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Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition

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Team Digital
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition

Inhalt

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen – Erklärung

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei linearen Gleichungen mit zwei oder mehr Unbekannten, den Variablen. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht in den meisten Fällen aus zwei linearen Gleichungen mit zwei unbekannten Größen. Häufig wird lineares Gleichungssystem mit LGS abgekürzt.

Was ist eine Gleichung mit zwei Variablen? Eine lineare Gleichung, in der es zwei unbekannte Größen gibt, ist eine Gleichung mit zwei Variablen. Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat mehrere Lösungen. Diese können rechnerisch oder grafisch ermittelt werden. Eine ausführliche Erklärung findest du im Video über lineare Gleichungen.

In dem folgenden Text wird das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme einfach erklärt.

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen aufstellen

Stellen wir aus der folgenden Textaufgabe nun ein lineares Gleichungssystem auf:
Hanna und Paul waren einkaufen. Beide haben Jeans und Pullover gekauft. Alle Pullover haben den gleichen Preis. Auch alle Jeans haben den gleichen Preis. Hanna hat $3$ Jeans und $2$ Pullover gekauft und dafür $60$ Euro gezahlt. Paul hat sich $4$ Jeans und einen Pullover gekauft und hat dafür $55$ Euro bezahlt. Wie hoch war der Preis für eine Jeans und wie hoch für einen Pullover?

Wir können daraus zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen aufstellen. Dieses lineare Gleichungssystem lautet:

$\text{I} \quad 3\,x + 2\,y = 60$
$\text{II} \quad 4\,x + y = 55$

Die Variable $x$ steht hierbei für den Preis der Jeans und die Variable $y$ für den Preis der Pullover. Auf der rechten Seite der Gleichung steht jeweils der Gesamtpreis. Die Gleichungen eines Gleichungssystems werden häufig mit römischen Ziffern beschriftet. So kann man beim Umstellen der Gleichungen immer noch sehen, welche die ursprüngliche Gleichung war.

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen lösen

Die Werte, die das Gleichungssystem lösen, müssen beide Gleichungen erfüllen. Nur dann handelt es sich um die Lösung des Gleichungssystems. Bei dem oben aufgestellten Gleichungssystem ist das Lösungswertepaar:

$x = 10, \quad y = 15$

Zur Überprüfung können wir die Werte in das Gleichungssystem einsetzen:

$\text{I} \quad 3 \cdot (10) + 2 \cdot (15) = 60$
$\text{II} \quad 4 \cdot (10) + (15) = 55$

Lösen wir die Gleichungen auf, so erhalten wir:

$\text{I} \quad 30 + 30 = 60$
$\text{II} \quad 40 + 15 = 55$

Da beide Aussagen wahr sind, handelt es sich bei diesem Wertepaar um die Lösung des Gleichungssystems. Um die Textaufgabe abzuschließen, müssen wir nun noch einen Antwortsatz formulieren. Dieser könnte lauten: Eine Jeans kostet $10$ Euro und ein Pullover $15$.

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen kann auch berechnet werden. Dafür gibt es verschiedene Verfahren.

Rechnerische Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme:

Mehr zu den einzelnen Verfahren lernst du in den entsprechenden Videos.

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zeichnerisch lösen

Ein Gleichungssystem kann auch grafisch gelöst werden. Dafür müssen beide Gleichungen zunächst nach $y$ aufgelöst werden. Die oben aufgestellten Gleichungen lauten nach $y$ aufgelöst:

$\text{I} \quad y = -1,5\,x + 30$
$\text{II} \quad y = -4\,x + 55$

Die Lösung der einzelnen Gleichungen können nun als Geraden im Koordinatensystem dargestellt werden.

lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen Mathe

Die Lösung des Gleichungssystems ist der Schnittpunkt beider Geraden. In der Grafik ist erkennbar, dass es sich um das Zahlenpaar $(10\vert 15)$ handelt.
Eine ausführliche Anleitung findest du im Video Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen.

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen – Lösungen

Das oben betrachtete Gleichungssystem besitzt eine Lösung. Es kann auch vorkommen, dass ein lineares Gleichungssystem keine Lösung besitzt. Für das folgende Beispiel existiert kein Wertepaar, das beide Gleichungen erfüllt.

$\text{I} \quad x + y = 5$
$\text{II} \quad 2\,y = -2\,x + 6$

Das ist auch erkennbar, wenn die Gleichungen grafisch dargestellt werden. Die Graphen liegen parallel zueinander, schneiden sich also in keinem Punkt.

