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Die binomischen Formeln

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Team Digital
Die binomischen Formeln
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Die binomischen Formeln

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit den binomischen Formeln zu rechnen.

Die binomischen Formeln

Zunächst lernst du, die drei binomischen Formeln und ihre Herleitung kennen. Anschließend siehst du ein Anwendungsbeispiel.

Lerne etwas von Großmeister Bi Nom über die fast verloren gegangene Kunst des Rechnens mit binomischen Formeln.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie erste binomische Formel, zweite binomische Formel, dritte binomische Formel, Term und Ausmultiplizieren.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Klammern auflöst und ausmultipliziert.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Anwendung der binomischen Formeln zu üben.

Transkript Die binomischen Formeln

Hoch oben in den Bergen wird die fast vergessen geglaubte Kunst des Rechnens mit binomischen Formeln gelehrt. Großmeister Bi Nom unterweist einen neuen Schüler. Aber der tut sich mit den fremdartigen Formeln noch sehr schwer. A und b Quadrat, zwei a b das ist alles noch sehr wirr. Um „die binomischen Formeln“ wirklich zu verinnerlichen, muss er ganz tief in sich gehen und die Energie spüren, die durch diese mächtigen Formeln fließt. Auf dem Weg zum binomialen Großmeister, müssen drei Hürden erfolgreich genommen werden. Diese sind jeweils durch eine der überlieferten Formeln gegeben. Die erste, zweite und dritte binomische Formel. Um die Ausbildung erfolgreich abzuschließen, müssen die Formeln hergeleitet und auch angewendet werden. Beginnen wir mit der ersten binomischen Formel: „Klammer auf, a plus b, Klammer zu, zum Quadrat.“ Hier meint der unerfahrene Lehrling: Das ergibt doch einfach „a Quadrat plus b Quadrat“ Aber Vorsicht, das ist ein typischer Anfängerfehler: Großmeister Bi Nom belehrt uns eines Besseren: Zunächst formen wir „a plus b zum Quadrat“ zu „a plus b mal a plus b“ um. Diese beiden Klammern können wir jetzt ausmultiplizieren. Wir beginnen mit dem a in der ersten Klammer: A mal a ergibt „a Quadrat“ und a mal b a b. Jetzt müssen wir auch noch das b in der ersten Klammer mit den beiden Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. Wir erhalten also nochmal a b und „b Quadrat“. Nun können wir noch die „zwei a b“ zusammenfassen. Und haben somit die erste binomische Formel hergeleitet. Um das Ganze zu veranschaulichen, nutzt der Großmeister ein Quadrat mit der Seitenlänge „a plus b“. Der Flächeninhalt des Quadrates ist gleich der quadrierten Seitenlänge und somit gleich „a plus b in Klammern zum Quadrat“. Wir können den Flächeninhalt aber auch aus der Summe der Teilflächen bilden: Nämlich einmal „a mal a“, also „a Quadrat“, plus zweimal „a mal b“, plus „b Quadrat“. Wir erkennen somit die hergeleitete Formel an unserem Beispiel-Quadrat wieder. Na dann, auf zur nächsten Lektion - die zweite binomische Formel: Um diese herzuleiten, können wir genauso vorgehen wie bei der ersten. Wir schreiben „a minus b“ in Klammern zum Quadrat zunächst als Produkt und multiplizieren anschließend aus: Wir erhalten „a Quadrat“ minus a b, minus a b, plus „b Quadrat“. Wir können wieder die beiden Terme in der Mitte zusammenfassen und schon haben wir die Lektion zur zweiten binomischen Formel erfolgreich abgeschlossen. Doch ein wahrer Meister der Rechnung mit Binomen beherrscht alle drei Formeln. Wie sieht es mit der Herleitung der dritten binomischen Formel aus? Großmeister Bi Nom überlässt sie dir als Übungsaufgabe. Pausiere doch kurz das Video und rechne selbst. Kleiner Tipp: Auch hier musst du zunächst ausmultiplizieren. Die vollständige Herleitung gibt's in drei, zwei, eins: Wie du siehst, kürzen sich nach dem Ausmultiplizieren die beiden Terme in der Mitte weg. Übrig bleibt „a Quadrat“ minus „b Quadrat“. Damit haben wir alle drei Formeln beisammen. Doch nun liegt die Kunst darin, diese Formeln auch anzuwenden. Hierzu eine erste Übungsaufgabe: Gegeben ist der Term „vier plus zwei x in Klammern zum Quadrat.“ Das geschulte Auge erkennt hier sofort: Es handelt sich um die erste binomische Formel! Wir müssen lediglich für unsere vier das a und für die zwei x das b einsetzen. Dann entspricht der Term genau der linken Seite der ersten binomischen Formel. Die Anwendung der Formel liegt jetzt darin, die Klammer aufzulösen, ohne dabei Schritt für Schritt ausmultiplizieren zu müssen. Stattdessen können wir einfach die gegebenen Terme für a und b in die rechte Seite der binomischen Formel einsetzen. Wir erhalten dann diesen Term. Vier hoch zwei ist sechzehn, den mittleren Term können wir zu sechzehn x zusammenfassen und wenn wir zwei x quadrieren, müssen wir darauf achten sowohl das x als auch die zwei zu quadrieren. Das ergibt dann vier x Quadrat. Fertig! Diesen Term können wir nicht weiter vereinfachen. Um alle drei Formeln gut zu beherrschen, ist noch einiges Übung nötig. Die heutige Lektion ist aber erstmal abgeschlossen. Großmeister Bi Nom ist mit seinem Lehrling sehr zufrieden und fasst die wichtigsten Inhalte nochmal zusammen. Die drei binomischen Formeln helfen uns dabei, bestimmte Klammerausdrücke zu vereinfachen. Hier siehst du sie auf einen Blick. Wenn man sie sich gut eingeprägt hat, sind die Formeln ein sehr nützliches Werkzeug. Denn sie werden in der Mathematik immer wieder zum Umformen und Vereinfachen von Termen benötigt. Doch binomialer Großmeister wird man nicht von einem Tag auf den anderen. Dazu braucht es ist viel Eifer und Training. Und wie schlägt sich unser Lehrling? Oh, der scheint seine innere Ruhe gefunden zu haben.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Die Videos sind aber zum verstehen perfekt für die , die es in der Schule nicht verstehen 👌😉🆒️‼️

