Herleitung Schritt für Schritt anhand einer Skizze erläutern. Solltest du mal nicht folgen können, dann ist das kein Problem! Spule das Video einfach zurück und schaue es dir noch einmal an! Viel Spaß!
Transkript Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks
Hallo liebe Mathematikfreunde! Hier ist André mit einem Video über den Flächeninhalt des regelmäßigen n-Ecks. Ihr solltet als Voraussetzung etwas über Winkelfunktionen gehört haben, damit einige Übungen angestellt haben und bescheid wissen über einige elementare Begriffe der Geometrie. Ich möchte das Problem an einem Quadrat erläutern. Das Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck und kann von einem Kreis umschrieben werden. Wie im Bild links dargestellt, setzt sich der Flächeninhalt des Quadrates aus dem Flächeninhalt 4 gleichschenkeliger Dreiecke zusammen. Der Flächeninhalt des Dreiecks errechnet sich nach der bekannten Dreiecksformel: a×h/2. Die Seitenlänge des Quadrates wird als a bezeichnet. Nun müssen wir nur noch die Höhe bestimmen. Diese erhalten wir, indem wir von der Spitze des Dreiecks vom Punkt M ein Lot auf die Grundseite des Quadrates fällen. Um h durch a auszudrücken, benötigen wir noch den Winkel α, so wie im Bild eingezeichnet. Nun ergibt sich tanα ist der Quotient aus a/2 und h und äquivalent umgeformt: h=a/2×tanα. Setzen wir nun den Ausdruck für h in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ein, erhalten wir: (a×a)/2×2×tanα, oder umgeformt, vorletzte Zeile von unten: Flächeninhalt des Dreiecks ist gleich a2/4tanα. Wir erinnern uns nun an die 1. Zeile: Flächeninhalt des Quadrates ist gleich 4× Flächeninhalt Dreieck und erhalten schließlich als Formel, für den Flächeninhalt des Quadrates in der letzten Zeile, a2=a2/tanα. Wie bestimmt man nun α? Wichtig ist für uns nicht nur das Ergebnis, sondern auch die Vorgehensweise. Wenn wir den Vollkreis betrachten, hat er den Winkel von 360°. Es handelt sich um ein Viereck, also muss dieser Winkel durch 4 dividiert werden, zusätzlich müssen wir diesen Winkel nochmals durch 2 teilen und erhalten schließlich α. Für das Quadrat ergibt dies: α=45°. tan(45°)=1, demzufolge ergibt sich, letzte Zeile, Mitte unten, a2=a2. Nun wollen wir unsere Ergebnisse auf ein beliebiges n-Eck übertragen. In diesem Fall ist der Flächeninhalt dieses n-Ecks An=n mal den Flächeninhalt des betreffenden, gleichschenkeligen Dreiecks. Genauso, wie beim Quadrat, ergibt sich hier für den Flächeninhalt ADreieck=a2/4tanα, dieser Ausdruck mit n multipliziert, ergibt schließlich den Flächeninhalt des regelmäßigen n-Ecks: na2/4tanα. Nun muss nur noch der Winkel α in Abhängigkeit von der Seitenzahl des n-Ecks dargestellt werden. α=360° dividiert durch diese Seitenzahl und zusätzlich noch einmal geteilt durch 2. Wir erhalten α=180°/n. Diesen Ausdruck eingesetzt in die erhaltene Formel liefert das endgültige Ergebnis. Die Referenzrechnung für das Quadrat benötigen wir nun nicht mehr. Ich werde sie daher wegwischen. Und stolz können wir präsentieren: An=na2/4tan von (180°/n). Wenden wir nun diese Formel auf ein regelmäßiges Sechseck an. n=6, wir erhalten somit: A6=(6×a2)/(4tan von (180°/6)). 6/4 wird gekürzt, wir erhalten 3/2 und 180°/6=30°. Der tan von 30°=1/\sqrt(3). Und somit erhalten wir: A6=3/2\sqrt(3)×a2. Schaut einmal in eure Formelsammlung hinein, dort werdet ihr auch diese Formel vorfinden. Durch das Fallbeispiel wurde die gefundene Formel bestätigt. So, das war es wieder für heute. Vielleicht konnte ich euch ein wenig helfen und vielleicht hat der eine oder andere ein wenig Freude an der Aufgabe gefunden. Ich wünsche euch alles Gute, viel Erfolg. Na dann bis zum nächsten Mal, tschüss!
Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks Übung
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Bestimme den Flächeninhalt eines Quadrates mit Hilfe eines Dreiecks.
