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Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsversuchs um die erwarteten Wahrscheinlichkeiten stabilisieren, wenn der Versuch immer wieder durchgeführt wird. Es gibt ein schwaches und ein starkes Gesetz der großen Zahlen, je nachdem, ob die Konvergenz der relativen Häufigkeiten wahrscheinlich oder fast sicher ist. Was heißt das für Gewinnspiele? Lass uns sehen!

Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
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Team Digital
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Gesetz der großen Zahlen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Der Wert der absoluten Häufigkeit kann theoretisch alle natürlichen Zahlen annehmen.

    Wirfst du eine Münze sehr häufig, dann wird sich die relative Häufigkeit des Ereignisses „Zahl“ dem Wert $\frac{1}{2}$ annähern.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Ein Münzwurf wird als Zufallsexperiment mit vier möglichen Ausgängen angesehen.“

    • Ein Münzwurf hat zwei mögliche Ausgänge. Die Möglichkeit, dass die Münze auf dem Rand landet, wird wegen der geringen Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses vernachlässigt.
    „Die absolute Häufigkeit gibt den Anteil der relativen Häufigkeit an der Gesamtzahl an.“

    • Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt an, wie oft dieses Ereignis eingetreten ist. Sie wird dabei nicht an der Gesamtzahl der Ereignisse relativiert. Der Wert der absoluten Häufigkeit kann theoretisch alle natürlichen Zahlen annehmen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die relative Häufigkeit gibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl an.“

    • Die Formel für die relative Häufigkeit lautet: $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$. Sie liegt immer zwischen $0$ und $1$.
    „Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du allgemein, indem du die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.“

    • Bei einem Münzwurf gibt es für das Ereignis Zahl genau ein mögliches Ergebnis, dass Zahl geworfen wird. Insgesamt gibt es zwei mögliche Ergebnisse: Sofa oder Zahl. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Zahl“ $\frac{1}{2}$.
    „Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses, bei häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments, der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert.“

    • Wirfst du also eine Münze sehr häufig, dann wird sich die relative Häufigkeit des Ereignisses Zahl dem Wert $\frac{1}{2}$ annähern.
  • Gib dein Wissen zu relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten wieder.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du allgemein, indem du die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.

    $100$ Durchführungen kann hier als häufig angesehen werden.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Bei einem Münzwurf gibt es für das Ereignis „Zahl“ genau ein mögliches Ergebnis. Insgesamt gibt es zwei mögliche Ergebnisse. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Zahl“ $\frac{1}{2}$.“

    • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du allgemein, indem du die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse (hier $1$ Mal Zahl) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse (entweder Sofa oder Zahl) teilst.
    „Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses, bei häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments, der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert.

    • Wichtig ist hier, dass dies nur bei häufiger Durchführung gilt. Wird das Experiment nur wenige Male durchgeführt, kann die relative Häufigkeit stark von der Wahrscheinlichkeit abweichen.
    „Käpt'n Da Gamma schlussfolgert, dass bei einem häufigen Münzwurf die relative Häufigkeit des Ereignisses „Zahl“ ungefähr $\frac{1}{2}$ betragen muss. Wird die Münze also $100$ Mal geworfen, sollte ungefähr $50$ Mal „Zahl“ auftreten.“

    • Da $100$ Mal relativ häufig ist, gilt hier das empirische Gesetz der großen Zahlen. Die Hälfte von $100$ ist $50$.
  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten.

    Tipps

    Die relative Häufigkeit kannst du bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit eines Ereignisses bestimmst und diese anschließend durch die Gesamtzahl der Ereignisse teilst.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du bestimmen, indem du die zum Ereignis gehörigen Ergebnisse durch alle möglichen Ergebnisse teilst.