    Von Damian, vor 4 Monaten
  2. Ich habe es erst nicht verstanden, aber dann habe ich alle fünf Übungen erfolgreich gemacht

    Von Damian, vor 4 Monaten
  3. Tolles Video, Danke

    Von Anita Rosalina, vor 8 Monaten
  4. Sehr hilfreiches Video danke.

    Von Hermine Granger, vor 9 Monaten
  5. Das Video war sehr hilfreich

    Von Henry, vor 9 Monaten
Mehr Kommentare

Die binomischen Formeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die binomischen Formeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die zweite binomische Formel.

    Tipps

    ${{a}\cdot{b}={b}\cdot{a}}$

    Zum Beispiel

    $(b-c)^2$
    $=(b-c)(b-c)$
    $=b^2-bc-cb+c^2$
    $=b^2-2bc+c^2$

    Lösung

    Um das Ergebnis der zweiten binomischen Formel herzuleiten, schreibt man wie auch bei der ersten binomischen Formel die Potenz als Produkt zweier Klammern. Man multipliziert anschließend aus, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer einzeln multipliziert und anschließend die Terme zusammenfasst.

    Zu beachten ist, dass ${a}\cdot{a}=a^2$, ${b}\cdot{b}=b^2$ und ${a}\cdot{b}={b}\cdot{a}$ ist.

    ${(a-b)^2=(a-b)\cdot(a-b)=a^2-ba-ab+b^2=a^2-2ab+b^2}$

  • Löse die Klammer mithilfe der ersten binomischen Formel auf und vereinfache dann.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet:

    ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    Man kann sie zum Beispiel so lösen:

    ${\begin{array}{rrrrr} = (3 & + &4x)^2 & & \\ = 3^2 & + & 2\cdot3\cdot4x &+&(4x)^2 \\ = 9 &+ & 24x & +&16x^2 \\ \end{array}}$

    Lösung

    Anwenden der ersten binomischen Formel

    Um die erste binomische Formel anzuwenden, setzt man die Terme direkt in die binomische Formel ein. Hierzu muss man die Formel kennen und die Struktur muss exakt stimmen.

    Die Formel lautet:

    ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    In diesem Beispiel ist darauf zu achten, dass man bei ${b^2}$, also bei ${(2x)^2}$, die $2$ und das $x$ quadriert.

    Die korrekte Reihenfolge lautet:

    $(4+2x)^2= 4^2+2 \cdot 4 \cdot 2x+(2x)^2=16+16x+4x^2$

  • Entscheide, welcher Klammerausdruck zu welcher binomischen Formel gehört.

    Tipps

    Bei dieser Aufgabe musst du genau überprüfen, welche Struktur der Term hat. Sie muss genau mit der Form der binomischen Formel übereinstimmen, damit du ihn zuordnen kannst. Der Term kann in der zusammengefassten oder in der ausführlichen Form vorliegen.

    Beipiel für die erste binomische Formel:

    ${(5+3x)^2=5^2+2\cdot5\cdot3x+(3x)^2=25+30x+9x^2}$

    Beipiel für die zweite binomische Formel:

    ${(5-3x)^2=5^2-2\cdot5\cdot3x+(3x)^2=25-30x+9x^2}$

    Beipiel für die dritte binomische Formel:

    ${(5+3y)(5-3y)=25-9y^2}$

    Lösung

    Damit du die Terme den Formeln zuordnen kann, musst du genau überprüfen, ob sie die gleiche Struktur haben. Beachte vor allem auch die Rechenzeichen, auch sie müssen exakt an der gleichen Stelle stehen, wie es in der Formel vorgegeben ist.

