Wahrscheinlichkeit – Einführung
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Grundlagen zum Thema Wahrscheinlichkeit – Einführung
Was ist Wahrscheinlichkeit?
Wir unterscheiden Wahrscheinlichkeiten, die nur umgangssprachlich verwendet werden von solchen, die in der Mathematik vorkommen. In diesem Video werden Wahrscheinlichkeiten erläutert, mit denen wir nicht rechnen können, die also nicht Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Matheunterricht sind. Es geht also darum, zu lernen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten man rechnen kann und mit welchen man nicht rechnen kann. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, werden einige Beispiele erläutert.
Nichtmathematische Wahrscheinlichkeit – Beispiele
In den folgenden Sätzen aus der Umgangssprache kommen keine Wahrscheinlichkeiten im mathematischen Sinne vor. Der Ausdruck „wahrscheinlich“ hat in diesen Sätzen keine quantifizierbare, mathematische Bedeutung:
- Ich werde wahrscheinlich $90$ Jahre alt.
- Morgen wird es wahrscheinlich regnen.
- Wahrscheinlich wird die nächste Mathearbeit richtig gut.
Die Sätze drücken lediglich eine vage Einschätzung aus. Das Wort wahrscheinlich zeigt an, dass wir etwas nicht genau wissen oder nicht wissen können.
Ein wenig präziser ist der folgende Satz:
- Wahrscheinlich kommt Anna heute pünktlich.
Zwar lässt sich die Wahrscheinlichkeit ebenso wenig quantifizieren und berechnen wie in den anderen Beispielen. Doch der Satz deutet darauf hin, dass der Einschätzung eine Erfahrung – z.B. aus der Beobachtung, dass Anna meistens pünktlich ist – zugrunde liegt.
Mathematische Wahrscheinlichkeit – Beispiele
In einem wiederholbaren Experiment – z. B. einem Würfelwurf – können wir die Ergebnisse notieren. Nach $100$ Würfen können wir zählen, wie oft jedes Ergebnis vorgekommen ist. Die mathematische Wahrscheinlichkeit ordnet jedem möglichen Ereignis eine Zahl zwischen null und eins zu. Diese Zahl gibt an, wie sicher das Ereignis eintritt. Eine Wahrscheinlichkeit von null bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist. Eine Wahrscheinlichkeit von eins bedeutet, dass es auf jeden Fall eintritt. Wir können statt null und eins also auch $0\%$ und $100\%$ schreiben. Alle Werte dazwischen beschreiben Ereignisse, die möglich aber nicht sicher sind. Die Grundlage der mathematischen Wahrscheinlichkeit sind Zufallsversuche.
Zufallsversuch – Beispiel und Eigenschaften
Wir schreiben zunächst auf, was die wichtigsten Eigenschaften eines Zufallsversuchs oder Zufallsexperiments sind:
- Alle möglichen Ausgänge sind bekannt.
- Ein Zufallsversuch kann beliebig oft wiederholt werden.
- Die Bedingungen bleiben immer gleich.
- Der Ausgang eines einzelnen Versuchs kann nicht vorhergesagt werden.
Ein Münzwurf erfüllt alle diese Eigenschaften. Die möglichen Ausgänge sind Kopf oder Zahl. Wir können die Münze beliebig oft werfen und die Bedingungen ändern sich nicht.
Bei der Münze haben beide Ausgänge dieselbe Wahrscheinlichkeit $P$, und zwar genau
$P(Kopf) = \frac{1}{2} = 0,5 = 50\%$
$P(Zahl) = \frac{1}{2} = 0,5 = 50\%$
Die Münze landet also mit derselben Wahrscheinlichkeit auf der Kopf- wie auf der Zahlseite. Wir können also nicht vorhersagen, welche Zahl bei einem Wurf oben liegt.
Das Einführungsvideo zur Wahrscheinlichkeit
In diesem Video erhältst du einen ersten Einblick in das, was man in der Mathematik unter Wahrscheinlichkeit versteht. Dir wird erklärt, wann es sich um mathematische Wahrscheinlichkeiten handelt und wann nicht. All dies wird dir anhand von Beispielen erklärt. Im Video wird dir zusätzlich mit einem Beispiel gezeigt, wie du mit Wahrscheinlichkeiten rechnen kannst.
