Erwartungswert

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Grundlagen zum Thema Erwartungswert
Der Erwartungswert in Mathe
Du hast bestimmt schon einmal vom Erwartungswert eines Zufallsversuchs gehört – aber, was ist das eigentlich?
Einfach gesagt gibt der Erwartungswert an, welches Ergebnis man im Mittel bei einem Zufallsexperiment erhält. Im Mittel bedeutet, dass man bei einzelnen Durchführungen durchaus unterschiedliche Ergebnisse erzielt. Aber nach einer ausreichend großen Anzahl von Durchführungen wird sich der Mittelwert immer dem Erwartungswert annähern.
Beispiel – Glücksrad:
Ein Glücksrad hat drei Felder, die jeweils ein Drittel der Fläche ausmachen. Um drehen zu dürfen, müssen wir $2~€$ bezahlen. Landet der Zeiger auf dem ersten Feld, bekommen wir $3~€$ zurück, machen also $1~€$ Gewinn, auf dem zweiten sind es $2~€$, wir machen also weder Gewinn noch Verlust und beim letzten bekommen wir gar nichts, verlieren also die ganzen $2~€$. Mit dem Erwartungswert können wir berechnen, ob wir nach mehreren Versuchen im Mittel Gewinn oder Verlust machen. Dazu multiplizieren wir jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit, und addieren die Produkte. Bei unserem Glücksrad hat jedes Ergebnis eine Eintrittswahrscheinlichkeit von einem Drittel, also:
$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2 = - \frac{1}{3} \approx - 0,33$
Wir müssen also erwarten, dass wir nach vielen Versuchen im Mittel pro Spiel $33~\text{Cent}$ verlieren – das ist gerade der Erwartungswert dieses Glücksspiels.
Erwartungswert – Definition
Der Erwartungswert kann im Allgemeinen mit der folgenden Formel berechnet werden:
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_m \cdot P(X=x_m)$
In dieser Gleichung steht $E(X)$ für den Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$. Die Variablen $x_i$ sind die möglichen Ergebnisse, also $x_1, x_2, x_3$ und so weiter. Beim Glücksrad waren das die möglichen Gewinne. $P(X=x_i)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das jeweilige Ergebnis $x_i$. Beim Glücksrad war $P$ also für jedes Ergebnis gleich und zwar $\frac{1}{3}$. Mit dieser Formel können wir für jedes Zufallsexperiment mit unabhängigen Wahrscheinlichkeiten den Erwartungswert berechnen.
Ausblick
Wichtige Erwartungswerte
Einige Verteilungen haben spezielle Erwartungswerte, die direkt ablesbar sind.
1.) Der Erwartungswert der Bernoulli-Verteilung
Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man Zufallsversuche, die genau zwei mögliche Ergebnisse haben: Erfolg und Misserfolg. Dabei gilt:
$P(\text{Erfolg}) = p$
$P(\text{Misserfolg}) = 1-p$
Hier kann der Erwartungswert direkt abgelesen werden. Für Erfolg ist er genau $p$. Bei einem Münzwurf ist der Erwartungswert für Zahl beispielsweise genau $\frac{1}{2}$.
2.) Der Erwartungswert der Binomialverteilung
Mit der Binomialverteilung beschreibt man Bernoulli-Experimente, die $n$-mal durchgeführt werden. Man spricht auch von Bernoulli-Ketten. Für die Wahrscheinlichkeit von $k$ Treffern bei $n$ Versuchen gilt:
$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} ~ ~ ~ \text{mit: } p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n] $
Der Erwartungswert kann hier wie folgt berechnet werden:
$E(X) = n \cdot p$
Erwartungswert Übung
-
Vervollständige die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinne.
TippsAnzahl der Felder einer Farbe:
Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.Wenn bei einem Glücksrad $5$ von $8$ Feldern rot sind, ist die Wahrscheinlichkeit für rot:
$P(\text{rot}) = \dfrac{5}{8}$
LösungSo geben wir die Wahrscheinlichkeit $P$ (englisch: probability) für eine Farbe als Bruch an:
- Anzahl der Felder einer Farbe: Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.