    Lösung

    Bei der Bestimmung gehst du wie folgt vor:

    • Die relative Häufigkeit kannst du bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit eines Ereignisses bestimmst und diese anschließend durch die Gesamtzahl der Ereignisse teilst.
    • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du bestimmen, indem du die zum Ereignis gehörigen Ergebnisse durch alle möglichen Ergebnisse teilst.
    Beim ersten Beispiel werden insgesamt drei Kugeln gezogen. Das ist die Gesamtzahl der Ereignisse. Bei zwei dieser Ereignisse wurde eine gelbe Kugel gezogen. Also beträgt die relative Häufigkeit $\frac{2}{3}$.

    Außerdem liegen insgesamt $9$ Kugeln in der Urne. Das ist die Gesamtzahl der Ergebnisse. $4$ dieser Kugeln sind gelb. Diese Ergebnisse gehören zum Ereignis, dass eine gelbe Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit ist also $\frac{4}{9}$.

    Beim zweiten Beispiel wird die Münze insgesamt $10$ Mal geworfen, wobei sie $3$ Mal „Kopf“ anzeigt. Die relative Häufigkeit ist also $\frac{3}{10}$. Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beträgt allerdings $\frac{1}{2}$, denn bei zwei möglichen Ergebnissen, ist nur eines für „Kopf“ günstig.

    Beim dritten Beispiel beträgt die relative Häufigkeit eine Sechs zu würfeln: $\frac{2}{5}$. Denn bei $5$ Würfen fällt $2$ Mal die Sechs. Die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Würfeln eine Sechs zu würfeln beträgt: $\frac{1}{6}$, denn es gibt $6$ mögliche Ergebnisse, von denen nur eines günstig ist.

  • Wende das empirische Gesetz der großen Zahlen an.

    Tipps

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei häufiger Durchführung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert.

    Hier können wir davon ausgehen, dass dieses Gesetz anwendbar ist, da die Anzahl der Durchführungen ausreichend groß ist.

    Lösung

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei häufiger Durchführung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert. Hier können wir davon ausgehen, dass dieses Gesetz anwendbar ist, da die Anzahl der Durchführungen ausreichend groß ist. Also berechnen wir die relative Häufigkeit des Ereignisses und schließen damit auf die Wahrscheinlichkeit.

    • $\frac{23}{60} \approx \frac{1}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass Mario ins Tor trifft, beträgt also $P \approx \frac{1}{3}$.
    • $\frac{71}{100} \approx 0,7$. Die Wahrscheinlichkeit, dass Tyler einen Kickflip landet, beträgt also $P \approx 0,7$.
    • $\frac{11}{500} \approx 0,02$. Die Wahrscheinlichkeit, dass Joanna sich vertippt, beträgt also $P \approx 0,02$.
    • $\frac{4}{300} \approx 0,01$. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Richards Partei beitritt, beträgt also $P \approx 0,01$.
    • Da es sich hier um Beispiele handelt, bei denen die Wahrscheinlichkeit nur grob abgeschätzt werden kann, kann keine exakte Wahrscheinlichkeit $P$ angegeben werden, sondern nur eine ungefähre Wahrscheinlichkeit.
  • Gib die absoluten Häufigkeiten an.

    Tipps

    Die absolute Häufigkeit entspricht der Anzahl mit der ein Ereignis eingetroffen ist. Du kannst sie oft durch Abzählen bestimmen.

    Manchmal kannst du aber auch die Formel

    $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$

    anwenden.

    Lösung

    Die absolute Häufigkeit entspricht der Anzahl, mit der etwas eingetroffen ist.

    „Bei $100$ Münzwürfen landet eine Münze $48$ Mal auf „Sofa“. Die absolute Häufigkeit von „Sofa“ beträgt also $48$.“

    • Hier kannst du die absolute Häufigkeit durch Abzählen bestimmen.
    „Bei $100$ Münzwürfen landet eine Münze $48$ Mal auf „Sofa“. Die absolute Häufigkeit von „Zahl“ beträgt also $52$.“

    • Bei einem Münzwurf gibt es nur die Möglichkeiten „Sofa“ oder „Zahl“. Wird $100$ Mal geworfen und es tritt $48$ Mal „Sofa“ auf, dann beträgt die absolute Häufigkeit von Zahl $52$.

