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Termumformungen (Übungsvideo)

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Team Digital
Termumformungen (Übungsvideo)
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Termumformungen (Übungsvideo)

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Terme umzuformen, zusammenzufassen und zu vereinfachen.

Terme umformen und vereinfachen

Zunächst lernst du, wie du einfach Terme zusammenfassen kannst. Anschließend gibt es mehrere Aufgabenbeispiele, bei denen Terme vereinfacht werden. Abschließend lernst du, was äquivalente Terme sind.

äquivalente Terme

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits das Kommutativ- und das Distributivgesetz kennen und grundlegendes Wissen zu Termen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mit längeren Termen und mehreren Variablen rechnen zu können.

Transkript Termumformungen (Übungsvideo)

Tina macht gerade ein Praktikum in einem kleinen Tierpark. Es macht ihr Spaß, die Tiere zu versorgen. Aber sie hätte nicht gedacht, dass es hier so viel zu tun gibt. Um alle Aufgaben zu erledigen, braucht sie Wissen zu „Termumformungen“. Zur Erinnerung: Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern. Wenn wir Terme umformen möchten, wenden wir folgende Gesetze an. Mit dem Distributivgesetz können Klammern aufgelöst und mit dem Kommutativgesetz kann der Term geordnet werden. Außerdem können Terme mit gleichen Variablen zusammengefasst werden. Zum Beispiel sind „drei Komma vier x“ minus „zwei x“ gleich „eins Komma vier x“. Zuallererst muss Tina das Futter für die Tiere besorgen. Das ist eine lange Bestellliste. Fünf Karotten für die Ziegen, sieben Karotten für die Schweine und dann noch einmal zehn für die Esel. Weil Tina sehr gerne mit Termen arbeitet, schreibt sie gleich alles als Term auf. „fünf k“ plus „sieben k“ plus „zehn k“. Diese Summanden haben gleiche Variablen und können deshalb zu „zweiundzwanzig k“ zusammengefasst werden. Sie muss also zweiundzwanzig Karotten besorgen. Für die Anzahl an Äpfeln und Bananen wird die Futterbeschaffung schon etwas kniffliger. Die Affen haben gestern nämlich drei Bananen gar nicht angerührt. Deshalb lautet der Term nun acht mal in Klammern „a plus b“ minus „drei b“ plus „fünfzehn a“. Dabei steht a für die Anzahl der Äpfel und b für die Anzahl der Bananen. Zunächst einmal dürfen wir mit dem Distributivgesetz die Klammer ausmultiplizieren. Dadurch erhalten wir „acht a“ plus „acht b“ minus „drei b“ plus „fünfzehn a“. Mit dem Kommutativgesetz können wir jetzt die einzelnen Summanden vertauschen. Wir erhalten „acht a“ plus „fünfzehn a“ plus „acht b“ minus „drei b“. So sieht das schon ein wenig übersichtlicher aus und wir können den Term leichter zusammenfassen. Das ergibt „dreiundzwanzig a“ plus „fünf b“. Tina braucht also dreiundzwanzig Äpfel und fünf Bananen. Auch in der Buchhaltung des Tierparks fallen Terme an. „Fünf x“ mal in Klammern „zwei x“ minus „vier“ minus „x“ plus „zwölf“. Wir wenden wieder zunächst das Distributivgesetz an und multiplizieren aus. Da kommen wir auf „zehn x Quadrat“ minus „zwanzig x“ minus „x“ plus „zwölf“. Nun können wir gleiche Variablen zusammenfassen. Dadurch erhalten wir „zehn x Quadrat“ minus „einundzwanzig x“ plus „zwölf“. Weiter können wir diesen Term nicht vereinfachen. Für das neue Ziegengehege liegt schon ein Umriss vor, allerdings sind einige Maße noch unbekannt. Tina soll aus dem Umriss einen möglichst einfachen Term zur Flächenberechnung bilden. Sie erkennt, dass die Fläche aus Rechtecken zusammengesetzt ist und addiert diese. Das wären also „drei x“ plus „drei x“ plus „vier x“. Ihr Kollege Jonas hat einen anderen Term aufgestellt. In Klammern „x plus x“ mal drei plus „vier x“. Tina möchte überprüfen ob beide Terme äquivalent, also gleichwertig sind. Wenn wir also in dem ersten Term die drei mit dem Distributivgesetz ausklammern, dann erhalten wir den äquivalenten Term drei mal in Klammern „x plus x“ plus „vier x“. Mit dem Kommutativgesetz können wir nun die beiden Faktoren vertauschen und erhalten so den Term von Jonas. Die beiden Terme sind also gleichwertig. Und zusammenfassen können wir sie auch noch. „Drei x“ plus „drei x“ plus „vier x“ sind „zehn x“. Bei Jonas' Term können wir zuerst die Klammer berechnen. Da erhalten wir in Klammern „zwei x“ mal drei plus „vier x“. Das sind „sechs x“ plus „vier x“, also ebenfalls „zehn x“, denn die beiden Terme sind ja gleichwertig. Während Tina und Jonas den Umzug der Ziegen in das neue Gehege vorbereiten, fassen wir zusammen. Bei der Umformung von Termen helfen uns das Distributiv- und das Kommutativgesetz. Mit dem Distributivgesetz können wir Summen und Differenzen in Klammern auflösen und mit dem Kommutativgesetz können wir den Term ordnen. Dann kann man gleiche Variablen zusammenfassen. Bei diesen Umformungen bleiben die Terme äquivalent, also gleichwertig. Hat sich dieses Praktikum für Tina gelohnt? Es scheint als würde sie doch lieber Buchhalterin werden wollen.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Ist cool!