- Anzahl aller Felder: Diese Zahl steht im Nenner (= unten) des Bruchs.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Euro beträgt $\color{#99CC00}{\frac{6}{12}}$, da insgesamt $6$ von $12$ Feldern blau sind.
Die Wahrscheinlichkeit für den $3$-Euro-Gewinn beträgt $\color{#99CC00}{\frac{4}{12}}$, da $4$ von $12$ Feldern rot sind.
Die Wahrscheinlichkeit, fünf Euro zu gewinnen, liegt bei $\color{#99CC00}{\frac{2}{12}}$, da nur $2$ von $12$ Feldern gelb sind. -
Bestimme den Erwartungswert.
TippsDie Zahlen für die erste Zeile findest du in der Tabelle.
Beispiel Berechnung Erwartungswert:
$ E (X) = - 3 \cdot 0,\!1 + 2 \cdot 0,\!2 + (-1) \cdot 0,\!3$
$ E (X) = - 0,\!3 ~+~ 0,\!4 ~-~ 0,3\!$
$ E (X) = - 0,\!2$
LösungUm den Erwartungswert eines Ereignisses zu berechnen, brauchen wir folgende Formel:
$E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + ... + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$
Im ersten Schritt stellen wir die Multiplikation der Zufallsgröße ($x$) mit ihrer entsprechenden Wahrscheinlichkeit auf:
$E (X) = - 5 \cdot \color{#99CC00}{0,\!2} \color{black}{~+~} (-2) \cdot 0,\!1 + 0 \cdot \color{#99CC00}{0,\!4} \color{black}{~+~} 1 \cdot 0,\!2 + \color{#99CC00}{10} \color{black}{~\cdot~} 0,\!1$
Im nächsten Schritt berechnen wir die Multiplikationsaufgaben, denn es gilt Punkt vor Strich:
$E (X) = \quad \color{#99CC00}{-1} \quad \color{black}{-} \quad 0,\!2 \quad + \quad \color{#99CC00}{0} \quad \color{black}{+} \quad 0,\!2 \quad + \quad \color{#99CC00}{1}$
Nun müssen wir die Zahlen nur noch addieren bzw. subtrahieren. Als Endergebnis erhalten wir:
$E (X) =~ \color{#99CC00}{0}$
Der Erwartungswert liegt bei $0$. Das bedeutet, wir erwarten einen Gewinn von $0$.
-
Berechne den Erwartungswert.
TippsEs gilt Punkt vor Strich:
- zuerst die Multiplikationsaufgaben lösen
- danach die Teilergebnisse addieren
Beispiel:
$\begin{array}{l|c|c|c} x_i & 4 & 2 & 1 \\ \hline P(X = x_i) & 0,\!1 & 0,\!2 & 0,\!3 \end{array}$
$E(X) = 4 \cdot 0,\!1 + 2 \cdot 0,\!2 + 1 \cdot 0,\!3 = 1,\!1$
LösungBei einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnest du den Erwartungswert, indem du jede der Ausprägungen $x_i$ mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X = x_i)$ multiplizierst und die Ergebnisse addierst.
Beispiel 1
$\begin{array}{rrrrr} 0,\!5 \cdot 2 & + & 0,\!3 \cdot 3 & + & 0,\!2 \cdot 5 & = \\ 1 & + & 0,\!9 & + & 1 & = \\ & & & & \underline{\underline{2,\!9}} \end{array}$
Beispiel 2
$\begin{array}{rrrr} 0,\!1 \cdot 4 & + & 0,\!7 \cdot 2 & + & 0,\!2 \cdot 8 & = \\ 0,\!4 & + & 1,\!4 & + & 1,\!6 & = \\ & & & & \underline{\underline{3,\!4}} \end{array}$
Beispiel 3
$\begin{array}{rrrr} 0,\!3 \cdot 2 & + & 0,\!3 \cdot 5 & + & 0,\!4 \cdot 6 & = \\ 0,\!6 & + & 1,\!5 & + & 2,\!4 & = \\ & & & & \underline{\underline{4,\!5}} \end{array}$
Beispiel 4
$\begin{array}{rrrr} 0,\!5 \cdot 3 & + & 0,\!1 \cdot 9 & + & 0,\!4 \cdot 2 & = \\ 1,\!5 & + & 0,\!9 & + & 0,\!8 & = \\ & & & & \underline{\underline{3,\!2}} \end{array}$
-
Entscheide, bei welchem Zufallsversuch der zu erwartende Gewinn am höchsten ist.
