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Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel

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Team Digital

Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel

lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel

Winkelpaare

Zwei Geraden können unterschiedliche Lagebeziehungen zueinander haben. Sie sind entweder parallel zueinander, identisch oder sie schneiden sich in genau einem Punkt. Im Fall, dass sie sich schneiden, so schließen die beiden Geraden am Schnittpunkt insgesamt vier Winkel ein. Anhand dieser vier Winkel lassen sich unterschiedliche Winkelarten festellen.

  • Schnitt zweier Geraden
    Schneiden sich zwei Geraden, dann kann man daran zwei unterschiedliche Winkelarten finden: Scheitelwinkel und Nebenwinkel

  • Schnitt von zwei Parallelen durch eine Gerade
    Werden zwei parallele Geraden von einer weiteren Gerade geschnitten, lassen sich neben Scheitel- und Nebenwinkeln noch zwei weitere Winkeltypen finden: Hier gibt zusätzlich noch Wechselwinkel und Stufenwinkel.

Scheitelwinkel Wechselwinkel Stufenwinkel Nebenwinkel

Das obige Bild zeigt zwei parallele Geraden $g$ und $h$, die von einer weiteren Geraden $i$ geschnitten werden.

  • Was ist ein Nebenwinkel?
    Alle Winkel, die auf einer Geraden liegen, sind Nebenwinkel. Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen immer $180^\circ$. Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind beispielsweise Nebenwinkel.
  • Was ist ein Scheitelwinkel?
    Schneiden sie zwei Geraden, dann liegen sich entsprechende Scheitelwinkel immer gegenüber. Sie sind stets gleich groß. $\alpha$ und $\gamma$ sind Scheitelwinkel, da sie sich direkt am Schnittpunkt gegenüberliegen.
  • Was ist ein Stufenwinkel?
    Beim Schnitt zweier Parallelen durch eine Gerade sind auch Winkel parallel verschoben. Stufenwinkel sind immer gleich groß, da sie die parallele Verschiebung eines anderen Winkels sind. $\alpha$ und $\alpha’$ sind Stufenwinkel, genauso wie beispielsweise $\gamma$ und $\gamma’$. Im Bild gibt es zu jedem Winkel einen entsprechenden Stufenwinkel.
  • Was ist ein Wechselwinkel?
    Diese Winkelarten entstehen ebenfalls beim Schnitt zweier paralleler Geraden durch eine weitere Gerade. Wechselwinkel sind stets gleich groß. Man kann sagen, dass ein entsprechender Wechselwinkel der Scheitelwinkel des dazugehörigen Stufenwinkels ist. Winkel $\alpha’$ und $\gamma$ sind Wechselwinkel und sind gleich groß. Das ist bekannt, da $\alpha$ der Stufenwinkel zu $\alpha’$ ist. Gleichzeitig sind $\alpha$ und $\gamma$ Scheitelwinkel und deshalb gleich groß. Somit sind $\alpha’$ und $\gamma$ ebenfalls gleich groß.

Scheitelwinkel – Nebenwinkel – Stufenwinkel – Wechselwinkel: Aufgaben und Beispiel

Winkelpaare ermitteln Mit dem Wissen über alle Winkelarten, lassen sich die Winkelgrößen auch von unbekannten Winkeln bestimmen:

  • Gegeben sind die $\alpha=60^\circ$ und $\beta’=120^\circ$. Die übrigen Winkel können folgendermaßen bestimmt werden:
  • $\alpha$ und $\gamma$ sind Scheitelwinkel: Somit gilt, dass $\gamma=60^\circ$ ist.
  • $\beta’$ und $\beta$ sind Stufenwinkel und sind deshalb ebenfalls gleich groß. Also ist $\beta=120^\circ$.
  • $\delta$ und $\beta’$ sind Wechselwinkel. Das ist bekannt, da $\delta$ und $\beta$ Scheitelwinkel sind und wiederum $\beta$ und $\beta’$ Stufenwinkel sind. Insofern gilt auch, dass $\delta=120^\circ$ groß ist.
  • $\beta’$ und $\alpha’$ beziehungsweise $\beta’$ und $\gamma’$ sind Nebenwinkel und ergänzen sich stets zu $180^\circ$. Deshalb sind sie beide $60^\circ$ groß.
  • Dementsprechend ist $\delta$ ebenfalls $120^\circ$ groß.

