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Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen

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Team Digital
Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen

Inhalt

Aufstellen und Lösen einer linearen Gleichung mit einer Variablen

In diesem Text wird das Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungen mit einer Variablen einfach erklärt. Dazu schauen wir uns an einem Beispiel an, wie wir eine Gleichung aus einer Textaufgabe erstellen und anschließend lösen können.

Was sind lineare Gleichungen mit einer Variablen?

Wie der Name schon sagt, gibt es in der Gleichung nur eine Variable, das heißt eine unbekannte Größe. Linear bedeutet zudem, dass die Variable nur in einfacher Form, also nicht quadriert, vorkommt. Eine ausführliche Erklärung dazu findest du im Video über lineare und nichtlineare Gleichungen.

Schauen wir uns nun genauer an, wie man aus einer Textaufgabe eine lineare Gleichung mit einer Variablen aufstellen und lösen kann.

Wie stellt man eine lineare Gleichung mit einer Variablen auf?

Um eine lineare Gleichung aus einer Textaufgabe aufzustellen, müssen wir die Aufgabe zunächst genau lesen und alle wichtigen Informationen markieren oder herausschreiben. Aus diesen Informationen stellen wir dann die Gleichung auf.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

Textaufgabe:

Kata und Simon haben lange gespart, um auf dem Rummel Achterbahn fahren zu können. Sie wollen so oft wie möglich fahren. Eine Fahrt kostet $8\,€$. Zudem wollen beide eine Runde mit dem Riesenrad fahren. Das kostet pro Person $5\,€$. Für Simon darf eine Zuckerwatte nicht fehlen. Dafür bezahlt er $2\,€$. Für die Zuckerwatte verzichtet er sogar auf eine Achterbahnfahrt. Zusammen haben die beiden $100\,€$ gespart. Wie häufig können sie mit der Achterbahn fahren?

Wir notieren zuerst alle wichtigen Informationen aus dem Text und fassen sie anschließend in einer Tabelle zusammen.

Gegeben:

Schauen wir uns zunächst die Geldbeträge an:

  • Eine Achterbahnfahrt kostet $8\,€$.
  • Eine Fahrt mit dem Riesenrad kostet $5\,€$.
  • Eine Zuckerwatte kostet $2\,€$.
  • Kata und Simon haben $100\,€$ zur Verfügung.

Betrachten wir nun, was sie sich von diesem Geld kaufen:

  • Simon kauft sich eine Zuckerwatte.
  • Beide kaufen sich ein Ticket für das Riesenrad.

Gesucht:

Gesucht ist nun die Anzahl an möglichen Fahrten mit der Achterbahn. Wir können für die Anzahl von Katas Fahrten die Variable $x$ wählen. All die gesammelten Informationen können wir in einer Tabelle zusammenfassen. Da Simon sich unbedingt auch Zuckerwatte kaufen will, verzichtet er auf eine Achterbahnfahrt. Wir schreiben in seine Spalte für die Anzahl der Achterbahnfahrten also $\bigl(x-1\bigr)$.

Fahrten mit der Achterbahn $(8\,€)$ Fahrten mit dem Riesenrad $(5\,€)$ Zuckerwatte $(2\,€)$ gespartes Geld
Kata
$x$
$1$
$-$
Simon
$\bigl(x-1\bigr)$
$1$
$1$
$100\,€$

Gleichung aufstellen:

Bilden wir aus diesen Informationen nun eine Gleichung. Zunächst rechnen wir den Preis einer Achterbahnfahrt mal die Anzahl von Katas Fahrten (die Einheit $€$ lassen wir im Folgenden der Einfachheit halber weg):

$8 \cdot x$

Nun addieren wir den Preis, den Simon für die Achterbahnfahrten bezahlt. Dafür multiplizieren wir den Preis einer Fahrt mit der Anzahl der Fahrten, die Simon macht:

$8 \cdot x + 8 \cdot \bigl( x- 1 \bigr)$

Dazu addieren wir zweimal $5\,€$ für die Fahrt mit dem Riesenrad und einmal $2\,€$ für Simons Zuckerwatte. Da sie insgesamt $100\,€$ zur Verfügung haben, schreiben wir diesen Betrag auf die andere Seite der linearen Gleichung. Diese lautet nun:

$8 \cdot x + 8 \cdot \bigl( x- 1 \bigr) + 5 + 5 + 2 = 100$

Wir haben eine lineare Gleichung mit der Variablen $x$ aufgestellt. Schauen wir uns im nächsten Absatz an, wie wir sie lösen können.

