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Das Distributivgesetz

Die Distributivgesetz, auch als Verteilungsgesetz bekannt, ermöglicht es, ein Produkt in eine Summe umzuwandeln und umgekehrt. Es gilt bei Multiplikationen mit Summen oder Differenzen. Dabei kann die Reihenfolge der Faktoren beliebig sein. Willst du mehr über das Distributivgesetz erfahren? Interesse geweckt? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text."

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Team Digital
Das Distributivgesetz
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Das Distributivgesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Distributivgesetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Anzahl der Eiskugeln auf zwei Weisen.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$

    Die beiden Fälle aus der Aufgabenstellung stellen je eine Seite des Distributivgesetzes dar.

    Laut dem Distributivgesetz liefern beide mathematischen Ausdrücke dasselbe Ergebnis.

    Lösung

    Fall 1

    Zuerst kauft sich Anton ein Eis. Er hat drei Kugeln in seiner Waffel. Danach kauft sich Bella eine Eistüte. Auch sie wählt drei Kugeln Eis. Anschließend treffen sich Anton und Bella mit ihren Eistüten.

    Wir halten folgende mathematischen Ausdrücke fest:

    • Anzahl der Eiskugeln von Anton: $3\cdot 1$
    • Anzahl der Eiskugeln von Bella: $3\cdot 1$
    • Gesamtanzahl $=$ Anzahl der Eiskugeln von Anton $+$ Anzahl der Eiskugeln von Bella
    Somit erhalten wir:

    $~ 3\cdot 1+3\cdot 1 = 6$

    Fall 2

    Anton und Bella treffen sich zuerst ohne Eis. Anschließend kaufen sie gemeinsam für jede*n je drei Kugeln Eis.

    Wir halten folgende mathematischen Ausdrücke fest:

    • Anton und Bella treffen sich: $1+1$
    • Anzahl der Eiskugeln je Person: $3$
    • Gesamtanzahl $=$ Anzahl der Eiskugeln je Person $\cdot$ Anzahl der Personen
    Somit erhalten wir:

    $~ 3\cdot (1+1)=6$

  • Stelle das Distributivgesetz für die gegebenen Parameter auf.

    Tipps

    Es gilt:

    • Klammer- vor Punktrechnung
    • Punkt- vor Strichrechnung

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $a=2,\ b=4,\ c=6$

    • linke Seite: $6\cdot (2+3)=6\cdot 5=30$
    • rechte Seite: $6\cdot 2+6\cdot 3=12+18=30$
    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • $a=4$
    • $b=5$
    • $c=3$
    Diese Parameter werden in das Distributivgesetz $c\cdot (a+b)=ca+cb$ eingesetzt. Wir wollen zeigen, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung dasselbe Ergebnis liefern.

    Linke Seite

    Die linke Seite der Gleichung liefert folgende Rechnung:

    $3\cdot (4+ 5)=3\cdot 9=27$

    Rechte Seite

    Die rechte Seite der Gleichung liefert folgende Rechnung:

    $3\cdot 4+ 3\cdot 5= 12+ 15=27$

  • Ermittle den jeweiligen Term nach Anwendung des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$

    Die Parameter $a$, $b$ und $c$ kannst du durch Zahlen ersetzen.

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $7\cdot (2+3)=7\cdot 2+7\cdot 3$

    Lösung

    In dieser Aufgabe wenden wir das Distributivgesetz $c\cdot (a+b)=ca+cb$ auf die gegebenen Beispiele an.

    1. Beispiel

    $4\cdot (5+6)=4\cdot 5+4\cdot 6$

    Zum Überprüfen werden wir für dieses Beispiel die linke und rechte Seite der Gleichung berechnen.

    • linke Seite: $4\cdot (5+6)=4\cdot 11=44$
    • rechte Seite: $4\cdot 5+4\cdot 6=20+24=44$
    2. Beispiel

    $5\cdot (4+6)=5\cdot 4+5\cdot 6$

    3. Beispiel

    $6\cdot (5+4)=6\cdot 5+6\cdot 4$

    4. Beispiel

    $4\cdot (4+5)=4\cdot 4+4\cdot 5$

  • Ermittle die Lösungen mithilfe des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Multipliziere zunächst die Klammern aus. Wende dafür das Distributivgesetz an:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$

    Gehe wie folgt vor:

    $3\cdot (7+8)=3\cdot 7+3\cdot 8$

    Nach dem Auflösen der Klammern gilt für die weitere Rechnung Punkt- vor Strichrechnung.

    Lösung

    Beim Lösen der vorgegebenen Aufgaben werden wir zunächst die Klammern ausmultiplizieren. Dazu wenden wir das Distributivgesetz an. Anschließend rechnen wir den Term aus, indem wir die Punktrechnung vor der Strichrechnung durchführen.
    Im Folgenden wird die Zwischenrechnung, die in der Aufgabe nicht gefordert ist, zum besseren Verständnis ebenfalls aufgeführt.

    Wir erhalten diese Rechnungen:

    1. Beispiel

    $6 \cdot (10 + 2)=6\cdot 10+6\cdot 2=60+12=72$

    2. Beispiel

    $8 \cdot (11 + 1)=8\cdot 11+8\cdot 1=88+8=96$

    3. Beispiel

    $3 \cdot (14 + 3)=3\cdot 14+3\cdot 3=42+9=51$

  • Beschreibe das Distributivgesetz.

    Tipps

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $3\cdot (1+2)=3\cdot 3=9$

    $3\cdot (1+2)=3\cdot 1+3\cdot 2=3+6=9$

    Es spielt keine Rolle, ob man erst die Summe und dann das Produkt oder erst die Produkte und dann die Summe bildet.

    Ein Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von Faktoren.

    Eine Summe ist das Ergebnis der Addition von Summanden.

    Lösung

    Das Distributivgesetz ist ein wichtiges mathematisches Gesetz, das dir in verschiedenen Bereichen der Mathematik begegnet.

    Das Distributivgesetz lautet $c\cdot (a+b)=ca+cb$ und besagt:

    Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.

    Etwas weniger mathematisch ausgedrückt:

    Es ist egal, ob:

    • du zuerst die Zahlen in der Klammer addierst und dann das Ergebnis mit der Zahl vor der Klammer multiplizierst oder ob
    • du die Zahl vor der Klammer mit den Zahlen in der Klammer einzeln multiplizierst und die Ergebnisse addierst.
  • Bestimme die fehlende Seite des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Um die linke Seite des Distributivgesetzes zu erhalten, musst du den Faktor, der auf der rechten Seite der Gleichung zweimal vorkommt, ausklammern.

    Schaue dir die folgenden Beispiele an:

    • $2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$
    • $(3+4)\cdot 2=3\cdot 2+4\cdot 2$
    Lösung

    Bisher haben wir uns an dem Distributivgesetz in der Form $c\cdot (a+b)=ca+cb$ orientiert.

    Mithilfe des Kommutativgesetzes der Multiplikation (das sollst du hier in der Aufgabe nicht anwenden) können wir den Ausdruck auch anders darstellen. Es gilt:

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$

    Für die vorgegebenen Aufgaben erhalten wir folgende Terme:

    1. Aufgabe

    $5\cdot (3+8)=5\cdot 3+5\cdot 8$

    2. Aufgabe

    $6\cdot (7+3)=6\cdot 7+6\cdot 3$

    3. Aufgabe

    $(2+1)\cdot 7=2\cdot 7+1\cdot 7$

    4. Aufgabe

    $3\cdot (5+3)=3\cdot 5+3\cdot 3$