Winkelarten im Alltag

Es gibt einige Berufe, bei denen das Wissen über die verschiedenen Winkelarten von Vorteil ist. Beispiele hierfür sind Städteplaner, Architekten sowie sämtliche handwerkliche Berufe. Tischler können ihre benötigten Materialien für sämtliche Möbelstücke berechnen, ohne jeden einzelnen Winkel zwischen den Brettern abzumessen. Ein Fliesenleger kann vor dem Zuschneiden der Fliesen die Winkel von schwer zugänglichen Ecken berechnen, indem er eine Parallele zu einer der Wände konstruiert und daran die Winkel abmisst. Die Architekten kennen alle Winkel eines Hauses, da die Stockwerke in einem Haus im Normalfall alle parallel zueinander sind. Kreuzt eine Wand die Stockwerke in einem bestimmten Winkel, so reicht es aus, einen Schnittwinkel zu berechnen, um alle anderen Winkelgrößen ebenfalls zu erhalten.
Winkelpaare entstehen nämlich nicht nur beim Schnitt von zwei parallelen Geraden durch eine weitere Gerade. Sie lassen sich an den Schnittpunkten von beliebig vielen parallelen Geraden finden.

Transkript Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel

Während ihrer nächtlichen Futtersuche sind die drei Waschbären mit ihrem Einkaufswagen umgekippt schon wieder. Zurück zum Zeichenstumpf! Sie entscheiden sich dazu, besser am Tag zu üben wie sie um die scharfen Kurven in engen Winkel fahren können bevor sie wieder auf den nächtlichen Beutegang können. Um diesen totsicheren Plan in die Tat umzusetzen, müssen sie sich mit Winkelpaaren auskennen. Schauen wir uns mal ihren Stadtplan etwas genauer an. Alle horizontalen Straßen sind parallel zueinander. Sie schneiden sich also nie. Aber es gibt einige Straßen, die diese Parallelen scheiden. Die Waschbären sind hier an Winkel 1 umgekippt. Winkel 1 misst 60 Grad. Kannst du noch andere Winkel sehen, die genauso groß sind? Tatsächlich sind es einige; einer davon ist Winkel 3. Dies ist so, weil Winkel 1 und Winkel 3 Scheitelwinkel sind und diese immer gleich groß sind. Haben wir genug Informationen, um die Größe von Winkel 2 herauszufinden? Da Winkel 1 und 2 auf einer Geraden liegen, muss ihre Summe 180 Grad ergeben. Das heißt, dass die Größe von Winkel 2 120 Grad beträgt. Dieses Paar von Winkeln sind Nebenwinkel. Und da Winkel 2 und Winkel 4 Scheitelwinkel sind, muss Winkel 4 also auch 120 Grad betragen. Nun kennen wir die Größe aller Winkel an dieser Kreuzung, aber können wir dadurch auch die Größen der Winkel an anderen Kreuzungen bestimmen? Schauen wir uns mal Winkel 5 an. Verschieben wir Winkel 1 entlang der Schnittgeraden und schauen einmal was passiert. Es sieht so aus als wären Winkel 1 und Winkel 5 gleich. Und das sind sie auch! Winkel 5 beträgt ebenfalls 60 Grad. Winkel 1 und Winkel 5 sind ein Beispiel für Stufenwinkel. Stufenwinkel sind Winkelpaare, die sich in der gleichen Lage ihrer jeweiligen Kreuzung befinden. Und jedes Mal, wenn zwei Parallelen von einer anderen Geraden geschnitten werden, sind die Stufenwinkel gleich groß. Das heißt, dass du nur die Größe einer dieser Winkel benötigst, um dann automatisch die Größe des anderen Winkels zu wissen. Kannst du noch andere übereinstimmende Winkel sehen? Genau, Winkel 2 und 6 stimmen ebenfalls überein und ebenso Winkel 3 und Winkel 7 und Winkel 4 und 8. Das heißt, dass Winkel 2 und Winkel 6 gleich sind und Winkel 3 und Winkel 7 und Winkel 4 und Winkel 8. Wir wissen bereits, dass Winkel 4 und Winkel 6 120 Grad betragen, aber ist dies immer der Fall? Es ist! Wir können dies auch anschaulich zeigen. Wir können unser Wissen über Scheitelwinkel und Stufenwinkel benutzen, um dies zu beweisen. Winkel 4 muss also genauso groß wie Winkel 2 sein, weil sie Scheitelwinkel sind. Und Winkel 6 muss auch genauso groß wie Winkel 2 sein, da sie Stufenwinkel sind. Daher müssen Winkel 6 und Winkel 4 auch gleich groß sein. Wir nennen diese Art von Winkelpaaren Wechselwinkel. Kannst du noch weitere Wechselwinkel sehen? 3 und 5 sind außerdem Wechselwinkel. Es gibt aber auch noch eine andere Art von Wechselwinkeln. Diese liegen aber beide an der äußeren Seite der Kreuzung. Wie zum Beispiel Winkel 1 und 7 und auch Winkel 2 und 8. Beachte, dass Winkel 1 und Winkel 7 gleich sind und das gleiche gilt für Winkel 2 und 8. Wenn zwei Parallelen von einer dritten Geraden geschnitten werden, sind Wechselwinkel immer gleich groß. Tatsächlich gibt es viele gleich große Winkel in diesem Fall. Schau dir mal an, was mit diesen Kreuzungen passiert. Wir können unser Wissen sogar dazu verwenden, um alle Größen dieser Winkel herauszufinden. Die Waschbären müssen jetzt also nur noch das Fahren um eine der Ecken üben, um jede Kreuzung zu meistern. Und für jede Kreuzung müssen sie also auch nur einen Winkel messen, dann können sie ihr Wissen über Nebenwinkel, Stufenwinkel, Scheitelwinkel und Wechselwinkel nutzen, um die Größen der anderen Winkel herauszufinden. Nun ist es an der Zeit ein bisschen das Fahren zu üben bevor es dann zum Shopping geht. Während die Waschbären etwas herumfahren, lass uns einmal zusammenfassen. Wenn Parallelen von einer anderen Geraden geschnitten werden, bilden sich gleich große Winkelpaare. Die Winkel, die gegenüber voneinander liegen heißen Scheitelwinkel und sind immer gleich groß. Die Summe der Winkel, die nebeneinander liegen, ergibt stets 180 Grad. Diese Winkel nennt man Nebenwinkel. Winkel, die an derselben Position des jeweiligen Schnittpunktes liegen sind ebenfalls gleich groß und heißen Stufenwinkel. Als letztes haben wir noch die Wechselwinkel kennengelernt. Hier befinden sich die Winkel, die gleich groß sind, an den gegenüberliegenden Seiten der zwei verschiedenen Schnittpunkte. Hiervon gibt es insgesamt vier Paare. Die Waschbären versuchen nun mal ihr Glück, um die Ecken zu kommen und ihre nächtlichen Snacks beschaffen zu können. Oh man, das war definitiv der falsche Winkel!

