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Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Team Digital
Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Grundlagen zum Thema Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Inhalt

Einführung: Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Wahrscheinlichkeitsverteilungen kommen in Mathe zum Beispiel bei der Beschreibung von Zufallsexperimenten vor. Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments ist stets $1$. Diese Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich auf die einzelnen Ergebnisse des Experiments. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsexperiments beschreibt, wie genau sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf die einzelnen Ergebnisse verteilt.

Häufig lassen sich die Ergebnisse eines Zufallsexperiments zu Ereignissen zusammenfassen. In diesem Fall verteilt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf die Ereignisse, deren Teilmengen und schließlich auf die einzelnen Ergebnisse oder die Elementarereignisse. In diesem Video wird dir eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach erklärt: Du erfährst, wie eine solche Verteilung zustande kommt und wie du sie berechnen kannst.

Wahrscheinlichkeitsverteilung – Definition

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments gibt an, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ auf die Ergebnisse des Zufallsexperiments verteilt. Um eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen oder berechnen zu können, muss man die Ergebnisse des Zufallsexperiments genau kennen. In den meisten Fällen berechnet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Annahmen über die Ereignisse des Zufallsexperiments. Wir erklären dir hier die Verteilung anhand eines rein hypothetischen Zufallsexperiments mit willkürlich gewählten Annahmen über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. In den meisten Fällen verwendet man statt willkürlicher Annahmen aber plausible Annahmen oder genaue Kenntnisse der Ereignisse des Zufallsexperiments.

Wie stellt man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf?

Wir beginnen mit einem Beispiel und beschreiben ein Zufallsexperiment mit drei Ereignissen $A$, $B$ und $C$, die disjunkt sind, das heißt, dass sie keine gemeinsamen Ergebnisse haben. Außerdem nehmen wir an, dass jedes Ergebnis des Zufallsexperiments zu einer der drei Mengen $A$, $B$ und $C$ gehört. In diesem Fall verteilt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit von $1$ auf die drei Mengen $A$, $B$ und $C$. Wir nehmen an, die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ haben alle dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{3}$. Wir können diese Aufteilung in der ersten Stufe eines Baumdiagramms darstellen: Das Diagramm besteht aus drei Ästen mit einer gemeinsamen Wurzel und jeder Ast hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$.

Beispiel Wahrscheinlichkeitsverteilung

Nun nehmen wir an, dass die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ jeweils aus Teilereignissen bestehen. Das Ereignis $A$ teilt sich in die Ereignisse $A_1$, $A_2$ und $A_3$ auf, das Ereignis $B$ in die Ereignisse $B_1$ und $B_2$ und $C$ schließlich in $C_1$ und $C_2$. Die Wahrscheinlichkeit jedes der Ereignisse $A$, $B$ und $C$ verteilt sich auf die Teilereignisse. Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit von $A$ verteilt sich zu je $\frac{1}{5}$ auf $A_1$ und $A_3$ und zu $\frac{3}{5}$ auf $A_2$. Dies können wir im Baumdiagramm darstellen durch drei Äste, die von dem Ast $A$ ausgehen und die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{5}$ und $\frac{3}{5}$ und $\frac{1}{5}$ tragen. Wie bei $A$ verteilt sich auch die Wahrscheinlichkeit von $B$ auf die Teilereignisse – zu $\frac{1}{4}$ auf $B_1$ und zu $\frac{3}{4}$ auf $B_2$. Für das Ereignis $C$ schließlich nehmen wir eine Verteilung von jeweils $\frac{1}{2}$ auf $C_1$ und $C_2$ an. Wir stellen diese Aufteilung der Wahrscheinlichkeiten durch Äste im Baumdiagramm dar, die von den Ästen $A$, $B$ und $C$ ausgehen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung Tabelle

Die Aufteilung dieser Wahrscheinlichkeiten ist ein rein hypothetisches Beispiel: Wir haben die Wahrscheinlichkeiten nicht berechnet, sondern angenommen.

Nehmen wir nun weiter an, dass sich die Wahrscheinlichkeit der Teilereignisse $A_1$, $A_2$, $A_3$ … auf die Ergebnisse verteilt, aus denen diese Ereignisse bestehen. Das Ereignis $A_1$ besteht zum Beispiel aus den Ergebnissen $c$ und $d$. Wir verteilen die Wahrscheinlichkeit von $A_1$ zu $\frac{1}{3}$ auf $c$ und zu $\frac{2}{3}$ auf $d$. Im Baumdiagramm stellen wir diese Aufteilung der Wahrscheinlichkeit durch zwei Äste dar, die von $A_1$ ausgehen und die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{3}$ und $\frac{2}{3}$ haben. Ganz analog können wir auch die anderen Teilereignisse in ihre Ergebnisse aufteilen. Besteht eines der Teilereignisse aus nur einem Ergebnis, nennt man dieses Ereignis ein Elementarereignis. An dem Ast, der von dem Ereignis zu seinem einzigen Ergebnis führt, steht die Wahrscheinlichkeit $1$. Denn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses verteilt sich nicht auf mehrere Ergebnisse, sondern gehört vollständig zu dem einen Ergebnis.

Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen

In dem oben beschriebenen Beispiel gehen wir von einem einzigen Zufallsexperiment aus. Die Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich auf die einzelnen Ereignisse, Teilereignisse und Elementarereignisse bzw. Ergebnisse. Diese Aufteilung nennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsexperiments. Sie zu berechnen, bedeutet, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse anzugeben. Dazu benutzen wir die zweite Pfadregel.

  • Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfads.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $c$ ist also das Produkt längs des Pfads zu $c$, der über das Ereignis $A$, das Teilereignis $A_1$ und schließlich das Elementarereignis ${c}$ führt. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $c$ ist also $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{45}$. Analog können wir für jedes Ergebnis des Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeit berechnen, indem wir dem Pfad im Baumdiagramm folgen, der zu diesem Ergebnis führt. Als Resultat erhalten wir die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses des Zufallsexperiments. Und dies ist genau die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsexperiments.

Zusammenfassung: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Dieses Video über die Wahrscheinlichkeitsverteilung erklärt dir verständlich, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Du siehst ein Beispiel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments und erfährst, wie die Verteilung zustande kommt. In interaktiven Übungen kannst du dein neues Wissen gleich anwenden.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilung.

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