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Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln

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Team Digital
Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln

Inhalt

Wahrscheinlichkeit am Beispiel Würfel – Mathe

Im folgenden Text wird die Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines Würfels einfach erklärt. Zunächst lernst du, dass es sich beim Würfelwurf um einen Zufallsversuch, genauer gesagt um ein Laplace-Experiment, handelt, und anschließend siehst du einige Beispiele zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten beim Würfelwurf.


Zufallsversuch – Definition

Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch. Und was versteht man unter einem Zufallsversuch?

  • Alle möglichen Ausgänge sind uns bekannt. Hier wird eine $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ oder $6$ gewürfelt.
  • Der Versuch (Würfelwurf) kann beliebig oft wiederholt werden.
  • Es herrschen immer die gleichen Bedingungen.
  • Der Ausgang eines Zufallsversuchs ist nicht vorhersehbar. Man kann also vorher nie sicher sagen, was gewürfelt wird.


Laplace-Experiment – Definition

Da alle Seiten eines Würfels gleich groß sind, sind alle möglichen Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Daher sprechen wir bei einem Würfelwurf von einem Laplace-Experiment.

  • Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelereignis gleich groß. Daher können wir die Wahrscheinlichkeit $P$ eines bestimmten Ereignisses $E$ einfach berechnen. Dafür wird die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt.

$P(E) = \frac{\text{ Anzahl aller günstigen Ergebnisse }}{\text{ Anzahl aller möglichen Ergebnisse }}$


Wahrscheinlichkeiten berechnen – Beispiele

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist bei einem sechsseitigen Würfel immer gleich $6$. In den folgenden Beispielen schauen wir uns an, was passiert, wenn wir die Bedingungen beim Würfelwurf etwas eingrenzen.

Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln

Möchten wir die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $3$ berechnen, gibt es nur ein günstiges Ergebnis – die $3$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine $3$ zu würfeln, berechnen wir mit:

$P(3) = \frac{1}{6} = 16,67 \,\%$

Diese Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$ entspricht also $16,67 \,\%$. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis eine 3 würfeln ist somit nicht sehr hoch.

Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Augenzahl zu würfeln? Schauen wir uns die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis mal etwas genauer an.

Für das Ereignis eine gerade Zahl würfeln gibt es $3$ günstige Ergebnisse – die $2$, die $4$ und die $6$.

$P(\text{gerade Augenzahl}) = P(2; 4; 6)$

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt bei diesem Versuch wieder $6$. Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit:

$P(\text{gerade Augenzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis liegt also bei $50\,\%$.

Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 4 zu würfeln

Nun schauen wir uns noch an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Augenzahl beim Wurf höher als $4$ sein wird.

Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine $5$ oder eine $6$ gewürfelt wird.

$P(\text{Augenzahl höher als 4}) = P(5; 6)$

Es gibt also $2$ günstige Ergebnisse bei $6$ möglichen Ergebnissen.

$P(\text{Augenzahl höher als 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = 33,33\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als $4$ zu würfeln, liegt also bei $33,33\,\%$.

Wahrscheinlichkeit Würfel – Zusammenfassung

In den folgenden Stichpunkten ist noch einmal das Wichtigste zum Thema Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines Würfels zusammengefasst.

  • Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch, genauer gesagt um ein Laplace-Experiment.
  • Die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelereignis ist gleich groß. Beim Würfelwurf sind es die $6$ verschiedenen Augenzahlen des Würfels.
  • Die entsprechende Wahrscheinlichkeit entspricht jeweils $\frac{1}{6}$.
  • Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, wird die Anzahl der dafür günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt.

Hier auf dieser Seite findest du noch Übungen mit weiteren Beispielen und Arbeitsblätter zum Thema Wahrscheinlichkeiten am Beispiel des Würfels.

