Potenzregel bei Ableitungen

Warum ist die Welt so, wie sie ist?
Wäre es nicht schön, alle Hintergründe und Zusammenhänge zu kennen? Manchmal wünscht du dir aber vielleicht auch einfach, dass dir jemand sagt, was zu tun ist. Das Leben ist ja so schon kompliziert genug, nicht wahr? Zum Beispiel wenn im Matheunterricht das Thema „Ableitungen“ auf dem Programm steht. Gut, dass es da die „Potenzregel“ gibt. Die Potenzregel ist ganz einfach zu merken und sagt uns was zu tun ist, wenn wir die Ableitung einer Potenzfunktion bestimmen wollen. Schnappen wir uns also mal so eine Potenzfunktion! Zum Beispiel „f von x gleich x hoch drei“. Die Ableitungsfunktion „f-Strich von x“ bilden wir ganz einfach, indem wir den Exponenten, also die Hochzahl, als Faktor nach vorne ziehen, und den Exponenten dann um eins verringern. „drei x hoch zwei“ ist dann unsere Ableitungsfunktion. Okay, das ist echt kein Aufwand. Wir müssen also – Erstens: Den Exponenten der Potenz als Faktor vor die Potenz schreiben. Und zweitens: Den Exponenten um eins verringern. Die Ableitung von „x hoch sechs“ lautet also? Richtig, „sechs x hoch fünf“. Wenn wir eine Ableitungsfunktion einer bestimmten Funktion berechnen wollen, müssen wir also nicht immer den Differentialquotienten bemühen. Den Stress geben wir uns jetzt nicht mehr. Stattdessen können wir Potenzfunktionen einfach nach dem hier gezeigten Muster ableiten. Komplett entspannt! Schauen wir uns das nochmal in einer Tabelle an: Was erhalten wir denn, wenn wir x ableiten? Nun ja, x können wir auch als „x hoch eins“ schreiben. Wenn wir den Exponenten nach vorne ziehen und dann um eins verringern, erhalten wir als Ableitung „eins mal x hoch null“. „X hoch null“ ist eins“. Daher ist die Ableitung von x einfach gleich eins. „x hoch zwei“ abgeleitet, wird „2 x hoch eins“, also einfach „zwei x“, die Ableitung von „x hoch drei“ ist „drei x hoch zwei“, und so weiter. Allgemein formuliert lautet die Potenzregel: Die Ableitung der Funktion „x hoch n“ ist „n mal x hoch n-minus-eins“. Mit Hilfe dieser Regel können wir auch die Steigung einer Potenzfunktion an einer bestimmten Stelle kinderleicht herausfinden. Wir erinnern uns: Die Ableitung gibt ja die Steigung einer Funktion an jeder beliebigen Stelle an. Wollen wir zum Beispiel wissen, welche Steigung die Funktion „x hoch drei“ an der Stelle „minus-vier“ hat, bilden wir die Ableitungsfunktion mit der Potenzregel. Dann müssen wir dort nur noch minus-vier einsetzen und haben unser Ergebnis: Die Steigung an der betrachteten Stelle beträgt achtundvierzig. Wir fassen noch einmal auf einen Blick zusammen. Mit der Potenzregel können wir Potenzfunktionen ganz einfach und ohne große Rechnerei ableiten. Im konkreten Fall müssen wir dafür nur: Den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen, und um eins verringern. So gelingt das Ableiten im Handumdrehen! Und wir haben mehr Zeit, um über die ganz großen Fragen des Lebens zu philosophieren: Wie groß ist eigentlich das Universum? Wie kann es sein, dass überhaupt etwas existiert? Und warum?