Ein Gleichungssystem kann jedoch auch unendlich viele Lösungen besitzen. Das ist bei dem folgenden Gleichungssystem der Fall.

$\text{I} \quad 4\,x + 4\,y = 16$
$\text{II} \quad 2\,y = -2\,x + 8$

Lösen wir beide Gleichungen nach $y$ auf, so erhalten wir:

$\text{I} \quad y = -x + 4$
$\text{II} \quad y = -x + 4$

Beide Gleichungen sind identisch. Die Geraden der linearen Gleichungen liegen somit genau übereinander. Die Gleichungen besitzen unendlich viele gemeinsame Lösungen.

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zu linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen zusammen.

  • Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System aus meist zwei linearen Gleichungen, die jeweils die beiden gleichen Variablen besitzen.
  • Ein lineares Gleichungssystem kann grafisch oder mithilfe verschiedener Methoden rechnerisch gelöst werden.
  • Es kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzen. Gut erkennbar ist das an der grafischen Lösung des Gleichungssystems.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Aufgaben zum Thema Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen.

Transkript Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition

Hannah und Paul waren im Second Hand Laden shoppen. Vintage ist wieder voll im Trend, keine Frage. Außerdem waren Jeans und Pullis im Angebot, da haben sie ordentlich zugeschlagen! Am Ende wurde es dann doch wieder etwas teurer aber die beiden können sich nur noch daran erinnern, wie viel sie insgesamt gezahlt haben. Wie teuer war denn jetzt nochmal eine Jeans? Und wie viel haben sie für einen Pulli bezahlt? Die Antwort auf diese Fragen gibt uns ein „Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen“. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen. Daher sollten wir zunächst kurz wiederholen, was eine lineare Gleichung ist. Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen sieht zum Beispiel so aus. Die Variablen sind hier x und y. Eine solche Gleichung hat mehrere Lösungen. Diese lässt sich beispielsweise mit den Werten x gleich eins und y gleich null lösen. Wenn wir die entsprechenden Werte in unsere Gleichung einsetzen, ist sie erfüllt. Auch das Zahlenpaar x gleich drei und y gleich vier löst unsere Gleichung. Was wir durch Einsetzen leicht überprüfen können. Es gibt noch unendlich viele weitere Lösungen dieser Gleichung, die jeweils aus zwei Zahlen bestehen. Wir können uns die Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen auch grafisch veranschaulichen. Dafür lösen wir die Gleichung üblicherweise zunächst nach y auf. Nach wenigen Umformungsschritten erhalten wir „y gleich zwei x minus zwei“. Diese Form der Gleichung kennst du wahrscheinlich bereits als Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Fassen wir die Gleichung als eine solche Funktionsgleichung auf und zeichnen uns die entsprechende Gerade als Funktionsgraphen der Funktion in ein Koordinatensystem, dann erkennen wir, dass alle Lösungen der Funktion als Punkte auf der entsprechenden Geraden liegen. Jeder Punkt dieser Geraden erfüllt mit seinen Koordinaten die Gleichung und ist somit auch eine Lösung dieser Gleichung. So viel zu linearen Gleichungen mit zwei Variablen. Ein lineares Gleichungssystem besteht nun häufig aus zwei solcher Gleichungen. Wir können uns das an dem Einkauf von Hannah und Paul veranschaulichen. Hier war unsere Fragestellung, wie hoch der Preis für jeweils eine Jeans und für einen Pulli gewesen ist. Hannah hat drei Jeans und zwei Pullis für einen Preis von insgesamt sechzig Euro gekauft. Paul hat sich vier Jeans aber nur einen Pulli geholt und dafür fünfundfünfzig Euro bezahlt. Diese Angaben können wir in zwei lineare Gleichungen und somit in dieses lineare Gleichungssystem übersetzen. Das x steht dabei für den Preis der Hosen, das y für den Preis der Pullis, und auf der rechten Seite der Gleichungen steht der jeweilige Gesamtpreis. Zusammengenommen haben wir jetzt also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen. Es ist üblich, die Gleichungen eines Gleichungssystems mit römischen Ziffern zu beschriften. Die Werte, die wir für x und y einsetzen, müssen nun beide Gleichungen erfüllen, um als Wertepaar eine Lösung des ganzen Gleichungssystems zu sein. In unserem Beispiel ist das Wertepaar x gleich zehn und y gleich fünfzehn die Lösung des Gleichungssystems. Wenn wir die entsprechenden Werte einsetzen, sind beide Gleichungen erfüllt. Eine Jeans kostet also zehn Euro und ein Pulli fünfzehn Euro. Die Lösung des Gleichungssystems können wir uns erneut auch grafisch veranschaulichen. Dafür lösen wir zunächst beide Gleichungen nach y auf. Dann können wir die Lösungen der beiden einzelnen Gleichungen jeweils durch eine Gerade im Koordinatensystem darstellen.
Der Schnittpunkt beider Geraden gibt dann genau das Zahlenpaar an, das beide Gleichungen löst, also auch die Lösung unseres Gleichungssystems ist. Ein lineares Gleichungssystem muss allerdings nicht immer eine Lösung besitzen. Dieses Gleichungssystem hat zum Beispiel keine Lösung. Das können wir uns erneut grafisch veranschaulichen, nachdem wir die Gleichungen nach y aufgelöst haben. Die Graphen der beiden Gleichungen sind parallel zueinander, haben daher keinen Schnittpunkt und somit auch keine gemeinsame Lösung. Außerdem kann ein lineares Gleichungssystem auch unendlich viele Lösungen haben. Zum Beispiel dieses Gleichungssystem. Wenn wir beide Gleichungen nach y auflösen, sehen wir, dass die beiden Gleichungen identisch sind. Die zugehörigen Geraden der linearen Gleichungen liegen also genau aufeinander. Somit gibt es in diesem Fall unendlich viele gemeinsame Lösungen. Wir können ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen auch rein rechnerisch lösen. Dazu verwenden wir das Gleichsetzungs-, das Einsetzungs- oder das Additionsverfahren. Wie genau das funktioniert, erfährst du in den weiterführenden Videos. Wir fassen das Gelernte aber erstmal kurz zusammen. Wenn zwei lineare Gleichungen für zwei Variablen erfüllt sein müssen, sprechen wir von einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen. Ein solches lineares Gleichungssystem kann entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben. Welcher der drei Fälle vorliegt, können wir erkennen, indem wir die Lösung des Gleichungssystems grafisch darstellen. Na wenn das geklärt ist, können sich Hannah und Paul ja auch wieder voll und ganz der Mode widmen.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. voll Coll