TippsAllgemein ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gegeben als die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.
$A_\Delta=\frac{a\cdot h_A}2=\frac{b\cdot h_B}2=\frac{c\cdot h_C}2$
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens wie folgt definiert:
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}$.
LösungDu weißt sicher, dass der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ durch $A=a^2$ gegeben ist. Für diese Aufgabe tun wir nun so, als ob wir das noch nicht wüssten.
Wir möchten in dieser Aufgabe eine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks herleiten. Dies tun wir am Beispiel eines regelmäßigen Vierecks, also eines Quadrates.
Hier siehst du ein in einen Kreis eingeschriebenes Quadrat (rot) mit der Seitenlänge $a$. Der Flächeninhalt dieses Quadrates ist gleich dem Vierfachen des Flächeninhaltes des gleichschenkligen Dreiecks (schwarz) mit der Basis $a$, der Höhe $h$ und dem Winkel $\alpha$. Dies erkennt man daran, dass das Dreieck vier Mal in das Quadrat hineinpasst.
Es gilt also $A_\square=4\cdot A_\Delta$.
Wir berechnen nun den Flächeninhalt des Dreiecks. Allgemein ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gegeben als die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.
Somit ist $A_\Delta=\frac{a\cdot h}2$.
Die Höhe kann mit Hilfe des Winkels $\alpha$ und der Seite $\frac a2$ berechnet werden. Verwende hierfür die Definition des Tangens:
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}$.
Damit ist $\tan(\alpha)=\frac{\frac a2}{h}$.
Dies kann äquivalent nach $h$ umgeformt werden:
$h=\frac{a}{2\tan(\alpha)}$.
Nun kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:
$\begin{array}{rclll} A_\Delta&=&\frac{a\cdot \frac{a}{2\tan(\alpha)}}{2}\\\\ &=&\frac{a^2}{4\tan(\alpha)} \end{array}$
Dies setzen wir nun in die Gleichung für Quadrate ein:
$A_\square=4\cdot A_\Delta=4\cdot\frac{a^2}{4\tan(\alpha)}=\frac{a^2}{\tan(\alpha)}$.
Der Vollwinkel beträgt $360^\circ$. Da $\alpha$ ein Achtel dieses Winkels ist, gilt $\alpha = \frac{360^\circ}{8}=45^\circ$
Da auch noch $\tan(45) = 1$ gilt, ergibt sich insgesamt die bereits bekannte Formel für den Flächeninhalt von Quadraten:
$A_\square=a^2$.
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Gib die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines regelmäßigen $n$-Ecks an.
TippsJedes Dreieck hat als Grundseite die Seitenlänge des $n$-Ecks, also $a$.
Der Vollwinkel beträgt $360^\circ$.
Der eingezeichnete Winkel ist die Hälfte des von den beiden gleich langen Schenkeln eingeschlossenen Winkels.
LösungHier siehst du ein regelmäßiges Sechseck. Ebenso kannst du ein beliebiges regelmäßiges $n$-Eck darstellen.
Es ist $A_n=n\cdot A_\Delta$.
Jedes dieser Dreiecke hat als Grundseite die Seitenlänge des n-Ecks, also $a$. Das bedeutet insbesondere, dass das $n$-Eck sich aus $n$ solcher Dreiecke zusammensetzt.
Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
$A_\Delta=\frac{a^2}{4\tan(\alpha)}$
Dabei ist $\alpha=\frac{360^\circ}{2n}=\frac{180^\circ}n$.
Zusammen ergibt sich dann die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen $n$-Ecks:
$A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$
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Ordne jedem der gegebenen regelmäßigen $n$-Ecke die Flächeninhaltsformel zu.
TippsVerwende diese Formel:
$A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$
Schaue dir als Beispiel den Fall mit $n=8$ an.
$A_8=\frac{8\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}8\right)}=\frac{2\cdot a^2}{\tan(22,5^\circ)}$.
Da $\tan(22,5^\circ)\approx 0,414$ ist, führt dies zu $A_8\approx 4,8a^2$.
Es ist $\frac3{\sqrt 3}=\sqrt 3$.
LösungDie Flächeninhaltsformel für regelmäßige $n$-Ecke lautet:
$A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$
- $n=3$ führt zu $A_3=\frac{3\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}3\right)}=\frac{3\cdot a^2}{4\tan(60^\circ)}=\frac{3\cdot a^2}{4\cdot \sqrt3 }=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$.
- $n=4$ führt zu $A_4=\frac{4\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}4\right)}=\frac{a^2}{\tan(45^\circ)}=a^2$.
