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Was ist ein Winkel? 05:12 min

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Transkript Was ist ein Winkel?

Sonnenaufgang am Ameisenhügel. Die Ameisenkönigin Ameisabeth die Zweite hält ihr morgendliches Briefing ab. Ihre Kundschafter haben einige ausgesprochen interessante Dinge gefunden, die sich sehr gut in der königlichen Schatzkammer machen würden. Um die Lage dieser Dinge zu beschreiben, müssen die Berater wissen, was ein Winkel ist und wie man ihn angibt. Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels, der Punkt Winkelscheitel oder einfach nur Scheitel. Auch zwei Geraden oder zwei Strecken können Winkel einschließen. Winkel werden üblicherweise mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Alpha, Beta, Gamma und Delta zum Beispiel. Ein Winkel kann dabei ganz verschieden gedeutet werden: Er beschreibt die Öffnung der beiden Schenkel zueinander. Er kennzeichnet den Unterschied der Richtungen beider Schenkel. Oder: Er gibt die Länge eines Kreisbogens wieder, wobei der Mittelpunkt des zugehörigen Kreises der Winkelscheitel ist. Diese Ameise blickt in eine bestimmte Richtung. Dreht sie sich ein Stück, dann blickt sie in eine andere Richtung. Während sie sich gedreht hat, hat ihr Blick diese Fläche überstrichen. Diese Fläche entspricht dabei dem Winkel zwischen den beiden Blickrichtungen. Der Winkel gibt aber auch die Veränderung der Blickrichtung selbst an. Der Kopf der Ameise hat bei der Drehung einen Kreisbogen beschrieben. Die Länge dieses Kreisbogens wird ebenfalls durch den Winkel beschrieben. Viele Größen haben Einheiten. Die Einheit der Länge ist bspw. Meter. Die Einheit der Masse Kilogramm. Beim Winkel heißt die Einheit Grad und wird mit einem kleinen, hochgestellten Kreis angegeben. Dreht sich die Ameise einmal im Kreis, hat ihr Blick einmal die ganze Fläche überstrichen. Die Blickrichtung ist wieder in der Ausgangsposition angekommen. Der Kopf der Ameise hat einen vollständigen Kreis beschrieben. Der zugehörige Winkel heißt Vollwinkel und hat eine Größe von 360 Grad. Ein Grad ist also der 360ste Teil dieses Vollwinkels. Ein Grad ist also gerademal so groß. Die Einteilung in 360 Grad geht auf die alten Babylonier zurück, die ein 12er- und 60er-Zahlensystem verwendet haben. Es wird, wie die Einteilung des Tages in 12 Stunden und die Einteilung der Stunde in 60 Minuten, aus Gewohnheit immer noch verwendet. Wie läuft es denn im königlichen Briefing? Der erste Kundschafter sagt, er habe einen wertvollen Schatz gefunden. Der Winkel zwischen der Richtung, wo die Sonne gerade aufgeht, und der Richtung, in der der wertvolle Schatz liegt, ist so groß. Er entspricht einem Viertelkreis. Ein Viertel von 360 Grad ist 90 Grad. Daher hat dieser Winkel eine Größe von 90 Grad. Ein 90 Grad großer Winkel heißt auch rechter Winkel und wird mit einem Punkt im Winkelbogen bezeichnet. Der nächste Kundschafter hat einen einzigartigen Schatz gefunden. Der Winkel zwischen Sonnenrichtung und der Richtung, in der der einzigartige Schatz liegt, ist so groß. Er entspricht einem Halbkreis. Die Hälfte von 360 Grad ist 180 Grad. Daher hat dieser Winkel eine Größe von 180 Grad. Der Dritte Kundschafter hat einen mächtig großen Schatz gefunden. Der Winkel zwischen Sonnenrichtung und der Richtung, in der der mächtig große Schatz liegt, ist so groß. Er entspricht einem Dreiviertelkreis. Drei Viertel von 360 Grad sind 270 Grad. Dieser Winkel hat also eine Größe von 270 Grad. Nach reiflicher Überlegung beschließt Königin Ameisabeth die Zweite, dass sie den mächtig großen Schatz haben möchte. Und während die Ameisen ausschwärmen, um den Schatz zu holen, fassen wir das Ganze noch einmal zusammen: Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel, der Punkt Winkelscheitel. Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet, also bspw. mit Alpha, Beta, Gamma und Delta. Die Einheit heißt Grad. Ein Grad entspricht dem 360sten Teil des Vollwinkels. Ein Viertel des Vollwinkels sind 90 Grad. Dieser Winkel heißt auch rechter Winkel und wird mit einem Punkt im Winkelbogen bezeichnet. Die Hälfte sind 180 Grad und Dreiviertel sind 270 Grad. Ah, dieser Schatz ist wirklich, äh mächtig groß!

8 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Jannes M, vor 11 Tagen
  2. Hallo Cheyenne K.,
    du kannst den Punkt Scheitelpunkt, Winkelscheitel oder auch einfach kurz Scheitel nennen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 20 Tagen
  3. bei uns in der schule heißt das nicht winkelpunkt sondern scheitelpunkt.

