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Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Lerne mathematische Rechengesetze anhand von Beispielen! Entdecke, wie du mit Klammern im Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz umgehst und verbessere dein Geschick im Rechnen. Neugierig geworden? Finde mehr in dem folgenden Text heraus!

Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
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Team Digital
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz.

    Tipps

    Die Reihenfolge der Zahlen bei einer Addition ist nicht relevant.

    Es gilt zum Beispiel:

    $\begin{array}{ll} 6+3&=3+6 \\ 9&=9 \end{array}$

    Hier wurde das Distributivgesetz angewandt:

    $3 \cdot (4-2)=3 \cdot 4 + 3 \cdot (-2)= 12-6=6$

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • „Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man die Summanden bei einer Addition durch andere, beliebige Zahlen austauschen kann.“
    Dieses Gesetz besagt, dass du die Summanden untereinander vertauschen kannst. Die Reihenfolge ist also nicht relevant. Hier siehst du ein Beispiel:

    $\begin{array}{ll} 5+2&=2+5 \\ 7&=7 \end{array}$

    • „Das Distributivgesetz gilt nicht für eine Subtraktion oder Division in der Klammer.“
    Das Distributivgesetz gilt immer, wenn ein Faktor mit einem Ausdruck in einer Klammer multipliziert wird. Ob es sich hier um eine Subtraktion oder Addition handelt, ist irrelevant. Hier siehst du die Anwendung des Distributivgesetzes:

    $5 \cdot (6-3)=5 \cdot 6 - 5 \cdot 3= 30-15=15$

    Ebenso könntest du rechnen:

    $5 \cdot (6-3)=5 \cdot 3= 15$

    $~$

    Diese Aussagen sind richtig:

    • „Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion und Division.“
    • „Bei einer reinen Multiplikation können Klammern beliebig gesetzt werden.“
    Das besagt das Assoziativgesetz. Es gilt auch für die Addition.

    $\begin{array}{ll} 5 \cdot (2 \cdot 3)&=(2 \cdot 5) \cdot 3\\ 5 \cdot 6&=10 \cdot 3\\ 30&= 30 \end{array}$

    • „Das Assoziativgesetz gilt nur für Addition und Multiplikation.“
  • Beschreibe die Verwendung des Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzes.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz gilt nicht für Subtraktion und Division.

    Da:

    $6-3=3$

    aber:

    $3-6=-3$

    So funktioniert das Distributivgesetz, wenn eine Summe in der Klammer steht:

    $(8+3)\cdot 2 = 8\cdot 2 + 3\cdot 2 =16+6=22$

    Das Assoziativgesetz kann nicht bei der Division angewandt werden, da zum Beispiel:

    $(36:6):3=6:3=2$

    aber:

    $36:(6:3)=36:2=18$

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Es besagt, dass du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen darfst. Also ist:

    $6+3=3+6$ und

    $6 \cdot 3=3 \cdot 6$“

    • Achtung: Das gilt nicht für die Subtraktion und Division!
    „Das Assoziativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Wenn diese Rechenarten alleine vorkommen, darfst du Klammern beliebig setzen, oder weglassen. Also:

    $(6+3)+2=6+(3+2)=6+3+2$ und:

    $(6 \cdot 3) \cdot 2=6 \cdot( 3 \cdot 2)=6 \cdot 3 \cdot 2$“

    • Beachte, dass dies nicht für Mischformen gilt. Kommen also zum Beispiel Multiplikation und Addition in einem Ausdruck gemeinsam vor, kannst du hier die Klammern nicht beliebig setzen.
    „Das Distributivgesetz kannst du anwenden, wenn ein Faktor mit einem Ausdruck in einer Klammer multipliziert wird. In diesem Fall darfst du den Faktor auch zuerst einzeln mit den Zahlen in der Klammer multiplizieren. So erhältst du zum Beispiel:

    $(8-2)\cdot 2 = 8\cdot 2-2\cdot 2=16-4=12$“

    • Diesen Vorgang nennt man auch ausmultiplizieren.
  • Wende die Gesetze an.