    Von Leonhard, vor 8 Monaten
  2. (͠≖ ͜ʖ͠≖)👌 tolles video

    Von Issy, vor 8 Monaten
  3. Mein Lehrer braucht 2 Stunden um das zu erklären ihr nur 6 min 😂

    Von VOLDEMORT , vor 8 Monaten
  4. Wow voll cool

    Von VOLDEMORT , vor 8 Monaten

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Lösung des Gleichungssystems an.

    Tipps

    Für eine lineare Gleichung $y=m \cdot x + b$ gilt:

    $m$ ist die Steigung.

    $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

    Du kannst die Gleichungen nach $y$ auflösen, um sie dir als Gerade im Koordinatensystem zu veranschaulichen.

    Beispiel zum Umstellen einer Gleichung nach $y$:

    $\begin{array}{rrlll} 3x+6y & = & 6 & |-3x \\ 6y & = & -3x+6 & |:6 & \\ y &= & -0,5x+1 & & \\ \end{array}$

    Lösung

    Für eine lineare Gleichung $y=m \cdot x + b$ gilt:

    $m$ ist die Steigung.

    $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

    Wir lösen zunächst beide Gleichungen nach $y$ auf:

    $\text{I}:~~$ $\begin{array}{llll} 4x+4y& = &16 & |-4x \\ 4y& = &-4x+16 & |:4 \\ y& = &-x+4 & \\ \end{array}$

    $\text{II}:~~$ $\begin{array}{llll} 2y& = &-2x+8 & |:2 \\ y& = &-x+4 & \\ \end{array}$

    Wir vergleichen die beiden Funktionsgleichungen:

    $\text{I}:~~~y=-x+4$
    $\text{II}:~~y=-x+4$

    Dabei stellen wir fest, dass beide Funktionsgleichungen identisch sind. Wir können sie auch schreiben als:
    $y=-1 \cdot x+4$
    Somit können wir ablesen, dass die Steigung $-1$ und der $y$-Achsenabschnitt $4$ ist.
    Da beide Gleichungen identisch sind, liegen die zugehörigen Geraden übereinander und haben unendlich viele gemeinsame Punkte.

    Das lineare Gleichungssystem hat somit unendlich viele Lösungen.