12 Kommentare

12 Kommentare
  1. Super Video! Man hat alles sehr gut verstanden

    Von Zerya Orak, vor etwa 2 Monaten
  2. Ich fand’s sehr lehrreich und habe es gut verstanden , weil es auch sehr gut erklärt wurde.

    Von Jana Klann 1, vor etwa 2 Monaten
  3. Ich finde es sehr gut, auch gut ist das ihr gute und wichtige beispiele zeigt!

    Von Lernmaster3003, vor etwa 2 Monaten
  4. Geil
    Danke

    Von Stephanie Reeg, vor 2 Monaten
  5. Total gut

    Von M Oesterbeck, vor 2 Monaten
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Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die verschiedenen Arten von Winkeln an Schnittpunkten von Geraden.

    Tipps

    Zwei Parallelstraßen haben keine gemeinsame Kreuzung.

    Ein Winkel kann Teil mehrerer verschiedener Winkelpaare sein.

    Lösung

    Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

    „Wir betrachten die Schnittpunkte dreier Geraden, von denen zwei parallel sind. Das bedeutet, diese zwei Geraden schneiden sich nie.“

    • Zwei Geraden schneiden sich in aller Regel in genau einem Punkt. Parallele Geraden sind hierbei die einzige Ausnahme, denn sie laufen genau „nebeneinander her“ und schneiden sich niemals.
    „An solch einer Doppelkreuzung können wir verschiedene Paare von Winkeln identifizieren, deren Größen auf verschiedene Arten zusammenhängen. Hier siehst du beispielsweise ein Paar von Scheitelwinkeln. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie gleich groß sind. An jeder Einzelkreuzung gibt es zwei Paare dieser Winkel.“

    • Als Scheitelwinkel bezeichnet man diejenigen Winkel, die einander gegenüberliegen. Du kannst dir folgendermaßen überlegen, dass sie gleich groß sein müssen: Wenn du die komplette Kreuzung einmal um $180^°$ drehst, dann sieht sie wieder genauso aus wie vorher, obwohl jetzt jeder Winkel durch den ihm gegenüberliegenden ersetzt wurde.
    „Als ein Paar von Nebenwinkeln bezeichnet man zwei Winkel, die direkt nebeneinander liegen. Diese ergeben zusammen immer $180^°$. Es gibt vier solcher Paare an jeder Einzelkreuzung.“