Transkript Wahrscheinlichkeit – Einführung
Das Ehepaar Rainer und Klara Zufall hat noch nie etwas auf dem Jahrmarkt gewonnen. Das wollen sie heute unbedingt ändern! Während sie über den Jahrmarkt schlendern, halten sie nach vielversprechenden Losständen und Buden Ausschau. An diesem Stand hier könnte man am Glücksrad drehen. Oder doch lieber Lose ziehen? Bei welchem Stand ist ein Gewinn wohl wahrscheinlicher? Um entscheiden zu können, welcher Stand die besseren Gewinnchancen bietet, schauen wir uns eine „Einführung zum Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten“ an. Mit Wahrscheinlichkeiten haben wir es tagtäglich zu tun. Sätze wie: „Heute wird es wahrscheinlich noch regnen.“ oder: „Wir werden wahrscheinlich nichts gewinnen.“ drücken aus, wie sehr wir ein Ereignis erwarten beziehungsweise nicht erwarten. Aber solche Abwägungen beruhen längst nicht immer nur auf einem Bauchgefühl. Tatsächlich gibt es Wahrscheinlichkeiten, mit denen wir in der Mathematik sehr gut rechnen können. Um ihre Gewinnchance zu maximieren, haben sich Rainer und Klara dazu entschieden, ihr Glück bei beiden Ständen auf die Probe zu stellen. Und wer von beiden muss jetzt nochmal rüber zum Stand mit dem Glücksrad? Sie werfen eine Münze: Bei Kopf geht Rainer, bei Zahl Klara. In der Sprache der Mathematik sprechen wir bei einem Münzwurf von einem Zufallsversuch. Wir wissen welche Ausgänge möglich sind, entweder Kopf oder Zahl. Ein Münzwurf ist außerdem beliebig oft und unter gleichen Bedingungen wiederholbar. Welcher Ausgang aber tatsächlich eintritt, können wir nicht sicher voraussagen. Er ist zufällig. Beim Münzwurf sind beide möglichen Ereignisse gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl liegt jeweils bei ein halb beziehungsweise „null Komma fünf“, also fünfzig Prozent. Das P steht hier übrigens für Probability. Das ist das englische Wort für Wahrscheinlichkeit. An diesem einfachen Beispiel können wir uns gut klar machen, worum es bei dem Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten geht: Wir rechnen mit Anteilen, also Brüchen. Wir können Wahrscheinlichkeiten als Bruch, aber auch als Dezimalzahl oder in Prozent angeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Zufallsversuch ein bestimmtes Ereignis eintritt, liegt immer zwischen null und hundert Prozent. Oder in Dezimalzahlen ausgedrückt: Zwischen null und eins. Das können wir uns auch an dieser Zahlenstrecke für Wahrscheinlichkeiten verdeutlichen. Bei einer Wahrscheinlichkeit von null Prozent, sprechen wir von einem unmöglichen Ereignis. Bei unserem Münzwurf wäre so ein unmögliches Ereignis zum Beispiel plötzlich eine Möhre zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Kopf liegt genau in der Mitte bei fünfzig Prozent. Es ist ein mögliches Ereignis. Bei einer Wahrscheinlichkeit von hundert Prozent handelt es sich um ein sicheres Ereignis. Hundertprozentig sicher ist beim Münzwurf, dass wir entweder Kopf oder Zahl werfen. Lange Rede kurzer Sinn: Rainer hat den Münzwurf verloren und muss zurück zum Stand mit dem Glücksrad. Schauen wir uns hier seine Gewinnchancen mal genauer an: Um den Gewinn abzusahnen, muss das Glücksrad für Rainer bei Rot stehen bleiben. Das rote Feld ist eines von insgesamt fünf Feldern, die alle gleich groß sind. Wir haben also ein günstiges Ergebnis bei insgesamt fünf möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn beträgt also ein Fünftel beziehungsweise null Komma zwei, also zwanzig Prozent. Auf unserer Zahlenstrecke für Wahrscheinlichkeiten liegt sie hier. Und wie stehen die Chancen für Klara am Losstand? Hier muss sie aus insgesamt zwanzig Losen eines der drei Gewinnlose ziehen. Die restlichen siebzehn Lose sind Nieten. Wir haben drei günstige Ergebnisse bei insgesamt zwanzig möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Klara ein Gewinnlos gezogen hat, liegt bei drei Zwanzigstel, also null Komma eins fünf. Das entspricht fünfzehn Prozent. Die Gewinnchance ist somit etwas geringer als beim Glücksrad. Während Ehepaar Zufall sehnsüchtig abwartet, ob heute endlich ihr großer Glückstag gekommen ist, fassen wir noch einmal kurz zusammen: Wahrscheinlichkeit stellt in der Mathematik ein Maß für die Sicherheit beziehungsweise Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar. Typische Zufallsversuche sind zum Beispiel ein Münz- oder Würfelwurf, das Drehen eines Glücksrads oder das Ziehen von Losen. Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses rechnen wir mit Anteilen, also mit Brüchen. Wir können uns dabei an unserer Zahlenstrecke für Wahrscheinlichkeiten orientieren. Die errechnete Wahrscheinlichkeit geben wir anschließend meist in Prozent an. Sie liegt immer zwischen null und hundert Prozent. Und siehe da, beide haben gewonnen! Was für ein Zufall! Na toll, vielleicht hätte man auch mal einen Blick darauf werfen können, was es überhaupt zu gewinnen gibt.