  • Vervollständige den Text zu linearen Gleichungssystemen.

    Tipps

    $3x+4y=14$ ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

    Können wir das Gleichungssystem durch zwei Geraden darstellen, die sich in einem Punkt schneiden, so ist dieser Schnittpunkt die einzige Lösung des Gleichungssystems.

    Lösung

    Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen.

    Lineare Gleichungen:
    Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen kann zum Beispiel so aussehen:
    $4x+2y=6$
    $x$ und $y$ sind hierbei die Variablen.
    Eine solche lineare Gleichung hat immer mehrere Lösungen.
    Wir können die Gleichung als Gerade im Koordinatensystem darstellen. Dazu lösen wir die Gleichung nach $y$ auf:
    $y=-2x+3$
    Alle Wertepaare $(x\vert y)$, welche Lösung der Gleichung sind, liegen als Punkte auf der Geraden.

    Lineare Gleichungssysteme:
    Ein lineares Gleichungssystem, welches aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen besteht, kann eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. Welcher der drei Fälle vorliegt, können wir erkennen, wenn wir die Lösung des Gleichungssystems graphisch darstellen. Dazu lösen wir wieder beide Gleichungen nach $y$ auf. Die linearen Funktionsgleichungen, die wir so erhalten zeichnen wir dann als Geraden in ein Koordinatensystem.
    Wir unterscheiden:

    • Fall 1: Die beiden Geraden schneiden sich. Das zugehörige Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Der Schnittpunkt stellt die Lösung dar.
    • Fall 2: Die beiden Geraden verlaufen parallel. Das zugehörige Gleichungssystem hat keine Lösung, da sich die beiden Geraden nicht schneiden.
    • Fall 3: Die beiden Geraden liegen übereinander. Das zugehörige Gleichungssystem hat unendlich viele Lösung, da beide Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte haben.
  • Überprüfe, ob das lineare Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.

    Tipps

    Schreibe beide Gleichungen so um, dass du sie als Funktionsgleichung einer linearen Funktion interpretieren kannst.

    Lösung

    Wir lösen zunächst die erste Gleichung nach $y$ auf:

    $\text{I}:~~8x+2y=10$

    $\begin{array}{llll} 8x+2y& = &10 & |-8x \\ 2y& = &-8x+10 & |:2 \\ y& = &-4x+5 & \\ \end{array}$

    Die zweite Gleichung ist schon nach $y$ aufgelöst.
    Wir vergleichen die beiden Funktionsgleichungen:

    $\text{I}:~~~y=-4x+5$
    $\text{II}:~~y=-4x+3$

    Beide Gleichungen haben die gleiche Steigung, nämlich $-4$.
    Die erste Gleichung hat den $y$-Achsenabschnitt $3$, die zweite Gleichung hat den $y$-Achsenabschnitt $5$.
    Die beiden Geraden verlaufen also parallel und haben keinen Schnittpunkt. Somit hat das Gleichungssystem keine Lösung.

  • Entscheide, welche Graphen das lineare Gleichungssystem veranschaulichen.

    Tipps

    Forme zunächst beide Gleichungen nach $y$ um.

    Wenn die beiden linearen Funktionen eine unterschiedliche Steigung haben, so schneiden sich die Graphen in einem Punkt.

    Wenn die beiden linearen Funktionen die gleiche Steigung haben und einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt, so verlaufen die Graphen parallel.

    Wenn die beiden linearen Funktionen die gleiche Steigung und den gleichen y-Achsenabschnitt haben, so sind die Graphen identisch.

    Lösung

    Wir lösen zunächst beide Gleichung nach $y$ auf:

    $\text{I}:~~$$\begin{array}{llll} 6y-4x& = &6 & |+4x \\ 6y& = &4x+6 & |:6 \\ y& = &\frac{2}{3}x+1 & \\ \end{array}$

    $\text{II}:~~\begin{array}{llll} 3y& = &2x & |-:3 \\ y& = &\frac{2}{3}x & \\ \end{array}$

    Wir vergleichen die beiden Funktionsgleichungen:

    $\text{I}:~~~y=\frac{2}{3}x+1$
    $\text{II}:~~y=\frac{2}{3}x$

    Beide Gleichungen haben die gleiche Steigung, nämlich $\frac{2}{3}$. Daher steigen beide Geraden und sind parallel zueinander.
    Die erste Gleichung hat den $y$-Achsenabschnitt $1$, dies entspricht der roten Gerade im letzten Bild. Die zweite Gleichung hat den $y$-Achsenabschnitt $0$, die Gerade verläuft also durch den Ursprung, dies entspricht der grünen Gerade im letzten Bild.