    Von Sumi ;), vor 6 Monaten

Termumformungen (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Termumformungen (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was Terme und Termumformungen sind.

    Tipps

    $3x + 4a + 2x = 3x + 2x + 4a$

    Hier wurde das Kommutativgesetz angewendet.

    Wir können den Term $2k + 5k - k$ zusammenfassen zu $6k$.

    Lösung

    Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern.
    Zum Beispiel: $4x + (3x+2y) \cdot 5$

    Wir kennen die folgenden Termumformungen:

    • Mit dem Distributivgesetz können Klammern aufgelöst werden.
    Beispiel: $4 \cdot (2x+y) = 4 \cdot 2x + 4 \cdot y$
    • Mit dem Kommutativgesetz kann ein Term geordnet werden.
    Beispiel: $2x + 6y + 7x = 2x + 7x + 6y$
    • Terme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.
    Beispiel: $5x - 2x + 5y + 2y =3x+7y$
  • Fasse die Terme zusammen.

    Tipps

    Terme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.

    Distributivgesetz – Beispiel:

    $4(x+y)=4x+4y$

    Lösung

    Um Terme zu vereinfachen, können wir mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen, mit dem Kommutativgesetz die Elemente ordnen, und Terme mit gleichen Variablen zusammenfassen.

    Beispiel 1:
    $5k+7k+10k =22k$
    Hier konnten die einzelnen Summanden zusammengefasst werden, da sie alle die gleiche Variable enthalten.

    Beispiel 2:
    $3x+3x+4x=10x$
    Auch hier konnten die einzelnen Summanden zusammengefasst werden, da sie alle die gleiche Variable enthalten.

    Beispiel 3:
    $(x+x) \cdot 3 + 4x = 3x + 3x + 4x = 10x$
    Hier wurde zuerst die Klammer mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst. Anschließend konnten die einzelnen Elemente mit derselben Variable zusammengefasst werden.

  • Ordne äquivalente Terme einander zu.

    Tipps

    Fasse, wenn möglich, Terme mit gleichen Variablen zusammen.

    Beispiel:

    $4(3x+y) = 12x+4y$

    Demnach sind $4(3x+y)$ und $12x+4y$ äquivalente Terme.

    Lösung

    Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie beim Einsetzen einer Zahl für die Variable den selben Wert annehmen.
    Nachweisen können wir die Äquivalenz von Termen auch, indem wir den einen Term in den anderen umformen.

    Wir können beispielsweise den Term auf der linken Seite vereinfachen, und so den Terme auf der rechten Seite erhalten. Manchmal erhalten wir auch den Term auf der linken Seite durch Vereinfachung des Termes auf der rechten Seite. Beim letzten Beispiel müssen wir beide Terme umformen:

    • $\mathbf{4s + 5t + 3s} = 4s + 3s + 5t = \mathbf{7s+5t}$
    • $\mathbf{3(2s + 4t)} = 3 \cdot 2s + 3 \cdot 4t = \mathbf{6s+12t}$
    • $\mathbf{(s+2s) \cdot 2 + 4t} = (3s) \cdot 2 + 4t = \mathbf{6s+4t}$
    • $\mathbf{(4+3s) \cdot 5t} = 4 \cdot 5t + 3s \cdot 5t = 20t + 15st = 15t + 5t + 15st = \mathbf{15t + 15st + 5t}$
  • Überprüfe, ob die Terme richtig umgeformt wurden.

