Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema

Aaahhhhrr mal wieder keine Lust zu gar nix! Da kommt man schnell ins Grübeln. Ist das alles notwendig? Was ist überhaupt notwendig? Hm. Definitiv was zu Essen. Also sehen wir uns mal die „Notwendige und hinreichende Bedingung“ für Spaghetti an. Ne, halt! Für Extrema natürlich! Extrema von Funktionen sind „Maxima“, und „Minima“, also Hochpunkte und Tiefpunkte. Wenn man den Funktionsgraphen sieht, ist es meist leicht, Extrema zu erkennen. Oft hat man aber nur die Funktionsgleichung. Und nur mit dieser können die Extrempunkte auch exakt berechnet werden – bloß wie? Erstmal geht es da um die Frage, ob eine Funktion überhaupt Extrema hat. Das wird durch die „Notwendige Bedingung“ geklärt, die besagt, dass die „erste Ableitung“ einer gegebenen Funktionsgleichung mindestens eine Nullstelle haben muss, wie in diesem Beispiel „x-Eins gleich Zwei“, die dann eine Extremstelle „x-E“ sein kann. Das heißt, „F-Strich von x-E gleich Null“ muss notwendigerweise erfüllt sein. Das ist die Bedingung dafür, dass „x-E“ eine Extremstelle sein könnte. Gibt es keine Nullstellen von „F-Strich von x“, kann es auch keine Extremstellen geben. Das ist so zu verstehen, dass ein Topf mit Wasser und ein paar Nudeln zwingend notwendig sind um Spaghetti zu kochen, dass diese Dinge allein aber nicht garantieren, dass du am Ende auch ein fertiges Mittagessen vor dir hast. Aber warum sind gerade die Nullstellen der „ersten Ableitung“ so wichtig? Nun, die erste Ableitung beschreibt das „Monotonieverhalten“ einer Funktion. Das heißt, ihre Funktionsgleichung gibt Aufschluss über die Steigung der ursprünglichen Funktion „F von x“ an jeder Stelle „x“, an der sie definiert ist. An einer Extremstelle muss die Steigung gleich Null sein – egal ob Hochpunkt oder Tiefpunkt. Das macht jede Nullstelle der ersten Ableitung zu einer möglichen Extremstelle. Das allein reicht allerdings nicht, denn es gibt auch andere Punkte, an denen die Steigung eines Funktionsgraphen gleich Null sein könnte, zum Beispiel „Sattelpunkte“ wie dieser hier. Deshalb gibt es noch die „hinreichende Bedingung“ für Extrema. Diese schließt die „notwendige Bedingung“ ein, und erweitert sie um eine Betrachtung, die sicherstellt, dass die gefundenen Nullstellen von „F-Strich von x“ auch tatsächlich Extremstellen von „F von x“ sind: Es muss erfüllt sein, dass die zweite Ableitung von „F von x“ an eben diesen Stellen ungleich Null ist, also „F-Zwei-Strich von x-E“ ungleich Null. Woher kommt nun diese Bedingung? Nun, die zweite Ableitung einer Funktion gibt Auskunft über die Krümmung des Funktionsgraphen. An einem Hochpunkt verläuft die Krümmung eines Graphen immer rechtsherum, wenn man die Kurve der Funktion von links beginnend zeichnet. Die zweite Ableitung ist bei so einer Rechtskurve immer kleiner Null. An einem Tiefpunkt muss die Krümmung hingegen linksherum laufen. Die zweite Ableitung ist dann größer Null. Extrema kannst du also so bestimmen: Von einer gegebenen Funktion „F von x“, bildest du die erste Ableitung, und setzt dieses „F-Strich von x“ gleich Null. In unserem Beispiel führt das zu den Nullstellen „Zwei“ und „Minus-Eins“. Dann bildest du die zweite Ableitung „F-Zwei-Strich von x“, und setzt die gefundenen Stellen dort ein. Erhältst du ein Ergebnis kleiner Null, handelt es sich um einen Hochpunkt. Bei „F-Zwei-Strich“ größer Null, handelt es sich um einen Tiefpunkt. Nur für den Fall „F-Zwei-Strich von x-E gleich Null“ kann keine eindeutige Aussage getroffen werden. Oft handelt es sich dann um einen „Sattelpunkt“, an dem sich die Krümmung des Funktionsgraphen gerade ändert. Es gibt aber auch Fälle, in denen trotz „F-Zwei-Strich gleich Null“ ein Extrempunkt vorliegt – man kann sich hier schlicht nicht festlegen. Deshalb auch „hinreichende Bedingung“: Wenn „x-E“ eine Nullstelle der ersten Ableitung ist, reicht „F-Zwei-Strich von x-E ungleich Null“ aus, um mit Sicherheit zu sagen, dass „x-E“ eine Extremstelle von „F von x“ ist. Aber auch wenn das nicht erfüllt ist, kann es sich unter Umständen trotzdem um eine Extremstelle handeln. Ist nach der „Y-Koordinate“ eines Extrempunkts gefragt, zum Beispiel hier zur Stelle „x gleich Zwei“, berechnest du diese durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktionsgleichung von „F von x“; also „F von Zwei“ gleich Drei. Da kann man bei den vielen Ableitungen schonmal durcheinanderkommen. Fassen wir alles nochmal zusammen: Die notwendige Bedingung für Extrema lautet „F-Strich von x-E gleich Null“. Nur Nullstellen der ersten Ableitung kommen also als Extremstellen einer Funktion „F von x“ in Frage. „F-Strich von x-E“ gleich Null und „F-Zwei-Strich von x-E“ ungleich Null stellen die hinreichende Bedingung für Extrema dar. Durch Einsetzen in die zweite Ableitung wird also geprüft, ob es sich bei den gefundenen Kandidaten wirklich um Extremstellen handelt. Bei „F-Zwei-Strich von x-E“ kleiner Null handelt es sich um einen Hochpunkt, bei „F-Zwei-Strich von x-E“ größer Null um einen Tiefpunkt. Das hängt mit der Krümmung des Funktionsgraphen an solchen Stellen zusammen. Bei „F-Zwei-Strich von x-E“ gleich Null kann keine eindeutige Aussage getroffen werden. Zu den notwendigen Bedingungen „Topf“, „Wasser“ und „Spaghetti“, wäre es also hinreichend, wenn eine Herdplatte mit Strom vorhanden wäre, um eine passable Mahlzeit zu kredenzen. Es gäbe unter Umständen auch andere Optionen, aber da ist der Erfolg keineswegs sicher.