    Erste binomische Formel und Lösung der Aufgabe:

    ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    ${(6+3y)^2=36+36y+9y^2}$

    Zweite binomische Formel und Lösung der Aufgabe:

    ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    ${(6-3y)^2=36-36y+9y^2}$

    Dritte binomische Formel und Lösung der Aufgabe:

    ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    ${(6+3y)(6-3y)=36-9y^2}$

  • Berechne mithilfe einer der binomischen Formeln.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet

    ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    Im Beispiel ${(x+7)^2}$ enstspricht das $x$ dem $a$ und die $7$ dem $b$ in der Formel.

    Man setzt die Zahlen und Terme in die Formel ein und erhält folgende Lösung:

    ${x^2+{2}\cdot{x}\cdot{7}+7^2=x^2+14x+49}$

    Die dritte binomische Formel lautet

    ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Im Beispiel ${(x+7)(x-7)}$ enstspricht das $x$ dem $a$ und die $7$ dem $b$ in der Formel.

    Man setzt die Zahlen und Terme in die Formel ein und erhält folgende Lösung:

    ${x^2-7^2=x^2-49}$

    Lösung

    Lösen der binomischen Formeln

    Um Klammerterme zu lösen, müssen sie genau der Struktur der binomischen Formeln entsprechen.

    Man setzt die entsprechenden Zahlen und Terme an die Stelle von $a$ und $b$ ein und kann die Lösungsformel direkt übernehmen.

    Erste Aufgabe

    Bei dieser ersten binomischen Formel entspricht die $2,5x$ dem $a$ und die $3$ dem $b$. Um den Klammerterm nun auszurechnen, setzt man die Zahlen in die Fomel ${(a+b)^2}$ ein und erhält somit die Rechnung:

    ${(2,5x+3)^2=(2,5x+3)(2,5x+3)=(2,5x)^2+{2}\cdot2,5x\cdot{3}+9=6,25x^2+15x+9}$

    Zweite Aufgabe

    Bei dieser dritten binomischen Formel entspricht die $3x$ dem $a$ und die $5$ dem $b$. Um den Klammerterm nun auszurechnen, setzt man die Zahlen in die Fomel ${(a+b)(a-b)}$ ein und erhält somit die Rechnung:

    ${(3x+5)(3x-5)=(3x)^2-5^2=9x^2-25}$

  • Vervollständige die erste binomische Formel.

    Tipps

    Multipliziere beide Klammern zunächst aus. Dafür multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer einzeln mit jedem Summanden der zweiten Klammer.

    Fasse anschließend die Terme zusammen.

    Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Faktoren vertauschbar:

    $ab = ba$

    Lösung

    Um das Ergebnis der binomischen Formel herzuleiten, schreibt man die Potenz als Multiplikation aus. Wir multiplizieren also den Term mit der Klammer mit sich selbst.

    Nun multipliziert man aus, indem man jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem Summanden jeweils einzeln multipliziert und anschließend die Terme zusammenfasst.

    Zu beachten ist, dass ${a}\cdot{a}=a^2$, ${b}\cdot{b}=b^2$ und ${a}\cdot{b}={b}\cdot{a}$ ist.

    Lösungsformel

    ${(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a^2+ba+ab+b^2=a^2+2ab+b^2}$

  • Entscheide mit Hilfe der binomischen Formeln, ob die Rechnung korrekt ist.

    Tipps

    Beispiel für die erste binomische Formel:

    ${(3a+7)^2=(3a)^2+2\cdot3a\cdot7+7^2=9a^2+42a+49}$

    Beispiel für die zweite binomische Formel:

    ${(3a-7)^2=(3a)^2-2\cdot3a\cdot7+7^2=9a^2-42a+49}$

    Beispiel für die dritte binomische Formel:

    ${(3a+7)(3a-7)=(3a)^2-7^2=9a^2-49}$

    Lösung

    Lösen der binomischen Formeln

    Um die Klammerterme zu lösen, müssen sie genau der Struktur der binomischen Formeln entsprechen. Das heißt, dass die Zahlen und Terme sowie die Rechenzeichen exakt stimmen müssen.


    Die korrekten Rechnungen sind:

    • ${(2a+3)^2=(2a)^2+2\cdot2a\cdot3+3^2=4a^2+12a+9}$
    • ${(2a+3)(2a-3)=4a^2-9}$

    Die falschen Rechnungen sind:

    • ${(2a-3)^2=(2a)^2+2\cdot 2a\cdot 3 -3^2=4a^2+8a-9}$
    Hier sind die Rechenzeichen und die Berechnung der Terme falsch. ${2\cdot2\cdot4=12}$ und nicht $8$. Die richtige Lösung lautet:

    ${(2a-3)^2=(2a)^2-2\cdot2a\cdot3+3^2=4a^2-12a+9}$

    • ${(2a-3)(2a-3)=4a^2+9}$
    Hier ist die zweite binomische Formel dargestellt, allerdings in ausführlicher Schreibweise. Sie wurde beim Auflösen jedoch nicht angewendet. Wir können sie wie folgt auflösen:

    ${(2a-3)(2a-3)=(2a-3)^2=(2a)^2-2 \cdot 2a \cdot 3+9=4a^2-12a+9}$

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