TippsBestimme jeweils zunächst die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben.
Subtrahiere den Einsatz von dem ausgezahlten Betrag, um den Gewinn bzw. Verlust zu ermitteln.
Beispielweise liegt bei einem Einsatz von $2\,€$ und einer Auszahlung von $5\,€$ ein Gewinn von $5\,€ - 2\,€ = 3\,€$ vor. Beträgt die Auszahlung bei gleichem Einsatz dagegen $1\,€$, so entspricht dies einem „Gewinn“ von $1\,€ - 2\,€ = -1\,€$, also einem Verlust von $1\,€$.
Mit dem Erwartungswert können wir dann berechnen, wie viel Gewinn oder Verlust wir nach mehreren Versuchen im Mittel machen. Dazu multiplizieren wir jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit und addieren die Produkte.
LösungEinfach gesagt gibt der Erwartungswert an, welches Ergebnis im Mittel du bei einem Zufallsexperiment erhältst.
In unserem Beispiel ziehen wir eine Kugel aus einer Urne. Da wir zu Beginn des Glücksspiels einen Einsatz bezahlen, müssen wir den Gewinn bzw. Verlust berechnen, indem wir den Einsatz von dem ausgezahlten Betrag abziehen. Außerdem bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die jeweilige Farbe.
Mit dem Erwartungswert können wir dann berechnen, ob wir nach mehreren Versuchen im Mittel Gewinn oder Verlust machen. Dazu multiplizieren wir jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit und addieren die Produkte. Erhalten wir ein positives Ergebnis, sprechen wir von einem Gewinn. Ist das Ergebnis negativ, gehen wir von einem Verlust aus.Beispiel 1
$3$ rote, $5$ gelbe, $12$ blaue Kugeln
rot: $10\,€ - 5\,€ = +5\,€ \hspace{2em}$ gelb: $2\,€ - 5\,€ = -3\,€ \hspace{2em}$ blau: $1\,€ - 5\,€ = -4\,€$${P(\text{rot}) = \dfrac{3}{20}} \hspace{6em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{4}{20}} \hspace{5em} {P(\text{blau}) = \dfrac{12}{20}}$
$E(X)= +5\,€ \cdot \dfrac{3}{20} + (-3\,€) \cdot \dfrac{5}{20} + (-4\,€) \cdot \dfrac{12}{20} = -2{,}40\,€$
Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $2,\!40~€$.
Beispiel 2
$5$ rote, $8$ gelbe, $2$ blaue Kugeln
rot: $4\,€ - 3\,€ = +1\,€ \hspace{2em}$ gelb: $2\,€ - 3\,€ = -1\,€ \hspace{2em}$ blau: $0\,€ - 3\,€ = -3\,€$${P(\text{rot}) = \dfrac{5}{15}} \hspace{6em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{8}{15}} \hspace{5em} {P(\text{blau}) = \dfrac{2}{15}}$
$E(X)= +1\,€ \cdot \dfrac{5}{15} + (-1\,€) \cdot \dfrac{8}{15} + (-3\,€) \cdot \dfrac{2}{15} = -0{,}60\,€$
Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $0,\!60~€$.
Beispiel 3
$2$ rote, $7$ gelbe, $1$ blaue Kugeln
rot: $1\,€ - 1\,€ = 0\,€ \hspace{2em}$ gelb: $0{,}50\,€ - 1\,€ = -0{,}50\,€ \hspace{2em}$ blau: $2\,€ - 1\,€ = +1\,€$${P(\text{rot}) = \dfrac{2}{10}} \hspace{5em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{7}{10}} \hspace{8em} {P(\text{blau}) = \dfrac{1}{10}}$
$E(X)= 0\,€ \cdot \dfrac{2}{10} + (-0{,}50\,€) \cdot \dfrac{7}{10} + 1\,€ \cdot \dfrac{1}{10} = -0{,}25\,€$
Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $0,\!25~€$.