    • Die Winkel ergeben zusammen immer einen Halbkreis, da sie unten beide an derselben Geraden abschließen, und ein Halbkreis entspricht $180^°$. Hiervon gibt es vier Paare, da jeder Winkel zwei Nebenwinkel hat. Deshalb bilden z. B. die rechten zwei Winkel ein Paar, die oberen zwei und so weiter.
    „Paare von Stufenwinkeln treten nur an den genannten speziellen Doppelkreuzungen auf. Genauso wie bei Scheitelwinkeln sind auch hier die zwei Winkel immer gleich groß.“

    • Mit speziellen Doppelkreuzungen ist hier gemeint, dass eine Gerade zwei zueinander parallele Geraden schneidet. In einem solchen Fall sind die sogenannten Stufenwinkel gleich groß, da du die obere Kreuzung sozusagen ausschneiden und genau auf die untere legen kannst, oder in anderen Worten: Wenn dir nur eine der beiden Kreuzungen gezeigt wird, kannst du nicht unterscheiden, ob es die obere oder die untere ist, da die beiden Kreuzungen wegen der parallelen Geraden genau gleich aussehen.
    „Zuletzt betrachten wir noch Paare von Wechselwinkeln. Auch sie treten nur an solchen Doppelkreuzungen auf, und auch hier sind die zwei Winkel immer gleich groß. Das kannst du dir auch dadurch erklären, dass einer der Winkel der Scheitelwinkel zum Stufenwinkel des anderen ist.“

    • Hier kannst du die beiden Methoden kombinieren: Du drehst erst die obere Kreuzung um $180^°$ und kannst sie dann genau auf die untere legen, um zu sehen, dass die beiden Wechselwinkel gleich groß sind.
  • Benenne die Winkelpaare, die die Winkel miteinander bilden.

    Tipps

    Es gibt innere und äußere Wechselwinkel.

    Auch wenn ein Winkel ausreicht, um alle anderen zu berechnen, heißt das nicht, dass sich alle anderen Winkel auch in die gegebenen Kategorien einordnen lassen.

    Lösung
    • Die Winkel $2$ und $4$ sind Nebenwinkel des Winkels $1$, da sie direkt neben ihm liegen.
    • Der Winkel $3$ ist der Scheitelwinkel zu $1$, da er ihm an derselben Kreuzung gegenüber liegt.
    • Der Winkel $5$ ist der Stufenwinkel zu $1$, da er an der unteren Kreuzung an der gleichen Position liegt wie $1$ an der oberen.
    • Der Winkel $7$ ist der äußerer Wechselwinkel zu $1$, da er an der unteren Kreuzung an der gleichen Position liegt wie der Scheitelwinkel zu $1$ an der oberen Kreuzung.
  • Berechne die gesuchten Winkel.

    Tipps

    Ein vollständiger Kreis entspricht einem Winkel von $360^°$.

    Auch wenn sich ein Winkel nicht direkt in eine der vier dir bekannten Kategorien einordnen lässt, kannst du ihn über Umwege berechnen.

    Lösung

    Obwohl hier nur ein einziger Winkel der Doppelkreuzung gegeben ist, können wir alle anderen berechnen, da zwei der Geraden wieder parallel sind.

    Winkel $8$ ist hier vorgegeben, seine Größe beträgt $38^\circ$. Wir sehen, dass Winkel $1$ ein Stufenwinkel und Winkel $6$ ein Scheitelwinkel zu Winkel $8$ sind, und diese sind beide gleich groß, also ebenfalls $38^\circ$. Winkel $3$ ist außerdem ein Wechselwinkel zu Winkel $5$, also ist auch er $38^\circ$ groß.

    Die Winkel $5$ und $7$ sind nun Nebenwinkel zu Winkel $8$ bzw. Winkel $6$ und analog dazu sind die Winkel $2$ und $4$ Nebenwinkel zu Winkel $1$ bzw. Winkel $3$. Paare von Nebenwinkeln ergeben zusammen immer $180^\circ$, also sind die Winkel $2$, $4$, $5$ und $7$ jeweils $180^\circ-38^\circ=142^\circ$ groß.

  • Bestimme, welche Winkel gleich sind.

    Tipps

    Ein Paar von Nebenwinkeln ergibt gemeinsam $180^\circ$.

    Wechsel- und Stufenwinkel treten an Doppelkreuzungen mit zwei parallelen Geraden auf.

