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Winkelmaß und Bogenmaß

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Inhaltsverzeichnis zum Thema

Winkel im Winkelmaß

Als du Winkel kennengelernt hast, wurden sie immer im Winkelmaß, auch als Gradmaß bezeichnet, angegeben. Dieses Maß erkennst du an dem Grad-Zeichen, einem kleinen hochgestellten Kreis, zum Beispiel α=80°\alpha=80^°, also 8080 Grad. Erinnere dich: Ein Vollwinkel, also eine gesamte Umdrehung (wie ein Kreis), hat eine Größe von 360°360^°.

Wenn du mit trigonometrischen Funktionen sin\sin, cos\cos oder tan\tan und Angaben im Gradmaß rechnest, muss der Taschenrechner auf Degree, also Gradmaß, eingestellt sein. Dies erkennst du häufig an dem kleinen D oder DEG auf dem Display deines Taschenrechners.

Winkel im Bogenmaß

3112_Winkel_Bogen.jpg

Dieser Kreis, ein Einheitskreis, hat den Radius r=1r=1 und somit den Umfang U=2πU=2\pi. Zu dem eingezeichneten Winkel α\alpha gehört der blau gezeichnete Abschnitt des Umfangs des Kreises. Dieser wird als Kreisbogen oder kurz als Bogen bezeichnet. Die Maßeinheit eines Kreisbogens ist Unterschied zum Gradmaß eine Längeneinheit. Im Bezug auf den Winkel α\alpha wird diese Maßeinheit als Bogenmaß bezeichnet.

Wenn du mit trigonometrischen Funktionen Kurvendiskussionen durchführst, wird das Bogenmaß verwendet. Dafür muss der Taschenrechner auf Radiant, also Bogenmaß, eingestellt sein. Dies erkennst du an dem kleinen R oder RAD auf dem Display deines Taschenrechners.

Umrechnungen

Am Einheitskreis oben kannst du erkennen: Der Vollwinkel 360°360^° entspricht genau dem Kreisumfang 2π2\pi. Und der Winkel α\alpha entspricht genau dem Bogen bb.

Dies kannst du als Gleichung aufschreiben:

   2π360°=bα\quad~~~\frac{2\pi}{360^°}=\frac{b}{\alpha}.

Mit Hilfe dieser Gleichung kannst du nun von Grad- in Bogenmaß und anders herum umrechnen.

Vom Bogenmaß in das Winkelmaß

Wie kannst du die Länge des Kreisbogens bb in den zugehörigen Winkel α\alpha umrechnen?

  • Nimm die Gleichung von eben als Grundlage:

   2π360°=bα\quad~~~\frac{2\pi}{360^°}=\frac{b}{\alpha}

  • Bilde auf beiden Seiten der obigen Gleichung den Kehrwert:

   360°2π=αb\quad~~~\frac{360^°}{2\pi}=\frac{\alpha}{b}

  • Multipliziere dann mit bb:

   α=360°b2π\quad~~~\alpha=\frac{360^°\cdot b}{2\pi}

Üblicherweise ist das Bogenmaß als Vielfaches von π\pi gegeben.

  • Wenn b=πb=\pi, dann ist

   α=360°π2π=360°2=180°\quad~~~\alpha=\frac{360^°\cdot \pi}{2\pi}=\frac{360^°}{2}=180^°

  • Wenn b=0,5πb=0,5\pi, dann ist

   α=360°0,5π2π=360°4=90°\quad~~~\alpha=\frac{360^°\cdot 0,5\pi}{2\pi}=\frac{360^°}{4}=90^°

Vom Winkelmaß in das Bogenmaß

Wie kannst du den Winkel α\alpha in die zugehörige Länge des Kreisbogens bb umrechnen?

  • Auch hier verwende die Gleichung:

   2π360°=bα\quad~~~\frac{2\pi}{360^°}=\frac{b}{\alpha}

  • Multipliziere beide Seiten mit α\alpha:

   b=2πα360°\quad~~~b=\frac{2\pi\cdot \alpha}{360^°}

Erinnere dich: α\alpha ist immer im Gradmaß angegeben.

  • Wenn α=45°\alpha=45^°, dann ist

   b=2π45°360°=14π\quad~~~b=\frac{2\pi\cdot 45^°}{360^°}=\frac14\pi.

  • Wenn α=180°\alpha=180^°, dann ist

   b=2π180°360°=π\quad~~~b=\frac{2\pi\cdot 180^°}{360^°}=\pi.

Verwendung des Bogenmaßes

Das Bogenmaß verwendest du ausschließlich im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen, zum Beispiel der Sinusfunktion f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x). Dabei ist die Variable xx im Bogenmaß gegeben. Die trigonometrischen Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert.

12118_Sinusfunktionf(x)_sin(x)_(1).png

Die Sinusfunktion ist 2π2\pi periodisch. Das bedeutet, dass der Verlauf des Graphen sich jeweils nach einem Intervall der Länge 2π2\pi wiederholt.

  • Ein Winkel kann auch größer als 2π2\pi sein: Da 2π2\pi dem Vollkreis 360°360^° entspricht, muss jedes Bogenmaß, welches größer ist als 2π2\pi einem Winkel größer als 360°360^° entsprechen. Dies entspricht dem mehrmaligen Durchlaufen des Kreises. Die Sinuswerte wiederholen sich: Zum Beispiel ist sin(0,5π)=sin(2,5π)=1\sin(0,5\pi)=\sin(2,5\pi)=1.
  • Ebenso kann ein Winkel negativ sein: Winkel werden üblicherweise entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen. Wenn du die Richtung änderst erhältst du negative Winkel. Auch hier kannst du die 2π2\pi-Periodizität verwenden: sin(0,5π)=sin(1,5π)=1\sin(0,5\pi)=\sin(-1,5\pi)=1.

Mit Hilfe des Bogenmaßes kann die Periodizität der Sinusfunktion so dargestellt werden:

   sin(x)=sin(x+2kπ)\quad~~~\sin(x)=\sin(x+2k\pi), wobei kZk\in \mathbb{Z}.

Ebenso können die Nullstellen dargestellt werden:

   sin(x)=0  x=2kπ\quad~~~\sin(x)=0~\Leftrightarrow~x=2k\pi, wobei kZk\in \mathbb{Z}.

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