Wie löst man eine lineare Gleichung mit einer Variablen?

Lösen wir die aufgestellte Gleichung nach $x$ auf, so erhalten wir die Anzahl der Fahrten mit der Achterbahn, die die beiden machen können. Dafür gehen wir schrittweise vor.

Schritt 1: Distributivgesetz

Zunächst können wir mithilfe des Distributivgesetzes die Klammern auflösen. Dafür multiplizieren wir die Terme innerhalb der Klammer einzeln mit $8$.

$8 \cdot \bigl( x- 1 \bigr) = 8\,x - 8$

Somit lautet die Gleichung:

$8 \cdot x + 8\,x - 8 + 5 + 5 + 2 = 100$

Schritt 2: Zusammenfassen

Gleichnamige Terme auf der linken Seite können im nächsten Schritt zusammengefasst werden. Wir können $8\,x$ und $8\,x$ zu $16\,x$ zusammenfassen. Zudem können wir alle Terme ohne $x$ zusammenfassen zu $4$.

$8 \cdot x + 8\,x = 16\,x$
$- 8 + 5 + 5 + 2 = 4$

Die Gleichung lautet nun:

$16\,x + 4 = 100$

Schritt 3: Nach $x$ auflösen

Im letzten Schritt lösen wir die Gleichung nach $x$ auf. Dafür subtrahieren wir zunächst auf beiden Seiten $4$. Im Anschluss dividieren wir beide Seite mit $16$ und erhalten für $x$:

$16\,x + 4 = 100 \quad \vert -4$
$\quad \, \, \, \, 16\,x = 96 \quad \vert :16$
$\qquad \quad x = 6$

Probe:

Mithilfe einer Probe können wir überprüfen, ob unser Ergebnis stimmt. Dafür setzen wir in der Ausgangsgleichung die berechnete $6$ für das $x$ ein. Dann vereinfachen wir so weit wie möglich und überprüfen, ob beide Seiten der Gleichung denselben Wert haben.

$8 \cdot 6 + 8 \cdot \bigl( 6- 1 \bigr) + 5 + 5 + 2 = 100$

Auch hier können wir zuerst die Klammern ausrechnen.

$8 \cdot 6 + 8 \cdot 5 + 5 + 5 + 2 = 100$

Es gilt Punkt- vor Strichrechnung, weshalb wir im nächsten Schritt multiplizieren.

$48 + 40 + 5 + 5 + 2 = 100$

Nun können wir alles addieren und erhalten:

$100 = 100$

Die Werte auf beiden Seiten sind gleich groß. Die Lösung $x=6$ ist demnach korrekt.

Lösung:

Die Variable $x$ steht für die Anzahl an Achterbahnfahren, die Kata machen kann. Sie kann also $6$-mal mit der Achterbahn fahren. Da Simon eine Fahrt weniger macht, kann er $5$-mal fahren. Bei Textaufgaben wird in der Regel ein Antwortsatz verlangt. Dieser könnte lauten:
Kata kann 6-mal und Simon 5-mal mit der Achterbahn fahren.

Weitere Aufgaben zu linearen Gleichungen mit einer Variablen

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungsaufgaben und Arbeitsblätter zum Thema Lineare Gleichungen mit einer Variablen.