    Tipps

    Überprüfe, ob die Klammern richtig aufgelöst wurden: Wird die Klammer mit einer Zahl oder mit einer Variable multipliziert, so muss beim Auflösen jedes Element aus der Klammer damit multipliziert werden.

    Nur Terme mit gleichen Variablen dürfen zusammengefasst werden, z.B. $3a+5a$. Der Term $3a + 5ab$ hingegen kann nicht zusammengefasst werden.

    Du kannst das Distributivgesetz auch in umgekehrter Reihenfolge anwenden, so wie im folgenden Beispiel:

    $4s + 4x = 4(s+x)$

    Lösung

    Richtige Umformungen:

    • $3a + 4(5b +2) = 3a + 20b +8$
    Hier wurde die Klammer richtig aufgelöst.
    • $2a +b -4a + b = 2(b-a)$
    Hier wurde richtig zusammengefasst und eine Klammer gesetzt. Dabei wurde das Distributivgesetz rückwärts angewendet. Ausführlich lautet die Umformung:
    $2a +b -4a + b =2a-4a+b+b=-2a+2b=2b-2a= 2(b-a)$

    • $3a + (4a -b) \cdot b = 3a + 4ab - b^2$
    Hier wurde die Klammer richtig aufgelöst.

    Falsche Umformungen:

    • $a(4+2b) - 4b = 4a-2b$
    Hier wurde die Klammer nicht richtig aufgelöst. Korrekt lautet die Umformung:
    $a(4+2b) - 4b =4a+2ab-4b$

    • $4a + 7a - a = 11a -1$
    Hier wurde der letzte Term $-a$ nicht richtig hinzugefügt. Korrekt lautet die Umformung:
    $4a+7a-a=4a+7a-1a=10a$

    • $6a - 6b = 6+(a-b)$
    Hier wurde das falsche Rechenzeichen zwischen Zahl und Klammer gesetzt. Korrekt muss es lauten:
    $6a-6b = 6 \cdot (a-b)$

  • Vereinfache den Term $5x \cdot (2x-4) - x + 12$.

    Tipps

    Löse zuerst die Klammer mit dem Distributivgesetz auf.

    Beispiel:

    $5b \cdot 3b = 15b^2$

    Lösung

    Der gegebene Term ist der Ausgangsterm:
    $5x \cdot (2x-4) - x + 12$
    Wir können zuerst die Klammer mit dem Distributivgesetz auflösen:
    $5x \cdot 2x- 5x \cdot 4 - x + 12$
    Wir fassen nun die beiden Produkte zusammen:
    $10x^2-20x-x+12$
    Wir können nun die beiden Summanden, welche $x$ enthalten zusammenfassen:
    $10x^2-21x+12$
    Weiter können wir den Term nicht vereinfachen.

  • Stelle einen Term auf und berechne.

    Tipps

    Stelle zunächst einen Term für die Anzahl der geleisteten Stunden pro Woche auf. Multipliziere ihn anschließend mit der Anzahl der Wochen.

    Fasse den Term zusammen. Hier einige Beispiele dazu:

    $4 \cdot 2x = 8x$

    $3x + 5x = 8x$

    Lösung

    Wir stellen den Term Schritt für Schritt auf:

    • Montags: $4s$
    • Donnerstags: $2s$
    • Die restlichen $3$ Tage jeweils: $5s$
    Insgesamt sind das pro Woche: $4s+2s+3 \cdot 5s$

    Da das Praktikum $3$ Wochen dauert, ergibt sich der Term:
    $\mathbf{(4s+2s+3 \cdot 5s) \cdot 3}$

    Wir können diesen Term vereinfachen, indem wir die ersten beiden Summanden in der Klammer zusammenfassen und das Produkt berechnen:
    $(6s + 15s) \cdot 3$
    Wir berechnen den Wert der Klammer:
    $(21s) \cdot 3$
    Vollständig zusammengefasst ergibt sich:
    $\mathbf{63s}$

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