Termumformungen (Übungsvideo)

Termumformungen (Übungsvideo) Übung

• Beschreibe, was Terme und Termumformungen sind.

  Tipps

  $3x + 4a + 2x = 3x + 2x + 4a$

  Hier wurde das Kommutativgesetz angewendet.

  Wir können den Term $2k + 5k - k$ zusammenfassen zu $6k$.

  Lösung

  Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern.
  Zum Beispiel: $4x + (3x+2y) \cdot 5$

  Wir kennen die folgenden Termumformungen:

  • Mit dem Distributivgesetz können Klammern aufgelöst werden.

  Beispiel: $4 \cdot (2x+y) = 4 \cdot 2x + 4 \cdot y$

  • Mit dem Kommutativgesetz kann ein Term geordnet werden.

  Beispiel: $2x + 6y + 7x = 2x + 7x + 6y$

  • Terme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.

  Beispiel: $5x - 2x + 5y + 2y =3x+7y$

• Fasse die Terme zusammen.

  Tipps

  Terme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.

  Distributivgesetz – Beispiel:

  $4(x+y)=4x+4y$

  Lösung

  Um Terme zu vereinfachen, können wir mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen, mit dem Kommutativgesetz die Elemente ordnen, und Terme mit gleichen Variablen zusammenfassen.

  Beispiel 1:
  $5k+7k+10k =22k$
  Hier konnten die einzelnen Summanden zusammengefasst werden, da sie alle die gleiche Variable enthalten.

  Beispiel 2:
  $3x+3x+4x=10x$
  Auch hier konnten die einzelnen Summanden zusammengefasst werden, da sie alle die gleiche Variable enthalten.

  Beispiel 3:
  $(x+x) \cdot 3 + 4x = 3x + 3x + 4x = 10x$
  Hier wurde zuerst die Klammer mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst. Anschließend konnten die einzelnen Elemente mit derselben Variable zusammengefasst werden.

• Ordne äquivalente Terme einander zu.

  Tipps

  Fasse, wenn möglich, Terme mit gleichen Variablen zusammen.

  Beispiel:

  $4(3x+y) = 12x+4y$

  Demnach sind $4(3x+y)$ und $12x+4y$ äquivalente Terme.

  Lösung

  Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie beim Einsetzen einer Zahl für die Variable den selben Wert annehmen.
  Nachweisen können wir die Äquivalenz von Termen auch, indem wir den einen Term in den anderen umformen.

  Wir können beispielsweise den Term auf der linken Seite vereinfachen, und so den Terme auf der rechten Seite erhalten. Manchmal erhalten wir auch den Term auf der linken Seite durch Vereinfachung des Termes auf der rechten Seite. Beim letzten Beispiel müssen wir beide Terme umformen:

  • $\mathbf{4s + 5t + 3s} = 4s + 3s + 5t = \mathbf{7s+5t}$
  • $\mathbf{3(2s + 4t)} = 3 \cdot 2s + 3 \cdot 4t = \mathbf{6s+12t}$
  • $\mathbf{(s+2s) \cdot 2 + 4t} = (3s) \cdot 2 + 4t = \mathbf{6s+4t}$
  • $\mathbf{(4+3s) \cdot 5t} = 4 \cdot 5t + 3s \cdot 5t = 20t + 15st = 15t + 5t + 15st = \mathbf{15t + 15st + 5t}$

• Überprüfe, ob die Terme richtig umgeformt wurden.

  Tipps

  Überprüfe, ob die Klammern richtig aufgelöst wurden: Wird die Klammer mit einer Zahl oder mit einer Variable multipliziert, so muss beim Auflösen jedes Element aus der Klammer damit multipliziert werden.

  Nur Terme mit gleichen Variablen dürfen zusammengefasst werden, z.B. $3a+5a$. Der Term $3a + 5ab$ hingegen kann nicht zusammengefasst werden.

  Du kannst das Distributivgesetz auch in umgekehrter Reihenfolge anwenden, so wie im folgenden Beispiel:

  $4s + 4x = 4(s+x)$

  Lösung

  Richtige Umformungen:

  • $3a + 4(5b +2) = 3a + 20b +8$

  Hier wurde die Klammer richtig aufgelöst.

  • $2a +b -4a + b = 2(b-a)$

  Hier wurde richtig zusammengefasst und eine Klammer gesetzt. Dabei wurde das Distributivgesetz rückwärts angewendet. Ausführlich lautet die Umformung:
  $2a +b -4a + b =2a-4a+b+b=-2a+2b=2b-2a= 2(b-a)$

  • $3a + (4a -b) \cdot b = 3a + 4ab - b^2$

  Hier wurde die Klammer richtig aufgelöst.

  Falsche Umformungen:

  • $a(4+2b) - 4b = 4a-2b$

  Hier wurde die Klammer nicht richtig aufgelöst. Korrekt lautet die Umformung:
  $a(4+2b) - 4b =4a+2ab-4b$

  • $4a + 7a - a = 11a -1$

  Hier wurde der letzte Term $-a$ nicht richtig hinzugefügt. Korrekt lautet die Umformung:
  $4a+7a-a=4a+7a-1a=10a$

  • $6a - 6b = 6+(a-b)$

  Hier wurde das falsche Rechenzeichen zwischen Zahl und Klammer gesetzt. Korrekt muss es lauten:
  $6a-6b = 6 \cdot (a-b)$

• Vereinfache den Term $5x \cdot (2x-4) - x + 12$.

  Tipps

  Löse zuerst die Klammer mit dem Distributivgesetz auf.

  Beispiel:

  $5b \cdot 3b = 15b^2$

  Lösung

  Der gegebene Term ist der Ausgangsterm:
  $5x \cdot (2x-4) - x + 12$
  Wir können zuerst die Klammer mit dem Distributivgesetz auflösen:
  $5x \cdot 2x- 5x \cdot 4 - x + 12$
  Wir fassen nun die beiden Produkte zusammen:
  $10x^2-20x-x+12$
  Wir können nun die beiden Summanden, welche $x$ enthalten zusammenfassen:
  $10x^2-21x+12$
  Weiter können wir den Term nicht vereinfachen.

• Stelle einen Term auf und berechne.

  Tipps

  Stelle zunächst einen Term für die Anzahl der geleisteten Stunden pro Woche auf. Multipliziere ihn anschließend mit der Anzahl der Wochen.

  Fasse den Term zusammen. Hier einige Beispiele dazu:

  $4 \cdot 2x = 8x$

  $3x + 5x = 8x$

  Lösung

  Wir stellen den Term Schritt für Schritt auf:

  • Montags: $4s$
  • Donnerstags: $2s$
  • Die restlichen $3$ Tage jeweils: $5s$

  Insgesamt sind das pro Woche: $4s+2s+3 \cdot 5s$

  Da das Praktikum $3$ Wochen dauert, ergibt sich der Term:
  $\mathbf{(4s+2s+3 \cdot 5s) \cdot 3}$

  Wir können diesen Term vereinfachen, indem wir die ersten beiden Summanden in der Klammer zusammenfassen und das Produkt berechnen:
  $(6s + 15s) \cdot 3$
  Wir berechnen den Wert der Klammer:
  $(21s) \cdot 3$
  Vollständig zusammengefasst ergibt sich:
  $\mathbf{63s}$