Transkript Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln

Lisa ist das Ganze nicht geheuer. Egal was sie würfelt, der Zauberer „Magic Dice“ kann den Ausgang vorhersagen. Woher wusste er jetzt schon wieder, dass Lisa eine Sechs würfeln würde? Rät er einfach? Das ist doch total unwahrscheinlich. Am besten schauen wir uns die „Wahrscheinlichkeiten beim Würfelwurf“ nochmal genau an. Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch, da kann Lisa keiner was vormachen. Das heißt, alle möglichen Ausgänge - eins, zwei, drei, vier, fünf und sechs - sind uns bekannt. Der Würfelwurf kann beliebig oft wiederholt werden und das unter den gleichen Bedingungen. Außerdem ist der Ausgang eines Zufallsversuchs nicht vorhersehbar. Also wie zum Henker macht er das? Lisa wird ihm noch auf die Schliche kommen! Für den nächsten Wurf sagt „Magic Dice“ eine drei voraus. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis liegt bei einem Sechstel, das weiß sie. Da alle Seiten eines Würfels gleich groß sind, sind auch alle möglichen Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Wir sprechen beim Würfelwurf daher von einem Laplace-Experiment. Bei einem Laplace-Experiment können wir die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses einfach berechnen: Wir teilen dafür die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist bei einem sechsseitigen Würfel immer gleich sechs. Möchten wir die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl drei berechnen, gibt es nur ein günstiges Ergebnis, eben die drei. Ein Sechstel entsprechen gerundet sechzehn Komma sechs sieben Prozent. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Eine drei werfen“ ist somit nicht sehr hoch. Und er hat trotzdem Recht behalten! Pures Glück, Lisa wird ein weiteres Mal würfeln. Dieses mal behauptet „Magic Dice“, dass eine gerade Augenzahl fallen wird. Bevor sie würfelt, schaut sich Lisa das Ganze nochmal in Ruhe an: Für das Ereignis „gerade Zahl werfen“ gibt es drei günstige Ergebnisse, nämlich zwei, vier und sechs. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt natürlich wieder sechs. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gerade Zahl werfen“ ist also gleich drei Sechstel. Durch Kürzen erhalten wir ein halb und das entspricht fünfzig Prozent. Alles klar, eine klassische „fifty-fifty“-Situation. Sie würfelt eine zwei. Okay, seine Glückssträhne hält an. Ein letzter Wurf. Die Ansage von „Magic Dice“ lautet diesmal: Die Augenzahl wird höher als vier sein. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine fünf oder sechs fällt. Wir haben zwei günstige bei sechs möglichen Ergebnissen. Zwei Sechstel ist gekürzt ein Drittel und das entspricht gerundet dreiunddreißig Komma drei drei Prozent. Sie würfelt und jetzt wird es Lisa zu bunt. Während sie sich überlegt, wie sie „Magic Dice“ endlich knacken kann, fassen wir nochmal kurz zusammen: Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch, genauer gesagt um ein Laplace-Experiment. Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelereignis gleich groß. Beim Würfel sind das die sechs verschiedenen Augenzahlen. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit beträgt jeweils ein Sechstel. Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, teilen wir die Anzahl der dafür günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Beim einfachen Würfelwurf eines sechsseitigen Würfels ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse immer gleich sechs. So, diesmal hat Lisa den Würfel einfach heimlich weggenommen, Was „Magic Dice“ wohl jetzt voraussagen wird? Lisa gibt auf. Man kann wohl nicht alles mit Mathematik erklären.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Cool

    Von Carl, vor 2 Monaten

Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zum Würfeln.

    Tipps

    Ein weiteres Beispiel für einen Zufallsversuch wäre das Werfen einer Münze.

    Eine Münze kannst du immer wieder werfen und erhältst jedes Mal Kopf oder Zahl.

    Lösung

    Wir sprechen von einem Zufallsversuch, wenn er beliebig oft unter immer gleichen Bedingungen wiederholbar ist. Dabei sind alle möglichen Ausgänge vorab bekannt, der konkrete Ausgang eines Versuchs ist aber nicht vorhersehbar.

    Bei einem Laplace-Experiment muss zudem gelten, dass alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Das ist beim Würfel der Fall, wenn alle Seiten des Würfels dieselbe Fläche haben.

  • Gib die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an.

    Tipps

    Das Würfeln ist ein Laplace-Experiment mit sechs möglichen Ergebnissen.

    Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen, indem du die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst.

