Sinusfunktion – Übungen

Der Funktionswert an der Stelle $x = 0$ ist:

$$f(0) = \sin(0) = 0$$

Der Funktionswert an der Stelle $x = \dfrac{1}{2}\pi$ ist:

$$f\left(\dfrac{1}{2}\pi\right) = \sin\left(\dfrac{1}{2}\pi\right) = 1$$

Der Funktionswert an der Stelle $x = -2\pi$ ist:

$$f(-2\pi) = \sin(-2\pi) = 0$$

Der Funktionswert an der Stelle $x = \dfrac{3}{2}\pi$ ist:

$$f\left(\dfrac{3}{2}\pi\right) = \sin\left(\dfrac{3}{2}\pi\right) = -1$$

Der Funktionswert an der Stelle $x = -\dfrac{1}{2}\pi$ ist:

$$f\left(-\dfrac{1}{2}\pi\right) = \sin\left(-\dfrac{1}{2}\pi\right) = -1$$

Lösungsweg:
Betrachte alle Stellen an denen die Sinusfunktion die $x$-Achse schneidet. An diesen Stellen gilt $f(x) = \sin(x) = 0$. Es fällt auf, dass dies für ganzzahlige Vielfache von $\pi$ gilt.

Lösung:
Die Sinusfunktion besitzt an allen Stellen $x_k = k \cdot \pi$ (mit $k \in \mathbb Z$) Nullstellen.

Lösungsweg:
Betrachte an welchen Stellen die Sinusfunktion Hochpunkte annimmt:
$\dfrac{1}{2}\,\pi, \dfrac{5}{2}\,\pi, -\dfrac{3}{2}\,\pi, -\dfrac{7}{2}\,\pi$ usw.

Die Sinusfunktion nimmt Tiefpunkte an für: $\dfrac{3}{2}\,\pi, \dfrac{7}{2}\,\pi, -\dfrac{1}{2}\,\pi, -\dfrac{1}{2}\,\pi$ usw.

Für die Extremstellen lässt sich allgemein folgern, dass die Sinusfunktion an den Stellen $x_k = k \cdot \pi + \dfrac{1}{2}\pi$ (mit $k \in \mathbb Z$) Extremwerte annimmt.

Lösung:
Die Sinusfunktion besitzt an allen Stellen $x_k = k \cdot \pi + \dfrac{1}{2}\pi$ (mit $k \in \mathbb Z$) Extremstellen.

Lösungsweg:
Betrachte alle Stellen an denen die Sinusfunktion von einer Links- in eine Rechtskurve übergeht und umgekehrt. Es fällt auf, dass das genau an den Nullstellen der Fall ist.

Lösung:
Die Sinusfunktion besitzt an allen Stellen $x_k = k \cdot \pi$ (mit $k \in \mathbb Z$) Wendepunkte.

Lösungsweg:
Betrachte in welchem Abstand sich die Hoch- oder Tiefpunkte wiederholen. Beispielsweise liegt ein Hochpunkt bei $x = \dfrac{1}{2}\pi$ vor. Der nächste Hochpunkt folgt bei $x = \dfrac{5}{2}\pi$.

Es ist $\dfrac{5}{2}\pi - \dfrac{1}{2}\pi =\dfrac{4}{2}\pi = 2\pi$.

Lösung:
Die Sinusfunktion besitzt hat eine Periode von $2\pi$.

Lösungsweg:
Prüfe die Eigenschaft für Punktsymmetrie: $f(-x) = -f(x)$
Es gilt
$\sin\left(-\dfrac{1}{2}\pi\right) = -1 = -(1) = -\sin\left(\dfrac{1}{2}\pi\right)$
sowie auch
$\sin\left(-\dfrac{3}{2}\pi\right) = 1 = -(-1) = -\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi\right)$
und
$\sin(-\pi) = 0 = -\sin(\pi)$.

Lösung:
Da allgemein gilt, dass $\sin(-x) = -\sin(x)$ ist die Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Lösung:
Die Sinusfunktion wird durch den Parameter $a = 3$ gestreckt. Das bedeutet, dass die Funktion in $y$-Richtung um den Faktor $3$ gestreckt wird. Die Wellen der Sinusfunktion werden also höher, während die Lokalisation der Extrem- und Nullstellen gleich bleibt.

Lösung:
Die Sinusfunktion wird durch den Parameter $a = \dfrac{1}{2}$ gestreckt. Das bedeutet, dass die Funktion in $y$-Richtung um den Faktor $\dfrac{1}{2}$ gestaucht wird. Die Wellen der Sinusfunktion werden also flacher, während die Lokalisation der Extrem- und Nullstellen gleich bleibt.

Lösung:
Die Funktion wird durch den Parameter $d = -1$ um eine Einheit auf der $y$-Achse nach unten verschoben.

Lösung:
Die Funktion wird durch den Parameter $c = \pi$ um eine Einheit auf der $x$-Achse nach rechts verschoben.

Lösung:
Die Funktion wird durch die Parameter $a = 5$ und $d = 3$ transformiert. Dabei sorgt der Parameter $a$ für eine Streckung der Funktion in $y$-Richtung, während der Parameter $d$ die Funktion um drei Einheiten auf der $y$-Achse nach oben verschiebt.

Um die Sinusfunktion in die Cosinusfunktion zu überführen, muss die Sinusfunktion um $\dfrac{1}{2}\pi$ auf der $x$-Achse nach links verschoben werden.
Es gilt also $\sin\left(x + \dfrac{1}{2}\pi\right) = \cos(x)$.
Alternativ kann man auch schreiben $\sin(x) = \cos\left(x - \dfrac{1}{2}\pi\right)$.