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Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck 04:20 min

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Transkript Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Das Mathehorn in den Walliser Alpen. Großartiges Panorama, bester Schnee und spannende Abfahrten für Ski-Anfänger und Fortgeschrittene. Skipistenqueen Elly plant deshalb den Bau eines neuen Sessellifts direkt auf den Gipfel des Mathehorns. Um die Entfernungen korrekt auszurechnen, muss sie trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchführen. Dazu benötigt sie Kenntnisse über die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck. Die werden immer in Bezug auf einen gegebenen Winkel angegeben. Die Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt, heißt Gegenkathete. Die Kathete, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete. Die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse. Der Sinus des Winkels ist dann das Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse, der Cosinus das Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse und der Tangens das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete. Zunächst möchte Elly die Höhe des Mathehorns ermitteln. Sie misst mit einem Nivelliergerät den Winkel zwischen der Horizontlinie und dem Gipfel. Sie misst 19 Grad. Außerdem weiß sie, dass sie sich 9,5 Kilometer vom Berg entfernt befindet. Gegeben ist ihr dieser Winkel und diese Seite des Dreiecks. Die Höhe des Berges ist gesucht und entspricht dieser Seite des Dreiecks. Gegeben ist also die Ankathete, gesucht die Gegenkathete. Also verwendet Elly den Tangens, denn der beschreibt das Verhältnis dieser beiden Seiten. Zunächst stellt Elly die Formel nach der gesuchten Größe um. Weil der Winkel in Grad angegeben ist, muss sie im Taschenrechner den Degree-Modus nutzen. Der Tangens von 19 Grad beträgt etwa 0,344. Das ergibt also 3,268 Kilometer oder 3268 Meter. So hoch ist das Mathehorn also. Für den Sessellift sollen Stahlseile bis zum Gipfel verlegt werden. Aber wie lang sollen die sein? Sie sollen entlang der Hypotenuse des Dreiecks verlaufen. Weil wir die Längen von Ankathete und Gegenkathete kennen, kann sich Elly aussuchen, ob sie den Sinus... oder den Cosinus verwenden möchte. Sie entscheidet sich für den Cosinus und stellt die Formel nach der gesuchten Größe um. Der Cosinus von 19 Grad beträgt etwa 0,946. Das ergibt also 10,042 Kilometer oder 10042 Meter. Und während Elly ihre Planungen abschließt, fassen wir zusammen. Mit Hilfe von Sinus, Cosinus und Tangens kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck unbekannte Seitenlängen ausrechnen. Dabei ist der Sinus das Verhältnis aus der Gegenkathete eines bestimmten Winkels und der Hypotenuse. Der Cosinus ist das Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse. Der Tangens ist schließlich das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete. Hast du also einen konkreten Winkel und eine Seitenlänge gegeben, kannst du die anderen Seitenlängen ausrechnen. Dazu stellst du die passenden Formeln um und rechnest alles aus. Achte beim Berechnen von Sinus, Cosinus und Tangens darauf, dass sich dein Taschenrechner im Degree-Modus befindet, wenn die Winkel in Grad angegeben sind. Aber Achtung! Diese Rechnungen kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken durchführen! Ah, der Sessellift ist fertig! Eine echte Erleichterung für die Gämsen.