    In Bild $1$ und $3$ sind die Geraden nicht parallel, sie passen also nicht zu dem gegebenen Gleichungssystem.
    In Bild $2$ sind die beiden Geraden fallend, sie haben also eine negative Steigung und passen somit auch nicht zu dem gegebenen Gleichungssystem.

  • Gib an, ob die gegebenen Wertepaare Lösungen der Gleichung sind.

    Tipps

    Wenn du die Werte für $x$ und $y$ einsetzt, kannst du überprüfen, ob die Gleichung stimmt.

    $x=3$ und $y=2$ ist Lösung der Gleichung

    $3x-4y=1$,

    weil gilt:

    $3\cdot 3 - 4 \cdot 2 = 9-8=1$

    Lösung

    Wir überprüfen, ob die gegebenen Werte Lösungen der Gleichung sind, indem wir die Zahlen für $x$ und $y$ in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung stimmt:

    $x=1$ und $y=0$:
    $\begin{array}{rrr} 4x-2y & = & 4 & \\ 4 \cdot 1-2 \cdot 0 & = & 4 & \\ 4-0 & = & 4 & \\ 4 & = & 4 & \\ \end{array}$
    Die beiden Werte sind eine Lösung der Gleichung.

    $x=2$ und $y=2$:
    $\begin{array}{rrr} 4x-2y & = & 4 & \\ 4 \cdot 2-2 \cdot 2 & = & 4 & \\ 8-4 & = & 4 & \\ 4 & = & 4 & \\ \end{array}$
    Die beiden Werte sind eine Lösung der Gleichung.

    $x=5$ und $y=0$:
    $\begin{array}{rrr} 4x-2y & = & 4 & \\ 4 \cdot 5-2 \cdot 0 & \neq & 4 & \\ 20-0 & \neq & 4 & \\ 20 & \neq & 4 & \\ \end{array}$
    Die beiden Werte sind keine Lösung der Gleichung.

    $x=3$ und $y=4$:
    $\begin{array}{rrr} 4x-2y & = & 4 & \\ 4 \cdot 3-2 \cdot 4 & = & 4 & \\ 12-8 & = & 4 & \\ 4 & = & 4 & \\ \end{array}$
    Die beiden Werte sind eine Lösung der Gleichung.

  • Erstelle ein lineares Gleichungssystem zu der Situation und löse es.

    Tipps

    Lege zuerst fest, wofür die Variablen $x$ und $y$ stehen. Lies dazu nach, welche Größen gesucht sind.

    Jede Aussage im Aufgabentext kannst du durch eine mathematische Gleichung ausdrücken.

    Beachte, dass jedes Kaninchen $4$ Beine und jede Gans $2$ Beine hat.

    Lösung

    Wir ordnen zuerst die Variablen zu:

    $x$: Anzahl der Kaninchen
    $y$: Anzahl der Gänse
    (x und y können auch vertauscht sein)

    Wir wissen, dass ein Kaninchen $4$ Beine hat und eine Gans $2$. Daher haben $x$ Kaninchen $4 \cdot x$ und $y$ Gänse $2 \cdot y$ Beine. Zusammen sind das dann $4x + 2y$ Beine. Wir wissen außerdem, dass insgesamt $36$ Beine durch das Gehege laufen. Somit gilt:
    $\text{I}:~~~4x+2y=36$

    Die Gesamtanzahl der Tiere drückt der Term $x+y$ aus. Insgesamt sind es $13$ Tiere. Somit gilt:
    $\text{II}:~~x+y=13$

    Das Gleichungssystem lautet:
    $\text{I}:~~~4x+2y=36$
    $\text{II}:~~x+y=13$

    Wir betrachten noch die Lösung:
    Es gibt $5$ Kaninchen und $8$ Gänse, also $x=5$ und $y=8$.

    Dieses Wertepaar erfüllt beide Gleichungen:
    $\text{I}:~~~4\cdot 5 + 2 \cdot 8 = 20 + 16 =36$
    $\text{II}:~~5+8=13$

    Außerdem ist es der Schnittpunkt der beiden linearen Funktionen $y = -x + 13$ und $y = -2x + 18$, die sich ergeben, wenn wir beide Gleichungen nach $y$ auflösen.

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