    Für die Angabe in Prozent wandelst du den Bruch in einen Dezimalbruch um und multiplizierst mit $100$:

    $\frac{3}{4} = 0,75 = 75,0\,\%$

    Lösung

    Da bei einem Würfel alle Seiten gleich groß sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment.
    Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der folgenden Formel berechnen:
    $P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$

    Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es die sechs möglichen Ergebnisse $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$, daher steht im Nenner immer eine $6$. Wir müssen uns für die einzelnen Ereignisse jeweils noch die Anzahl der günstigen Ergebnisse überlegen.

    Beispiel 1: Es wird eine $3$ gewürfelt.
    Hier ist das einzige günstige Ergebnis die $3$, es gilt also:
    $P(3) = \frac{1}{6} \approx 16,67\%$

    Beispiel 2: Die gewürfelte Zahl ist höher als $4$.
    Hier gibt es zwei günstige Ergebnisse, die $5$ und die $6$, also gilt:
    $P(5 , 6) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,33\%$

  • Entscheide, welche Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln stimmen.

    Tipps

    Überlege dir Beispiele von Ereignissen um die Aussagen zu prüfen.

    Das Ereignis 'Die Zahl ist kleiner als $3$' hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6}$, weil es die beiden Ergebnisse $1$ und $2$ umfasst.
    Dasselbe gilt für das Ereignis 'Die Zahl ist größer als $4$', auch hier umfasst das Ereignis zwei Ergebnisse, $5$ und $6$, und hat daher die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6}$.

    Lösung

    Beim Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel handelt es sich um ein Laplace- Experiment mit den sechs möglichen Ergebnissen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis können wir daher mit folgender Formel berechnen:
    $P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{6}$

    Maßgeblich für die Wahrscheinlichkeit ist also die Anzahl der günstigen Ergebnisse, die zu einem Ereignis gehören, unabhängig davon, welche Ergebnisse es genau sind.

    Falsche Aussagen:

    • Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu würfeln ist $6\%$.
    Eine bestimmte Zahl ist immer genau ein Ergebnis und hat damit die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6} \approx 16,67\%$.
    • Zwei Ereignisse können nur gleich wahrscheinlich sein, wenn sie dieselben Ergebnisse umfassen.
    Die beiden Ereignisse 'Die Zahl ist kleiner als $3$' und 'Die Zahl ist größer als $4$' umfassen unterschiedliche Ergebnisse. Da allerdings beide je zwei günstige Ergebnisse beinhalten, haben beide dieselbe Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,33\%$.
    • Es ist wahrscheinlicher eine gerade Zahl zu würfeln, als eine ungerade Zahl zu würfeln.
    Beide Ereignisse umfassen jeweils drei günstige Ergebnisse und haben daher dieselbe Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%$.

    Richtige Aussagen:

    • Je mehr der möglichen Ergebnisse zu einem Ereignis gehören, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis.
    Bei zwei Brüchen, die den gleichen Nenner haben, hat der den größeren Wert, bei dem der Zähler größer ist. Da der Nenner hier immer 6 (Anzahl aller möglichen Ergebnisse) ist, hat ein Ereignis mit mehr günstigen Ergebnissen eine höhere Wahrscheinlichkeit. Ein Beispiel wäre die folgende Aussage.
    • Es ist wahrscheinlicher eine gerade Zahl zu würfeln, als eine $1$ zu würfeln.
    Ein Würfel hat drei gerade Zahlen, $2$, $4$ und $6$, daher ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%$. Um eine $1$ zu würfeln, ist das einzige günstige Ergebnis die $1$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit mit $\frac{1}{6} \approx 16,67\%$ geringer.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Überlege dir, wie viele Ergebnisse zu jedem Ereignis passen.

    Zum Beispiel gibt es auf einem Würfel zwei Zahlen, die kleiner als $3$ sind: die $1$ und die $2$. Daher hat das Ereignis 'Das Ergebnis ist kleiner als $3$' die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,33\%$

    Lösung

    Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der folgenden Formel berechnen:
    $P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$

    Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es die sechs möglichen Ergebnisse $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$, daher steht im Nenner immer eine $6$. Wir müssen uns für die einzelnen Ereignisse jeweils noch die Anzahl der günstigen Ergebnisse überlegen.