Wahrscheinlichkeit – Einführung Übung
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Beschreibe, was ein Zufallsversuch ist.
TippsTypische Zufallsversuche sind:
- Münzwurf
- Würfelwurf
- Glücksrad drehen
- Lose ziehen
Wahrscheinlichkeit stellt in der Mathematik ein Maß für die Sicherheit beziehungsweise Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar.
LösungWahre Aussagen:
- Die möglichen Ausgänge des Versuchs sind bekannt.
- Welcher Ausgang eintritt, kann nicht vorhergesagt werden.
- Der Versuch ist beliebig oft und unter gleichen Bedingungen wiederholbar.
Falsche Aussagen:
- Der Versuch ist ein Münzwurf.
- Es gibt genau zwei mögliche Ausgänge.
- Alle Ausgänge sind gleich wahrscheinlich.
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Gib jeweils die Wahrscheinlichkeit an.
TippsEine Wahrscheinlichkeit kann als Dezimalzahl zwischen $0$ und $1$, in Prozent zwischen $0~\%$ und $100~\%$ oder als Bruch angegeben werden.
$\frac{1}{5}=0,2=20~\%$
Lösung- Beim Münzwurf wird Kopf geworfen.
$P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}=0,5=50~\%$- Bei einem Glücksrad mit $5$ gleich großen verschiedenfarbigen Feldern wird rot getroffen.
$P(\text{rot})=\frac{1}{5}=0,2=20~\%$- Beim Münzwurf wird entweder Kopf oder Zahl geworfen.
$P(\text{Kopf oder Zahl})=1=100~\%$- Aus einem Lostopf mit $17$ Nieten und $3$ Gewinnen wird ein Gewinn gezogen.
$P(\text{Gewinn})=\frac{3}{20}=0,15=15~\%$ -
Vervollständige die Tabelle der Wahrscheinlichkeiten.
TippsBeispiel:
$\frac{1}{50}=0,02=2~\%$Prozent bedeutet von Hundert.
Daher müssen wir beim Umwandeln einer Dezimalzahl in Prozent mit $100$ multiplizieren. Beim Umwandeln einer Prozentangabe in eine Dezimalzahl müssen wir hingegen durch $100$ dividieren.
LösungWir dividieren durch $100$, um die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Wir schreiben die Prozentangabe als Bruch, indem wir in den Zähler die Zahl und in den Nenner $100$ schreiben. Diesen Bruch können wir noch kürzen:
$25~\% = 25:100=0,25 = \frac{25}{100}=\frac{1}{4}$Wir multiplizieren mit $100$, um die Dezimalzahl in Prozent umzuwandeln. Wir schreiben die Prozentangabe als Bruch, indem wir in den Zähler die Zahl und in den Nenner $100$ schreiben. Diesen Bruch können wir noch kürzen:
$0,4 = 0,4\cdot100 ~\%=40~\% = \frac{40}{100}=0,4$$0,1 = 0,1\cdot100 ~\%=10~\% = \frac{10}{100}=0,1$
Wir dividieren den Zähler durch den Nenner, um den Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Wir multiplizieren mit $100$, um die Dezimalzahl in Prozent umzuwandeln.