    Tipps

    Die gelernten Gesetze können dir helfen zu erkennen, welche mathematischen Ausdrücke gleich sind. Mit dem Assoziativgesetz weißt du zum Beispiel, dass:

    • $1+(3+4)=(1+3)+4=8$
    Lösung

    Du kannst die Rechnungen zuordnen, indem du gelernten Gesetze anwendest.

    Hier kannst du das Assoziativgesetz anwenden (Klammern beliebig setzen):

    • $2+(4+2)=(2+4)+2=8$
    • $(2\cdot 2) \cdot 3=2\cdot (2 \cdot 3)=12$
    Hier kannst du das Distributivgesetz anwenden (Faktoren vor der Klammer mit allen Ausdrücken in der Klammer multiplizieren):

    • $2 \cdot (7-3)=2 \cdot 7- 3 \cdot 2=8$
    • $2 \cdot (9-2)=2 \cdot 9-2 \cdot 2=14$
    Hier kannst du das Kommutativgesetz anwenden (Vertauschen von Faktoren oder Summanden):

    • $8+1+3=1+8+3=12$
    • $7 \cdot 2=2\cdot 7=14$
  • Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.

    Tipps

    Verändere die Reihenfolge von Summanden, um deine Rechnung zu erleichtern.

    Lösung

    Du kannst die Rechnungen lösen, indem du sie mit den gelernten Gesetzen vereinfachst und anschließend berechnest.

    In fast allen Rechnungen werden Klammern weggelassen (Assoziativgesetz), die Reihenfolge von Summanden vertauscht (Kommutativgesetz) und Faktoren vor einer Klammer einzeln mit den Ausdrücken in der Klammer multipliziert (Distributivgesetz). Rechts siehst du, welches Gesetz angewendet wurde. So erhältst du:

    $\begin{array}{llr} 1 \cdot 2 + (3+6)-3+ 2 \cdot (6-3)&= 2+3+6-3+2 \cdot (6-3) &\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &= 2+3+6-3+12-6 &\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 2+12+3-3+6-6 &\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=14 & \end{array}$

    $\begin{array}{llr} 3 \cdot (2-3) + (3+9)+ 1 \cdot 2 \cdot 3&= 6-9+(3+9)+6&\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 6-9+3+9+6&\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &= 6+6+9-9+3&\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=15 \end{array}$

    $\begin{array}{llr} (6 \cdot 5) \cdot 3+1+9 -3 \cdot (3+5) &= 6 \cdot 5 \cdot 3+1+9-3 \cdot (3+5)&\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &= 6 \cdot 5 \cdot 3+1+9-9-15&\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 90-15+1&\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=76 \end{array}$

    $\begin{array}{llr} (1+2)+7+7 \cdot (3-1)&=1+2+7+7 \cdot (3-1) &\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &=1+2+7+21-7 &\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &=1+21+2+7-7&\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=24 \end{array}$

  • Gib an, welches Gesetz angewandt werden kann.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Kommen diese Rechenarten alleine vor, kannst du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen.

    $\begin{array}{ccc} 1+2+3 &=& 1+3+2 \\ 6 &=& 6 \\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ccc} 2+1+3 &=& 2+3+1 \\ 6 &=& 6 \\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ccc} 3+1+2 &=& 3+2+1\\ 6 &=& 6 \end{array}$

    Das Assoziativgesetz gilt ebenfalls für die Addition und Multiplikation. Wenn diese Rechenarten allein vorkommen, darfst du Klammern beliebig setzen oder weglassen.