- $n=5$ führt zu $A_5=\frac{5\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}5\right)}=\frac{5\cdot a^2}{4\tan(36^\circ)}$. Es ist $\tan(36^\circ)\approx0,727$ und damit $A_5\approx1,72 a^2$.
- $n=6$ führt zu $A_6=\frac{6\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}6\right)}=\frac{3\cdot a^2}{2\tan(60^\circ)}=\frac{3\cdot a^2}{2\cdot \frac1{\sqrt3}}=\frac32\sqrt 3~a^2$.
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Berechne den Flächeninhalt der regelmäßigen $n$-Ecke.
TippsVerwende die Formel für den Flächeninhalt von $n$-Ecken:
$A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$
Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf DEG eingestellt ist.
LösungDie allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines regelmäßigen $n$-Ecks lautet:
$A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$
Das bedeutet, dass du bei den angegebenen $n$-Ecken jeweils den konkreten Wert für $n$ und für $a$ einsetzt.
Das regelmäßige Dreieck (bzw. das gleichseitige Dreieck)
$A_3=\frac{3\cdot (15~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}3\right)}\approx97,4~cm^2$
Das regelmäßige Fünfeck
$A_5=\frac{5\cdot (12~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}5\right)}\approx247,7~cm^2$
Das regelmäßige Sechseck
$A_6=\frac{6\cdot (10~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}6\right)}\approx259,8~cm^2$
Das regelmäßige Achteck
$A_8=\frac{8\cdot (6~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}8\right)}\approx173,8~cm^2$
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Beschreibe, was ein Quadrat ist.
TippsEin regelmäßiges Vieleck oder auch $n$-Eck ist ein Vieleck, das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist.
Das bedeutet, dass alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind.
Hier siehst du ein regelmäßiges Sechseck.
LösungEin Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck. Es kann von einem Kreis umschrieben werden.
Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich aus dem Flächeninhalt vier gleichschenkliger Dreiecke zusammen.
Der Flächeninhalt berechnet sich nach der Flächenformel des Dreiecks:
$A_\Delta=\frac{a\cdot h}2$.
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Leite mit dem Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks die Seitenlänge eines flächengleichen regelmäßigen Dreiecks her.
TippsDie Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks lautet wie folgt:
$A_6=\frac32\sqrt 3~a^2$
Die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Dreiecks lautet wie folgt:
$A_3=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$
Du kannst die Flächeninhaltsformel für ein regelmäßiges Dreieck nach $a$ umformen.
Hier siehst du die Umformung:
$\begin{array}{rclll} A_3&=&\frac{\sqrt 3}{4}~a^2&|&\cdot \frac4{\sqrt3}\\\\ \frac{4A_3}{\sqrt3}&=&a^2&|&\sqrt{~~~}\\\\ \sqrt{\frac{4A_3}{\sqrt3}}&=&a \end{array}$
LösungZunächst berechnen wir den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $a=4~cm$:
$A_6=\frac{6\cdot 4^2}{4\tan\left(\frac{180}6\right)}=\frac{24}{\tan(30)}=24\cdot \sqrt 3\approx41,6~cm^2$
Schauen wir uns nun die Flächeninhaltsformel für ein regelmäßiges Dreieck an:
$A_3=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$
Wir stellen diese nach $a$ um:
$\begin{array}{rclll} A_3&=&\frac{\sqrt 3}{4}~a^2&|&\cdot \frac4{\sqrt3}\\\\ \frac{4A_3}{\sqrt3}&=&a^2&|&\sqrt{~~~}\\\\ \sqrt{\frac{4A_3}{\sqrt3}}&=&a \end{array}$
Nun setzen wir $A_6=24\cdot \sqrt 3$ ein:
$a=\sqrt{\frac{4\cdot 24\cdot \sqrt 3}{\sqrt3}}=\sqrt{4\cdot 24}=4\cdot \sqrt 6\approx 9,8~cm$
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2 Kommentare
@Mrhennig156: Hallo Mrhennig156,
tan(30º) brauchst du bei einem Sechseck, denn dort ist die Anzahl der Ecken n = 6 und die Formel lautet tan(180º/n) = tan(180º/6) = tan(30º). Wende dich bei weiteren Fragen dazu gern an den Hausaufgabenchat!
Liebe Grüße aus der Redaktion
Können Sie bitte erklären, weshalb tan(30) Wurzel gezogen wird? Ab da verstehe ich den Rechenweg nicht; müsste näher erläutert werden!