$\frac{1}{8} = 1: 8 =0,125 = 0,125\cdot100 ~\%=12,5~\% $Wir dividieren durch $100$, um die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Wir schreiben die Prozentangabe als Bruch, indem wir in den Zähler die Zahl und in den Nenner $100$ schreiben. Diesen Bruch können wir noch kürzen:
$5~\% = 5:100=0,05 = \frac{5}{100}=\frac{1}{20}$ -
Entscheide, ob es sich um ein sicheres, ein mögliches oder ein unmögliches Ereignis handelt.
TippsBei einem sicheren Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit $100~\%$. Bei einem unmöglichen Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit $0~\%$.
Wird aus einer Lostrommel mit $61$ Gewinnen und $310$ Nieten ein Gewinn oder eine Niete gezogen, so handelt es sich um ein sicheres Ereignis.
LösungSichere Ereignisse:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $100~\%$.- Beim Glücksrad mit drei Feldern wird eines der drei Felder getroffen.
- Beim Würfeln wird eine Zahl kleiner als $7$ geworfen.
Mögliche Ereignisse:
Die Wahrscheinlichkeit ist kleiner als $1$ und größer als $0$.- Aus einer Lostrommel mit einem Gewinn und $120$ Nieten wird ein Gewinn gezogen.
- Beim Münzwurf wird eine Zahl geworfen.
Unmögliches Ereignis:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0~\%$.- Beim Würfeln wird eine $7$ geworfen.
- Bei einem Glücksrad mit vier roten und einem blauen Feld bleibt der Zeiger auf einem schwarzen Feld stehen.
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Beschreibe, was man in der Mathematik unter der Wahrscheinlichkeit versteht.
Tipps$P(\text{Zahl}) = \frac{1}{2}=0,5=50~\%$
LösungDie Wahrscheinlichkeit stellt in der Mathematik ein Maß für die Sicherheit beziehungsweise Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar. Ein Zufallsexperiment ist beispielsweise das Werfen eines Würfels. Die Wahrscheinlichkeit wird mit einem $P$ abgekürzt. Dies kommt von dem englischen Wort probability, das übersetzt Wahrscheinlichkeit bedeutet.
Die Wahrscheinlichkeit kann als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent angegeben werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Zufallsversuch ein bestimmtes Ereignis eintritt, liegt immer zwischen null und hundert Prozent. Oder in Dezimalzahlen ausgedrückt: zwischen null und eins. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer $4$, $5$ oder $6$ beim Würfelwurf beträgt beispielsweise $P(4,~ 5 \text{ oder } 6)=\frac{3}{6}=0,5=50~\%$
Bei einer Wahrscheinlichkeit von $0~\%$ sprechen wir von einem unmöglichen Ereignis. Das Werfen einer $8$ ist beim Würfelwurf beispielsweise ein unmögliches Ereignis. Bei einer Wahrscheinlichkeit von $100~\%$ handelt es sich um ein sicheres Ereignis. Das Werfen einer Zahl zwischen $1$ und $6$ ist beim Würfelwurf beispielsweise ein sicheres Ereignis.
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Bestimme die jeweilige Wahrscheinlichkeit.
TippsUntersuche, wie viele günstige und wie viele mögliche Ergebnisse es gibt.
Du kannst eine Wahrscheinlichkeit von einem Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner teilst. Um die Dezimalzahl in Prozent umzuwandeln, multipliziere mit $100$.
Lösung- Eine Münze wird geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, beträgt ...
$P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}=0,5=50~\%$- Ein Würfel wird geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, beträgt ...
$P(\text{gerade})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5=50~\%$- Ein Glücksrad mit zehn gleich großen Feldern wird gedreht. Vier der Felder sind grün. Die Wahrscheinlichkeit für grün beträgt ...
$P(\text{grün})=\frac{4}{10}=0,4=40~\%$- Aus einer Lostrommel mit fünf Gewinnlosen und $15$ Nieten wird ein Los gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn zu ziehen, beträgt ...
$P(\text{Gewinn})=\frac{5}{20}=0,25=25~\%$
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