    Von Cheyenne K., vor 21 Tagen
  4. Hilfreich

    Von Lillian P., vor etwa einem Monat
  5. Sehr schön erklärt und hilfreich

    Von Andreastruever, vor etwa einem Monat
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Was ist ein Winkel? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist ein Winkel? kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Größen der eingezeichneten Winkel.

    Tipps

    Der Vollkreis besitzt einen Winkel von $360^\circ$. Betrachtest du einen Viertelkreis, so viertelt sich auch der zugehörige Winkel.

    Je länger der Kreisbogen ist, der von einem Winkel beschrieben wird, desto größer ist auch der Winkel.

    Lösung

    Wenn wir uns merken, dass der Vollkreis einem Winkel von $360^\circ$ entspricht, dann können wir die restlichen Winkel leicht berechnen: Teilen wir den Kreis in gleiche Teile, dann müssen wir das auch mit dem Winkel tun. Beispielsweise hat ein Viertelkreis auch ein Viertel des Winkels $360^\circ$, also $90^\circ$. Dementsprechend ergeben sich für den Halbkreis $180^\circ$ und für den Dreiviertelkreis $270^\circ$.

  • Beschreibe, was wir unter einem Winkel verstehen.

    Tipps

    Geraden haben keinen Anfangs- und keinen Endpunkt.

    Ist der Kreisbogen, der einen Winkel verkörpert, genau ein Halbkreis, dann ist der Winkel $180^\circ$ groß.

    Lösung

    Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

    „Ein Winkel entsteht immer dann, wenn zwei Halbgeraden am selben Punkt beginnen. Diese nennen wir dann Schenkel und ihr gemeinsamer Anfangspunkt heißt Winkelscheitel. Auch zwei Strecken oder zwei Geraden können Winkel einschließen.“

    • Winkel treten überall auf, wo zwei Geraden/Strecken/Halbgeraden entweder am selben Punkt beginnen oder sich in einem Punkt schneiden.
    „Die Bedeutung eines Winkels kann auf verschiedene Arten beschrieben werden. Beispielsweise beschreibt ein Winkel die Öffnung der beiden Schenkel zueinander oder kennzeichnet den Unterschied der Richtungen beider Schenkel. Außerdem gibt er die Länge eines Kreisbogens zwischen den zwei Schenkeln an, wenn der Mittelpunkt des zugehörigen Kreises der Winkelscheitel ist.“

    • Ein Winkel kann auch als eine Drehung verstanden werden: Stell dir vor, die beiden Schenkel sind die Zeiger einer Uhr, die beide in der Mitte der Uhr befestigt sind. Drehst du den einen Zeiger und hältst den anderen fest, dann entsteht ein Winkel zwischen den beiden Zeigern. Wie groß dieser Winkel ist, hängt davon ab, wie weit du den Zeiger drehst.
    „Winkel werden in der Einheit Grad angegeben, die mit dem Symbol $^\circ$ dargestellt wird. Außerdem werden Winkel meist mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Der Vollwinkel $-$ also eine komplette Umdrehung $-$ entspricht (per Konvention) genau $360^\circ$.“

    • Die Zahl $360$ wurde von den alten Babyloniern übernommen, die bemerkten, dass diese Zahl besonders viele Teiler (nämlich genau $22$ echte Teiler) besitzt.
  • Vergleiche die Größen der gezeigten Winkel.

    Tipps

    Ein Winkel ist größer als ein anderer, wenn du einen größeren Kreisbogen von einem Schenkel zum anderen malen musst.

    Lösung

    Ein Winkel ist größer als ein anderer, wenn der zugehörige Kreisbogen einen größeren Anteil am Vollkreis darstellt. Dementsprechend ist beispielsweise ein $180^\circ$-Winkel (Halbkreis) größer als ein $90^\circ$-Winkel (Viertelkreis), da eine Hälfte ein größerer Anteil am Vollkreis ist als ein Viertel.

    Deshalb müssen wir die genauen Gradzahlen auch nicht kennen, um die Winkel der Größe nach zu sortieren. (Zumindest nicht, solange wir mit bloßem Auge erkennen können, welcher Winkel größer ist). Es ergibt sich die hier abgebildete Reihenfolge.

  • Ordne den Beschreibungen die richtigen Winkel zu.

    Tipps

    Der Begriff Vollwinkel bezeichnet einen Winkel mit $360^\circ$.

    Möchtest du den Winkel angeben, der einem bestimmten Anteil des Vollwinkels entspricht, musst du den Anteil der Gradzahl des Vollwinkels bestimmen.