    „Bei $3$ Münzwürfen wurde mit einer relativen Häufigkeit von $\frac{2}{3}$ „Sofa“ angezeigt. Die absolute Häufigkeit von „Sofa“ beträgt also $2$.“

    • Hier berechnest du sie aus der relativen Häufigkeit mit der Formel: $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$
    Setzt du die gegebenen Werte ein und formst um, ergibt sich:

    $\begin{array}{ll} \frac{2}{3}&= \frac{\text{abs. Häufigkeit}}{3} &\vert \cdot 3\\ 2 &= \text{abs. Häufigkeit}\\ \end{array}$

    „Die relative Häufigkeit von „Zahl“ nach $10$ Würfen beträgt: $\frac{2}{5}$. Also beträgt die absolute Häufigkeit von „Zahl“ $4$.“

    Hier ergibt sich:

    $\begin{array}{ll} \frac{2}{5}&= \frac{\text{abs. Häufigkeit}}{10} &\vert \cdot 10\\ \frac{20}{5} &= \text{abs. Häufigkeit}\\ 4 &= \text{abs. Häufigkeit}\\ \end{array}$

  • Erschließe, wo das empirische Gesetz der großen Zahlen korrekt angewandt wurde.

    Tipps

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen kannst du immer dann anwenden, wenn ein Versuch mit sehr großer Häufigkeit durchgeführt wurde. Dann nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an.

    Lösung

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen kannst du immer dann anwenden, wenn ein Versuch mit sehr großer Häufigkeit durchgeführt wurde. Dann nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an. Damit kannst du bestimmen, dass folgende Aussagen falsch sind:

    „Theo wirft eine Münze drei Mal und erhält $3$ Mal „Zahl“. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl $P=1$.“

    „Maria steht mit dem Rücken zu einem Basketballkorb und versucht einen Ball in den Korb zu treffen. Bei zwei Versuchen gelingt ihr das nicht. Es ist also unmöglich, den Ball auf diese Weise in den Korb zu treffen.“

    • Hier wird das Experiment nicht oft genug durchgeführt, um das Gesetz anwenden zu können.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Wirfst du einen normalen Würfel $100$ Mal, sollte ungefähr $17$ Mal eine $3$ gewürfelt werden.“

    • Nach $100$ Versuchen sollte sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit von $P=\frac{1}{6}$ angenähert haben. Das ergibt bei $100$ Versuchen ungefähr $17$ Treffer.
    „Ein Computerprogramm generiert Ziffern zwischen Null und Neun. Bei $300$ Ziffern wurde $100$ Mal eine $3$ generiert. Man kann davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeiten für alle Ziffern nicht gleich verteilt sind.“

    • Wären die Wahrscheinlichkeiten gleichmäßig verteilt, sollte jede Ziffer mit einer Wahrscheinlichkeit von $P=0,1$ vorkommen (denn es gibt insgesamt $10$ Ziffern). Hier kommt die $3$ in ca. $\frac{1}{3}$ aller Fälle vor. Die Wahrscheinlichkeiten sind also nicht gleich verteilt. Hier wurde von der relativen Häufigkeit auf die Wahrscheinlichkeit geschlossen. Das ist möglich, da der Versuch sehr häufig durchgeführt wurde.
    „Der $70$-Jährige Walter hat jeden Tag seines Lebens Lotto gespielt, aber noch nie etwas gewonnen. Die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto zu gewinnen, liegt also nahe bei Null.“

    • $70$ Jahre Lebenszeit entspricht ungefähr $26~000$ Tagen. Hat er wirklich an jedem Tag Lotto gespielt, kann er also hier das empirische Gesetz der großen Zahlen anwenden. Die Wahrscheinlichkeit eines Hauptgewinns im Lotto ist tatsächlich fast Null. Bei einer beliebten deutschen Lotterie beträgt diese ungefähr $P=0,000000007$.