Beispiel 4
$100$ rote, $30$ gelbe, $70$ blaue Kugeln
rot: $10\,€ - 20\,€ = -10\,€ \hspace{2em}$ gelb: $100\,€ - 20\,€ = +80\,€ \hspace{2em}$ blau: $15\,€ - 20\,€ = -5\,€$${P(\text{rot}) = \dfrac{100}{200}} \hspace{7em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{30}{200}} \hspace{6em} {P(\text{blau}) = \dfrac{70}{200}}$
$E(X)= -10\,€ \cdot \dfrac{100}{200} + 80\,€ \cdot \dfrac{30}{200} + (-5\,€) \cdot \dfrac{70}{200} = +5{,}25\,€$
Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Gewinn von $5,\!25~€$.
Da $~ -2,\!4 \lt -0,\!6 \lt -0,\!25 \lt 5,\!25$ gilt, entspricht dies der Reihenfolge der Versuche nach aufsteigendem Gewinn.
-
Stelle die Wahrscheinlichkeiten für die Farben dar.
TippsZähle, wie viele Felder eines Glücksrads blau oder grün sind.
Beispiel:
$P (\text{gelb}) = \dfrac{3}{4} \rightarrow$ weil $3$ von $4$ Feldern gelb sind
LösungSo geben wir die Wahrscheinlichkeit $P$ (englisch: probability) für eine Farbe als Bruch an:
- Anzahl der Felder einer Farbe: Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.
- Anzahl aller Felder: Diese Zahl steht im Nenner (= unten) des Bruchs.
Nachfolgend siehst du die richtigen Zuordnungen:
1. Glücksrad: $P (\text{blau})~= \dfrac{5}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{1}{6}$
2. Glücksrad: $P (\text{blau})~=\dfrac{2}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{4}{6}$
3. Glücksrad: $P (\text{blau})~=\dfrac{4}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{2}{6}$
-
Bestimme fehlende Werte zur Berechnung des Erwartungswertes der beiden Glücksräder.
TippsÜberlege, wie die einzelnen Summanden für den Erwartungswert berechnet werden.
Beispiel:
$\text{E (X)} = \dfrac{3}{10} \cdot 2 + \dfrac{7}{10} \cdot 2 = \dfrac{6}{10} + \dfrac{14}{10}$
- $\dfrac{6}{10} = 0,\!6$
- $\dfrac{14}{10} = 1,\!4$
Lösung1. Glücksrad
$\rightarrow$ gegeben: Anzahl der farbigen Felder sowie deren Gewinne:
- vier blaue Felder, Gewinn: $2\,€$
- fünf gelbe Felder, Gewinn: $4\,€$
- ein rotes Feld, Gewinn: $8\,€$
Zuerst musst du die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe mithilfe eines Bruchs bestimmen:
- Da das Glücksrad insgesamt zehn Felder hat, steht im Nenner (= unten) des Bruchs auf jeden Fall die Zahl $10$.
- Im Zähler (= oben) steht nun die Anzahl der Felder der jeweiligen Farbe.
Somit ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgendermaßen:
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ vier Felder sind blau: $\text{P(blau)}$ $= \dfrac{4}{10}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ fünf Felder sind gelb: $\text{P(gelb)}$ $=\dfrac{5}{10}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ ein Feld ist rot: $\text{P(rot)}$ $=\dfrac{1}{10}$
Im nächsten Schritt stellst du die Gleichung für die Berechnung des Erwartungswertes auf:
$\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{\dfrac{4}{10} \cdot 2} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{\dfrac{5}{10} \cdot 4} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{\dfrac{1}{10} \cdot 8}$
Nun musst du die Multiplikationsaufgaben berechnen:
$\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{\dfrac{8}{10}} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{\dfrac{20}{10}} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{\dfrac{8}{10}} $
Und noch in eine Dezimalzahl umrechnen: Steht im Nenner eine $10$, verschiebst du das Komma des Zählers einfach um eine Stelle nach links, der Nenner fällt weg. Somit lauten die Teilergebnisse wie folgt:
$\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{0,\!8} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{2} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{0,\!8}$
Addierst du diese drei Zahlen jetzt noch, erhältst du den Erwartungswert dieses Glücksrads:
$\text{E(X)} = 3,\!6$
2. Glücksrad
$\rightarrow$ gegeben: Anzahl der farbigen Felder (drei blaue, zwei gelbe, fünf rote)
$\rightarrow$ gesucht: Gewinn für die jeweilige Farbe
Zunächst musst du die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe mithilfe eines Bruchs bestimmen:
- Da das Glücksrad insgesamt zehn Felder hat, steht im Nenner (= unten) des Bruchs auf jeden Fall die Zahl $10$.