    Lösung

    Betrachten wir zunächst die drei Bilder. Zwei von ihnen sind auch hier abgebildet. Die Ausrichtung der Schenkel sieht bei beiden sehr ähnlich aus. Im einen Fall müssen wir aber nur einen Viertelkreisbogen entlanglaufen, im anderen einen Dreiviertelkreisbogen. Folglich

    • entspricht der erste Winkel (Viertelkreisbogen mit Punkt) $90^\circ$ (dieser Winkel wird rechter Winkel genannt und durch einen Punkt gekennzeichnet),
    • der zweite Winkel (Dreiviertelkreisbogen) sind dagegen $270^\circ$.
    Beim dritten Bild ist der Winkel etwas größer als $90^\circ$, aber kleiner als $180^\circ$, beim Halbkreisbogen. Folglich haben wir hier einen Winkel von $135^\circ$.

    Sehen wir uns nun noch die Beschreibungen an:

    • Wenn du dich einmal im Kreis drehst, dann kannst du dir vorstellen, dass du dabei jemandem zusiehst, der im Kreis um dich herumläuft. Diese Person ist also genau dann einen kompletten Kreis abgelaufen, wenn du dich einmal um dich selbst gedreht hast. Deshalb entspricht eine komplette Umdrehung $360^\circ$.
    • Der Begriff Vollwinkel bezeichnet einen Winkel mit $360^\circ$. Ein Winkel, der ein Zwölftel des Vollkreises abdeckt, hat auch ein Zwölftel der Gradzahl des Vollkreises, also des Vollwinkels. Einem Zwölftel eines Vollwinkels entsprechen also $360^\circ:12=30^\circ$.
  • Bestimme, welche Aussagen über Winkel wahr sind.

    Tipps

    Ein rechter Winkel entspricht genau einem viertel Kreisbogen.

    Drehst du dich einmal um dich selbst, dann hast du dich um $360^\circ$ gedreht.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    • „Die Öffnung zwischen zwei Halbgeraden, die im selben Punkt beginnen, wird durch einen Winkel beschrieben.“
    • „Ein Winkel beschreibt den Unterschied zwischen den Richtungen zweier Halbgeraden/Geraden/Strecken.“
    • „Der Winkel $90^\circ$ wird auch als „rechter Winkel“ bezeichnet.“
    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • „Ein Vollkreis wird durch einen Winkel von $500^\circ$ beschrieben.“ Ein Vollkreis entspricht genau $360^\circ$ oder vier rechten Winkeln.
    • „Drehst du dich um einen Winkel von $180^\circ$, dann schaust du wieder in dieselbe Richtung wie zuvor.“ Da $360^\circ$ einem Vollkreis entsprechen und $180$ die Hälfte von $360$ ist, entsprechen $180^\circ$ einem Halbkreis. Das bedeutet, dass du nach einer Drehung um $180^\circ$ genau in die entgegengesetzte Richtung schaust wie zuvor.
  • Berechne die fehlenden Winkel in Dreiecken.

    Tipps

    Ein rechter Winkel ist genau $90^\circ$ groß.

    Lösung

    In einem Dreieck mit den drei Winkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ gilt immer $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Wenn wir alle Winkel addieren, müssen wir also $180^\circ$ erhalten.

    Erstes Dreieck:

    Hier ist $\alpha=15^\circ$ und $\beta=45^\circ$. Daraus folgt:

    $15^\circ+45^\circ+\gamma=180^\circ$

    Wir fassen die beiden bekannten Winkel zusammen und erhalten:

    $60^\circ+\gamma=180^\circ$

    Um insgesamt $180^\circ$ zu erhalten, fehlen uns also noch $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Damit beträgt der Winkel $\gamma$ genau $120^\circ$.

    Zweites Dreieck:

    Hier ist auf den ersten Blick nur $\gamma=30^\circ$ gegeben, was uns zur Berechnung des Winkels $\alpha$ nicht ausreicht. Allerdings ist in den letzten Winkel ein Punkt eingezeichnet, was uns verrät, dass dieser Winkel ein rechter Winkel, also $90^\circ$ groß ist. Damit können wir $\alpha$ nach demselben Schema berechnen, nach dem wir beim ersten Dreieck $\gamma$ berechnet haben, und erhalten:

    $30^\circ+90^\circ+\alpha=180^\circ \quad \Longrightarrow \quad \alpha=60^\circ$

    Drittes Dreieck:

    Bei diesem Dreieck ist kein einziger Winkel vorgegeben. Deshalb könnte man zuerst denken, dass wir hier gar nichts ausrechnen können. Wenn wir genauer hinsehen, merken wir allerdings, dass dieses Dreieck dreimal den gleichen Winkel $\alpha$ besitzt. Damit können wir dann doch etwas anfangen:

    $\begin{array}{rl} \alpha+\alpha+\alpha&=180^\circ \\ 3\alpha&=180^\circ \end{array}$

    Wir überlegen uns hier also, welche Zahl mit drei multipliziert $180^\circ$ ergibt. Anders können wir aber auch $180^\circ$ durch $3$ teilen, um diese Zahl, also den Winkel $\alpha$, zu erhalten:

    $\alpha=180^\circ:3=60^\circ$