Wahrscheinlichkeit – Einführung

Wahrscheinlichkeit – Einführung Übung

• Welche Aussagen zum Thema Wahrscheinlichkeit stimmen?

  Tipps

  Drei Aussagen sind richtig.

  Typische Zufallsversuche sind:

  • Münzwurf
  • Würfelwurf
  • Glücksrad drehen
  • Lose ziehen

  Wahrscheinlichkeit dient in der Mathematik dazu zu beschrieben, wie sicher oder unsicher ein Ereignis ist.

  Lösung

  Wahre Aussagen:

  • „Wir können Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozent angeben.“ – Beispielsweise gilt: ${\frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%}$

  • „Der Münzwurf ist ein typisches Beispiel für einen Zufallsversuch.“ – Es sind alle möglichen Ausgänge bekannt (Kopf und Zahl), der Versuch kann beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederholt werden und der Ausgang ist dabei jeweils nicht vorhersehbar.

  • „Wahrscheinlichkeit stellt in der Mathematik ein Maß für die Sicherheit beziehungsweise Unsicherheit eines Ereignisses dar.“ – Beispielweise sprechen wir bei einer Wahrscheinlichkeit von $0\,\%$ von einem unmöglichen, bei $100\,\%$ von einem sicheren Ereignis.

  
  

  Falsche Aussage:

  • „Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen $0\,\%$ und $1\,000\,\%$.“ – Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht größer sein als $100\,\%$.

• Gib jeweils die Wahrscheinlichkeit an.

  Tipps

  Eine Wahrscheinlichkeit kann als Dezimalzahl zwischen $0$ und $1$, in Prozent zwischen $0~\%$ und $100~\%$ oder als Bruch angegeben werden.

  $\frac{1}{5}=0,2=20~\%$

  Lösung

  • Beim Münzwurf wird Kopf geworfen.

  Da es beim Münzwurf nur die beiden möglichen Ausgänge Kopf und Zahl gibt und beide gleich wahrscheinlich sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kopf:
  $P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}=0,5=50~\%$

  • Bei einem Glücksrad mit $5$ gleich großen verschiedenfarbigen Feldern wird rot getroffen.

  Es gibt $5$ mögliche Ausgänge. Diese sind alle gleich wahrscheinlich, da die Felder gleich groß sind. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für rot:
  $P(\text{rot})=\frac{1}{5}=0,2=20~\%$

  • Beim Münzwurf wird entweder Kopf oder Zahl geworfen.

  Da es nur die möglichen Ausgänge Kopf und Zahl gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl:
  $P(\text{Kopf oder Zahl})=1=100~\%$

  • Aus einem Lostopf mit $17$ Nieten und $3$ Gewinnen wird ein Gewinn gezogen.

  Es gibt insgesamt $20$ Lose, davon sind $3$ Gewinne. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für Gewinn:
  $P(\text{Gewinn})=\frac{3}{20}=0,15=15~\%$

• Vervollständige die Tabelle der Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Beispiel:
  $\frac{1}{50}=0,02=2~\%$

  Prozent bedeutet von Hundert.

  Daher müssen wir beim Umwandeln einer Dezimalzahl in Prozent mit $100$ multiplizieren. Beim Umwandeln einer Prozentangabe in eine Dezimalzahl müssen wir hingegen durch $100$ dividieren.

  Lösung

  Wir dividieren durch $100$, um die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Wir schreiben die Prozentangabe als Bruch, indem wir in den Zähler die Zahl und in den Nenner $100$ schreiben. Diesen Bruch können wir noch kürzen:
  $25~\% = 25:100=0,25 = \frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

  Wir multiplizieren mit $100$, um die Dezimalzahl in Prozent umzuwandeln. Wir schreiben die Prozentangabe als Bruch, indem wir in den Zähler die Zahl und in den Nenner $100$ schreiben. Diesen Bruch können wir noch kürzen:
  $0,4 = 0,4\cdot100 ~\%=40~\% = \frac{40}{100}=0,4$

  $0,1 = 0,1\cdot100 ~\%=10~\% = \frac{10}{100}=0,1$

  Wir dividieren den Zähler durch den Nenner, um den Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Wir multiplizieren mit $100$, um die Dezimalzahl in Prozent umzuwandeln.
  $\frac{1}{8} = 1: 8 =0,125 = 0,125\cdot100 ~\%=12,5~\%$

  Wir dividieren durch $100$, um die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Wir schreiben die Prozentangabe als Bruch, indem wir in den Zähler die Zahl und in den Nenner $100$ schreiben. Diesen Bruch können wir noch kürzen:
  $5~\% = 5:100=0,05 = \frac{5}{100}=\frac{1}{20}$

• Entscheide, ob es sich um ein sicheres, ein mögliches oder ein unmögliches Ereignis handelt.