- Im Zähler (= oben) steht nun die Anzahl der Felder der jeweiligen Farbe.
Demnach ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgendermaßen:
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ drei Felder sind blau: $\text{P(blau)}$ $= \dfrac{3}{10}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ zwei Felder sind gelb: $\text{P(gelb)}$ $=\dfrac{2}{10}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ fünf Felder sind rot: $\text{P(rot)}$ $=\dfrac{5}{10}$
Im nächsten Schritt stellst du die Gleichung für die Berechnung des Erwartungswertes auf. Hierbei wird die Zufallsgröße (also der Gewinn) mit Variablen dargestellt, denn diese kennen wir nicht:
$\text{E(X)}$ $= \dfrac{3}{10} \cdot x_{1}+ \dfrac{2}{10} \cdot x_{2} + \dfrac{5}{10} \cdot x_{3}$
Das Ganze kannst du jetzt auch in Dezimalzahlen darstellen. Daher rechnest du die Brüche in Dezimalzahlen um. Steht im Nenner eine $10$, verschiebst du das Komma des Zählers einfach um eine Stelle nach links, der Nenner fällt weg. Somit lautet die Formel wie folgt:
$\text{E(X)}$ $= 0,\!3 \cdot x_{1}+ 0,\!2 \cdot x_{2} + 0,\!5 \cdot x_{3}$
Nun kommt der interessante Teil: das Herausfinden der Gewinne (also die Variablen) der jeweiligen Farben. Das gelingt dir, indem du den bereits errechneten Erwartungswert nutzt, um rückwärts zu rechnen. Du weißt aus der Aufgabe heraus schließlich bereits Folgendes:
$\text{E(X)}$ $= \quad \color{#0066FF}{0,\!9} \quad \color{black}{+} \quad \color{#FFCC00}{1} \quad \color{black}{+} \quad \color{#FF3300}{0,\!5} \quad \color{black}{= ~2,\!4}$
Du schreibst die Rechnungen und die jeweiligen Ergebnisse direkt untereinander:
$\begin{array}{lllllll} \text{E(X)} & = & \color{#0066FF}{0,\!3 \cdot x_{1}} & + & \color{#FFCC00}{0,\!2 \cdot x_{2}} & + & \color{#FF3300}{0,\!5 \cdot x_{3}} \\ \text{E(X)} & = & \color{#0066FF}{0,\!9} & + & \color{#FFCC00}{1} & + & \color{#FF3300}{0,\!5} & = & 2,\!4 \end{array}$
Jetzt musst du nur noch überlegen, welche Zahlen für die Variablen eingesetzt werden müssen, um die genannten Teilergebnisse zu erhalten. Du rechnest also rückwärts:
$\begin{array}{lclcll} 0,\!3 \cdot x_{1} &=& 0,\!9 &\Rightarrow& x_1 = 0,\!9 : 0,\!3 &= \color{#0066FF}{3} \\ 0,\!2 \cdot x_{2} &=& 1 &\Rightarrow& x_2 = 1 : 0,\!2 &= \color{#FFCC00}{5} \\ 0,\!5 \cdot x_{3} &=& 0,\!5 &\Rightarrow& x_3 = 0,\!5 : 0,\!5 &= \color{#FF3300}{1} \end{array}$
Die Gewinne für die jeweiligen Farben betragen also:
- blaues Feld: $3\,€$
- gelbes Feld: $5\,€$
- rotes Feld: $1\,€$
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