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Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema

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Team Digital
Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Vorzeichenwechselkriterium (VWK) nachzuvollziehen und anzuwenden.

Vorzeichenwechselkriterium grafisch

Zunächst lernst du, wie das VWK mit der ersten Ableitung einer gegebenen Funktionsgleichung zusammenhängt. Anschließend lernst du, wie du das VWK rechnerisch anwenden und damit Extrema bestimmen kannst. Abschließend erfährst du, in welchen Fällen du mit dem VWK einen Sattelpunkt erkennen kannst.

Vorzeichenwechselkriterium rechnerisch

Lerne etwas über finstere Geheimnisse und Vorhersagen, die durch die Mathematik entschlüsselt werden können.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Vorzeichenwechselkriterium, Extrema, Extremum, Extremstelle, Extrempunkt, Maxima, Maximum, Hochpunkt, Minima, Minimum, Tiefpunkt, Sattelpunkt, Ableitung, Nullstelle, Steigung und notwendige Bedingung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man die erste Ableitung einer Funktionsgleichung berechnet und deren Nullstellen bestimmt. Zudem solltest du die notwendige Bedingung für Extrema kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu den Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die hinreichende Bedingung für Extrema anzuwenden und zu lernen, wie man Extrema mithilfe der zweiten Ableitung einer gegebenen Funktionsgleichung bestimmt.

Transkript Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema

„Du stehst vor einer ungewissen Zukunft.“ ein kosmisches auf und aba – bis ins Extreme!“ „Vorzeichenwechselkriteriums für Extrema“. Dieses schöne, lange Wort bezieht sich darauf, wie man „Extrema“, also Maxima und Minima einer Funktion bestimmen kann. Das ist gar nicht so leicht – vor allem, wenn man den Graphen nicht kennt und nur die Funktionsgleichung gegeben hat, zum Beispiel diese hier. Du kennst vielleicht schon die „Notwendige Bedingung für Extrema“. Sie besagt, dass jede mögliche Extremstelle „x-Null von F von x“ notwendigerweise eine Nullstelle der ersten Ableitung „F-Strich von x“ sein muss. Wir bilden also die erste Ableitung „F-Strich von x“, setzen diese gleich Null, und ermitteln die Nullstellen. Nur diese beiden Stellen kommen als Extremstellen von „F von x“ in Frage. Das bedeutet aber leider nicht, dass sie auch wirklich welche sind. Ob das der Fall ist, untersuchen wir nun mit Hilfe des „Vorzeichenwechselkriteriums“. Wir wissen, dass die erste Ableitung einer Funktion die Steigung des Funktionsgraphen an jeder Stelle „x“ wiedergibt. Deshalb muss die erste Ableitung an einer Extremstelle „gleich Null“ sein, egal ob es sich um einen Hochpunkt, oder einen Tiefpunkt handelt. Vor einem Hochpunkt muss die Steigung positiv sein, und die erste Ableitung damit größer Null, da die Kurve des Funktionsgraphen hier ansteigt. Nach dem Hochpunkt ist die Steigung dann negativ, also die erste Ableitung kleiner Null, denn die Kurve fällt wieder ab. Die erste Ableitung wechselt also an der Stelle des Extrempunktes ihr Vorzeichen. Bei einem Hochpunkt von „positiv“ nach „negativ“, und bei einem Tiefpunkt von „negativ nach „positiv“. Wunderschön, nicht wahr? Ein Gegenbeispiel wäre ein Fall wie dieser: Auch hier ist die Stelle „x-Null“ eine Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion, da an diesem Punkt die Steigung des Funktionsgraphen gleich Null ist. Allerdings gibt es an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel der Steigung, da die Funktionswerte sowohl links als auch rechts von x-Null ansteigen. „x-Null“ ist also keine Extremstelle, sondern ein sogenannter „Sattelpunkt“. Eine Nullstelle der ersten Ableitung führt eben nur dann zu einem Extremum, wenn die Funktionswerte der ersten Ableitung ihr Vorzeichen um die Nullstelle herum ändern. Das ist das Vorzeichenwechselkriterium – kurz „VWK“. Aber wie wird es angewendet, wenn man den Funktionsgraphen nicht vor sich hat? Ganz einfach: Nehmen wir an, du hast eine Funktionsgleichung gegeben, von dieser die erste Ableitung gebildet, und die Nullstellen gefunden. Jetzt setzt du einfach Werte für „x“ in die erste Ableitung ein, die etwas kleiner, und etwas größer als die gefundenen Nullstellen sind. Durch das Vorzeichen der erhaltenen Funktionswerte kannst du nun sehen, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Gleichzeitig kannst du nachvollziehen, ob der Vorzeichenwechsel von „positiv“ nach „negativ“, oder umgekehrt stattfindet, und so auch gleich bestimmen, ob die gefundenen Extremstellen Hochpunkte oder Tiefpunkte sind. Dazu noch eine kleine Erinnerung: Wenn danach gefragt ist, die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, musst du die ermittelten Extremstellen, also die x-Werte, in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen, um die korrekten y-Werte der Punkte zu erhalten. Da kann man schon mal durcheinander kommen bei dem vielen Einsetzen. Insgesamt kann die Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums zu einer ziemlichen Rechnerei ausarten. Es gibt aber auch noch andere Möglichkeiten, Extrema zweifelsfrei zu bestimmen. Dafür benötigst du die zweite Ableitung deiner Funktion. Die will zwar auch erstmal berechnet werden, kommt aber oft recht handlich daher. Dazu aber mehr in einem anderen Video. Jetzt fassen wir erstmal unsere neu erworbenen, dunklen Künste zusammen: Mit dem Vorzeichenwechselkriterium kann bei einer Funktion „F von x“ nach Bildung der ersten Ableitung geprüft werden, ob gefundene „Nullstellen von F-Strich von x“, tatsächlich „Extremstellen“ der Funktion sind. Ändert die Ableitung „F-Strich von x“ ihr Vorzeichen links und rechts einer Nullstelle „x-Null“ von positiv zu negativ, dann handelt es sich um einen Hochpunkt. Ändert sich das Vorzeichen hingegen von negativ nach positiv, liegt ein Tiefpunkt vor. Gibt es zwar eine Nullstelle von „F-Strich von x“, aber dort keinen Vorzeichenwechsel, dann ist die Nullstelle kein Extremum von „F von x“, sondern wahrscheinlich ein Sattelpunkt. Das Vorzeichenwechselkriterium wird durch Einsetzen geeigneter x-Werte in die erste Ableitung geprüft. „Jetzt erschließen sich hoffentlich auch dir die finsteren Geheimnisse und Vorhersagen“ „die durch den Zauber der Mathematik ans Tageslicht treten.“

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