    $\begin{array}{ccccc} 1 \cdot (2 \cdot 3) &=& (1 \cdot 2) \cdot 3 &=& 1 \cdot 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 6 &=& 2 \cdot 3 &=& 2 \cdot 3 \\ 6 &=& 6 &=& 6 \end{array}$

    Lösung

    Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Kommen diese Rechenarten alleine vor, kannst du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen. Dieses Gesetz wurde hier angewandt:

    • $63 \cdot 7 =7 \cdot 63$
    • $6 \cdot 3 \cdot 2 =2 \cdot 3 \cdot 6$
    Das Assoziativgesetz gilt ebenfalls für die Addition und Multiplikation. Wenn diese Rechenarten alleine vorkommen, darfst du Klammern beliebig setzen oder weglassen. Hier wurde das Gesetz angewandt:

    • $73+(12+7)=73+12+7$
    • $6+(3+2)=(6+3)+2$
    Das Distributivgesetz kannst du anwenden, wenn ein Faktor mit einem Ausdruck in einer Klammer multipliziert wird. In diesem Fall darfst du den Faktor auch zuerst einzeln mit den Zahlen in der Klammer multiplizieren. Dieses Gesetz wurde hier angewandt:

    • $3 \cdot (5-2)=3 \cdot 5 + 3 \cdot (-2)$
    • $7 \cdot (60+3)=7 \cdot 60 + 7 \cdot 3$
    Hier wurde versucht das Kommutativgesetz auf die Division und Subtraktion anzuwenden. Das ist allerdings nicht möglich. Deshalb sind diese Rechnungen falsch:

    • $6-3=3-6$
    • $6 : 3=3 : 6$
  • Erschließe, wo die Gesetze richtig angewandt wurden.

    Tipps

    Mit den drei Gesetzen kannst du die Rechnungen vereinfachen und lösen. Allerdings ist es nicht immer sinnvoll die Gesetze anzuwenden. Überlege dir, welcher Rechenweg am effizientesten ist.

    Lösung

    Mit den drei Gesetzen kannst du die Rechnungen vereinfachen und lösen. Allerdings ist es nicht immer sinnvoll, die Gesetze anzuwenden. Überlege dir, welcher Rechenweg am effizientesten ist. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:

    • $13-9+(15+5)+3 \cdot (3-5) = 16$
    So kannst du sie richtig lösen:

    $\begin{array}{llr} 13-9+(15+5)+3 \cdot (3-5) &=13-9+15+5+3 \cdot (3-5)&\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &=13-9+15+5+9 -15 &\| ~ \text{Distributivgesetz} \\ &=13+5+15-15+9-9 &\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=18\\ \end{array}$

    • $(8 \cdot 2 ) \cdot 5 + 82 + 7 + 18 + 7 \cdot (10-1)=240$
    Diese Rechnung wird so richtig durchgeführt:

    $\begin{array}{llr} (8 \cdot 2 ) \cdot 5 + 82 + 7 + 18 + 7 \cdot (10-1) &=8 \cdot 2 \cdot 5+ 82 + 7 + 18 +7 \cdot (10-1)&\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &=8 \cdot 2 \cdot 5+ 82 + 7 + 18 +70-7 &\| ~ \text{Distributivgesetz} \\ &=8 \cdot 10+ 82 +18 + 7-7 +70 &\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=80+100+70\\ &=250\\ \end{array}$

    Diese Rechnungen wurden korrekt gelöst:

    $\begin{array}{ll} 100-90+(3 \cdot 2) \cdot 5 + 10 \cdot (15-10)&= 100-90+3 \cdot 2 \cdot 5 + 150-100\\ &= 100-100+150-90+3 \cdot 10 \\ &=150- 90+30 \\ &=90 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} 3 \cdot 3 \cdot 4 + 9 \cdot ( 4-2) + (18 + 1) +12&= 36 + 36-18 + 18 + 1 +12\\ &= 36 + 36+12+ 18-18 + 1 \\ &= 36 + 36+12 + 1 \\ &=85 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} 5 \cdot 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5 \cdot 2 + 100 -10 + 9 \cdot (12 -22)&=5 \cdot 2\cdot 3 - 5 \cdot 2 \cdot 3 + 100 -10 + 9 \cdot (-10)\\ &=100-10-90\\ &=0 \end{array}$