  Tipps

  Bei einem sicheren Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit $100~\%$. Bei einem unmöglichen Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit $0~\%$.

  Wird aus einer Lostrommel mit $61$ Gewinnen und $310$ Nieten ein Gewinn oder eine Niete gezogen, so handelt es sich um ein sicheres Ereignis.

  Lösung

  Sichere Ereignisse:
  Die Wahrscheinlichkeit beträgt $100~\%$.

  • Beim Glücksrad mit drei Feldern wird eines der drei Felder getroffen.

  Da es keine anderen möglichen Ausgänge gibt, ist das Ereignis sicher.

  • Beim Würfeln wird eine Zahl kleiner als $7$ geworfen.

  Die Zahlen $1, 2, 3, 4, 5$ und $6$ sind kleiner als $7$, da es keine anderen möglichen Ergebnisse beim Würfelwurf gibt, ist das Ereignis sicher.

  Mögliche Ereignisse:
  Die Wahrscheinlichkeit ist kleiner als $1$ und größer als $0$.

  • Aus einer Lostrommel mit einem Gewinn und $120$ Nieten wird ein Gewinn gezogen.

  Die Wahrscheinlichkeit beträgt hier $\frac{1}{121}$.

  • Beim Münzwurf wird eine Zahl geworfen.

  Die Wahrscheinlichkeit beträgt hier $\frac{1}{2}$.

  Unmögliches Ereignis:
  Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0~\%$.

  • Beim Würfeln wird eine $7$ geworfen.

  Da der Würfel nur Zahlen zwischen $1$ und $6$ hat, kann dies nicht eintreten.

  • Bei einem Glücksrad mit vier roten und einem blauen Feld bleibt der Zeiger auf einem schwarzen Feld stehen.

  Das Glücksrad hat keine schwarzen Felder, somit ist das Ereignis unmöglich.

• Beschreibe, was man in der Mathematik unter der Wahrscheinlichkeit versteht.

  Tipps

  $P(\text{Zahl}) = \frac{1}{2}=0,5=50~\%$

  Lösung

  Die Wahrscheinlichkeit stellt in der Mathematik ein Maß für die Sicherheit beziehungsweise Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar. Ein Zufallsexperiment ist beispielsweise das Werfen eines Würfels. Die Wahrscheinlichkeit wird mit einem $P$ abgekürzt. Dies kommt von dem englischen Wort probability, das übersetzt Wahrscheinlichkeit bedeutet.

  Die Wahrscheinlichkeit kann als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent angegeben werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Zufallsversuch ein bestimmtes Ereignis eintritt, liegt immer zwischen null und hundert Prozent. Oder in Dezimalzahlen ausgedrückt: zwischen null und eins. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer $4$, $5$ oder $6$ beim Würfelwurf beträgt beispielsweise $P(4,~ 5 \text{ oder } 6)=\frac{3}{6}=0,5=50~\%$

  Bei einer Wahrscheinlichkeit von $0~\%$ sprechen wir von einem unmöglichen Ereignis. Das Werfen einer $8$ ist beim Würfelwurf beispielsweise ein unmögliches Ereignis. Bei einer Wahrscheinlichkeit von $100~\%$ handelt es sich um ein sicheres Ereignis. Das Werfen einer Zahl zwischen $1$ und $6$ ist beim Würfelwurf beispielsweise ein sicheres Ereignis.

• Bestimme die jeweilige Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Untersuche, wie viele günstige und wie viele mögliche Ergebnisse es gibt.

  Du kannst eine Wahrscheinlichkeit von einem Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner teilst. Um die Dezimalzahl in Prozent umzuwandeln, multipliziere mit $100$.

  Lösung

  • Eine Münze wird geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, beträgt ...

  Da es beim Münzwürf nur die beiden möglichen Ausgänge Kopf und Zahl gibt und beide gleich wahrscheinlich sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kopf:
  $P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}=0,5=50~\%$

  • Ein Würfel wird geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, beträgt ...

  Beim Würfelwurf können die Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$ auftreten. Davon sind die drei Zahlen $2$, $4$ und $6$ gerade. Es gilt also:
  $P(\text{gerade})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5=50~\%$

  • Ein Glücksrad mit zehn gleich großen Feldern wird gedreht. Vier der Felder sind grün. Die Wahrscheinlichkeit für grün beträgt ...

  $4$ von $10$ Feldern sind grün. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also:
  $P(\text{grün})=\frac{4}{10}=0,4=40~\%$

  • Aus einer Lostrommel mit fünf Gewinnlosen und $15$ Nieten wird ein Los gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn zu ziehen, beträgt ...

  Es gibt insgesamt $20$ Lose, davon sind $5$ Gewinne. Es gilt also:
  $P(\text{Gewinn})=\frac{5}{20}=0,25=25~\%$