    Lösung
    • Erstes Bild: Hier siehst du ein Paar von Nebenwinkeln. Diese sind im Allgemeinen nicht gleich groß, sondern ergeben zusammen $180^\circ$. (Sie sind also nur genau dann gleich groß, wenn sie beide rechte Winkel sind; dies ist hier aber nicht der Fall).
    • Zweites Bild: Hier ist ein Paar von Stufenwinkeln an einer Doppelkreuzung mit parallelen Geraden dargestellt. Diese sind also gleich groß.
    • Drittes Bild: Diese zwei Winkel sind äußere Wechselwinkel und somit ebenfalls gleich groß.
    • Viertes Bild: Diese Winkel sehen vielleicht auf den ersten Blick wie innere Wechselwinkel aus, allerdings sind die Geraden der Doppelkreuzung nicht parallel. In einem solchen Fall sind die eingezeichneten Winkel nicht gleich groß und werden auch nicht mehr als Wechselwinkel bezeichnet.
    • Fünftes Bild: Auch hier sind keine der eingezeichneten Geraden parallel, jedoch betrachten wir diesmal nur eine Kreuzung. Die eingezeichneten Scheitelwinkel sind also trotzdem gleich groß.
  • Bestimme, welche Winkel zusammengehören.

    Tipps

    Ein Halbkreis entspricht einem Winkel von $180^\circ$.

    Stufen-, Wechsel- und Scheitelwinkel sind gleich groß.

    Lösung

    Hier siehst du die richtige Zuordnung.

    • Nebenwinkel sind diejenigen Winkel, die direkt neben dem angegebenen Winkel liegen, sich also sozusagen eine Gerade mit ihm teilen.
    • Der Scheitelwinkel ist derjenige Winkel, der dem angegebenen Winkel an derselben Kreuzung gegenüber liegt.
    • Der Wechselwinkel liegt an derselben Position wie der Scheitelwinkel des gegebenen Winkels, nur an der jeweils anderen Kreuzung.
    • Der Stufenwinkel des gegebenen Winkels liegt ebenfalls an der jeweils anderen Kreuzung, aber an der gleichen Position wie der gegebene Winkel.

  • Berechne den Winkel $\alpha$.

    Tipps

    In einem Dreieck beträgt die Winkelsumme immer $180^\circ$.

    Ein Parallelogramm ist dadurch definiert, dass die jeweils gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel sind.

    Lösung

    Hier müssen wir unser Wissen über die verschiedenen Winkelarten mit ein wenig weiterer Geometrie kombinieren, um zur Lösung zu gelangen. Zunächst benötigen wir eine Eigenschaft von Dreiecken: Ihre Winkelsumme beträgt immer $180^\circ$.

    Das linke obere Dreieck ist außerdem gleichschenklig, das heißt, dass seine beiden orangefarbenen Basiswinkel gleich groß sind. Bezeichnen wir sie mit $\beta$, ergibt sich $2\beta + 30^\circ = 180^\circ$ und damit $\beta=75^\circ$. Da der oberste der gelben Winkel der Scheitelwinkel zum linken orangefarbenen Winkel ist, ist auch er $75^\circ$ groß.

    Da sowohl die beiden von links nach rechts verlaufenden Geraden als auch die beiden von links unten nach rechts oben verlaufenden (Halb-)Geraden jeweils zueinander parallel sind, können wir nun eine ganze Menge Rückschlüsse auf die restlichen Winkel ziehen. So sind die beiden verbleibenden gelben Winkel Stufen- bzw. Wechselwinkel zum ersten und damit ebenfalls $75^\circ$ groß, die hellblauen Winkel als Nebenwinkel zu diesen dann $180^\circ-75^\circ=105^\circ$. Damit sind die dunkelblauen Winkel als Stufen- bzw. Wechselwinkel der hellblauen Winkel ebenfalls $105^\circ$ groß und die grünen Winkel, als deren Nebenwinkel, wiederum $75^\circ$. Hier hätten wir uns auch die folgende Regel zu Nutze machen können, die wir nun aber – ganz nebenbei – hergeleitet haben:

    Gegenüberliegende Winkel in einem Parallelogramm sind gleich groß.

    Nun kennen wir den oberen grünen Winkel und damit zwei Winkel des rechten Dreiecks. (Wir hätten diesen Winkel auch direkt als Stufenwinkel des linken orangefarbenen Winkels betrachten können.) Hier nutzen wir wieder den Satz über die Winkelsumme und erhalten so für den violetten Winkel, den wir $\gamma$ nennen, $\gamma = 180^\circ-38^\circ-75^\circ = 67^\circ$. Nun können wir $\alpha$ als dessen Nebenwinkel berechnen und erhalten:

    $\alpha = 180^\circ - 67 ^\circ = 113^\circ$.

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