    Beispiel 1:
    $\text{E}_1$: Es wird eine $5$ gewürfelt.
    Hier ist das einzige günstige Ergebnis die $5$, es ergibt sich:
    $P(\text{E}_1) = \mathbf{\frac{1}{6}} \approx 16,67\%$

    Beispiel 2:
    $\text{E}_2$: Das Ergebnis ist eine ungerade Zahl.
    Hier gibt es drei günstige Ergebnisse, die $1$, $3$ und $5$, es ergibt sich:
    $P(\text{E}_2) = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}} = 50\%$

    Beispiel 3:
    $\text{E}_3$: Es wird eine $2$ oder eine $5$ gewürfelt.
    Hier gibt es zwei günstige Ergebnisse, die $2$ und die $5$, es ergibt sich:
    $P(\text{E}_3) = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}} \approx 33,33\%$

    Beispiel 4:
    $\text{E}_4$: Das Ergebnis ist kleiner als $6$.
    Hier gibt es fünf günstige Ergebnisse, $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$, es ergibt sich:
    $P(\text{E}_4) = \mathbf{\frac{5}{6}} \approx 83,33\%$

  • Vervollständige die Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit erhältst du, indem du die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst. Bei einem Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse.

    Lösung

    Bei einem Laplace-Experiment, wie dem Würfelwurf, kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der folgenden Formel berechnen:
    $P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$

    Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es die sechs möglichen Ergebnisse $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$, daher steht im Nenner immer eine $6$. Wir müssen uns noch die Anzahl der günstigen Ergebnisse überlegen.
    Das Ereignis 'gerade Zahl' setzt sich aus den drei Ergebnissen $2$, $4$ und $6$ zusammen. Im Zähler brauchen wir hier also eine $3$.

    Den so entstandenen Bruch $\frac{3}{6}$ können wir dann mit drei kürzen und erhalten $\frac{1}{2}$.
    Das bedeutet in der Hälfte aller Fälle zeigt der Würfel eine gerade Zahl, das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von $50\%$.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse beim Würfeln mit einem zehnseitigen Würfel.

    Tipps

    Bei einem zehnseitigen Würfel gibt es zehn mögliche Ergebnisse:
    $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$.

    Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich über die Formel:
    $P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$

    Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch $1$ teilbar sind, zum Beispiel $13$. Die Zahl $2$ ist die kleinste Primzahl.

    Lösung

    Auch beim Würfeln mit einem zehnseitigen Würfel handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Da es hier zehn mögliche Ergebnisse, also $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$, gibt, berechnen sich die Wahrscheinlichkeiten nach der Formel:
    $P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{10}$

    Wir müssen uns also für die einzelnen Ereignisse jeweils noch die Anzahl der günstigen Ergebnisse überlegen.

    Beispiel 1: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.
    Auf einem zehnseitigen Würfel gibt es fünf gerade Zahlen: $2$, $4$, $6$, $8$ und $10$. Damit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit:
    $\frac{5}{10} = \mathbf{\frac{1}{2}} = 50\%$

    Beispiel 2: Das Ergebnis ist kleiner als $4$.
    Auf einem zehnseitigen Würfel gibt es drei Zahlen, die kleiner sind als $4$: $1$, $2$ und $3$. Damit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit:
    $\mathbf{\frac{3}{10}} = 30\%$

    Beispiel 3: Es wird eine $5$ oder höher gewürfelt.
    Auf einem zehnseitigen Würfel sind sechs Zahlen, die $5$ oder höher sind: $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$. Damit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit:
    $\frac{6}{10} = \mathbf{\frac{3}{5}} = 60\%$

    Beispiel 4: Das Ergebnis ist eine Primzahl.
    Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind. Die Zahl $2$ ist die kleinste Primzahl.
    Insgesamt gibt es auf einen zehnseitigen Würfel vier Primzahlen: $2$, $3$, $5$ und $7$. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:
    $\frac{4}{10} = \mathbf{\frac{2}{5}} = 40\%$

    Beispiel 5: Das Ergebnis ist keine $5$.
    Auf einem zehnseitigen Würfel gibt es neun Zahlen, die nicht $5$ sind: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:
    $\mathbf{\frac{9}{10}} = 90\%$

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