Transkript Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen

Katha und Simon lieben Achterbahnfahren und haben für einen Jahrmarktbesuch ihr Sparschwein geschlachtet. Sie wollen das Geld optimal ausnutzen. Eine Achterbahnfahrt kostet 8€. Auch mit dem Riesenrad wollen sie zusammen fahren. Ein Ticket für das Riesenrad kostet 5€. Simon ist ein wahres Schleckermaul und kann nicht zum Rummel ohne...Zuckerwatte! Er lässt dafür sogar eine Achterbahnfahrt sausen, um Zuckerwatte für 2€ zu kaufen. Zusammen haben Katha und Simon einhundert Euro. Die beiden lieben den Nervenkitzel und wollen so viel Achterbahn wie möglich fahren. Aber wie oft können sie mit der Achterbahn fahren, bis ihr Geld aufgebraucht ist? Um das herauszufinden,können wir eine lineare Gleichung verwenden.

Aufstellen einer linearen Gleichung

Lass uns unsere Informationen notieren und dazu eine Gleichung aufstellen. Eine Achterbahnfahrt kostet 8 Euro pro Person. Eine Fahrt mit dem Riesenrad kostet 5 Euro pro person. Einmal Zuckerwatte kostet 2 Euro. Zusammen können sie 100 Euro ausgeben. Simon kauft eine Zuckerwatte. Außerdem kaufen sie 2 Tickets für eine Fahrt mit dem Riesenrad. Gesucht ist die Anzahl an Achterbahnfahrten. Lass uns x für die Anzahl von Kathas Fahrten nutzen. Simon macht eine Fahrt weniger, um Zuckerwatte zu kaufen. Wir können seine Anzahl an Fahrten mit x minus 1 ausdrücken. Unsere Gleichung lautet also: 8 Euro für die Achterbahn mal x für die Anzahl von Kathas Fahrten. Plus 8 Euro für die Achterbahn [...] mal x minus 1 [...] für die Anzahl von Simons Fahrten. Addiere zwei mal 5 Euro für Kathas und Simons Riesenradfahrt. Und außerdem 2 Euro für Simons Zuckerwatte. Sie haben insgesamt 100 Euro. Schreibe diesen Betrag auf die andere Seite der Gleichung. Du hast jetzt also eine lineare Gleichung mit der Variable x auf einer Seite. Um rauszufinden, wie viele Fahrten Katha und Simon machen können, löst du die Gleichung nach x auf.

Gleichungen nach x auflösen

Dafür gehst du Schritt für Schritt vor: Zuerst löst du die Klammern mit Hilfes des Distributivgesetzes auf, indem du jeden Term innerhalb der Klammern mit 8 multiplizierst. Das ergibt: 8x plus 8x minus 8 plus 5 plus 5 plus 2 ist gleich 100. Als nächstes fasst du auf der linken Seite der Gleichung gleichnamige Terme so weit wie möglich zusammen. Das ergibt 16x plus 4 ist gleich 100. Anschließend musst du die Gleichung nach x auflösen. Dazu nutzt du die Umkehroperationen. Wenn du 4 von beiden Seiten subtrahierst, vereinfachst du die Gleichung und änderst nichts an der Lösungsmenge. Du erhältst 16x ist gleich 96. Jetzt nutzt du noch einmal die Umkehroperation: Um weiter nach x aufzulösen, dividierst du beide Seiten durch 16. Das Ergebnis der Gleichung lautet: x ist gleich 6.

Durchführen der Probe nach Lösen der Gleichung

Lass uns die Probe machen. Setze 6 für x in der Ausgangsgleichung ein und vereinfache, so weit wie möglich. Rechne zuerst die Klammern aus. Danach multiplizerst du. Zum Schluss addierst du auf beiden Seiten der Gleichung. Der Wert auf der linken Seite und der Wert auf der rechten Seite sind gleich groß. Also ist unsere Lösung x ist gleich 6 richtig!

Zusammenfassung

Und was bedeutet das? Erinnere dich: x steht für die Anzahl von Achterbahnfahrten, die Katha machen kann. Also kann sie 6 Mal fahren. Sam macht eine Fahrt weniger, also x minus 1. 6 minus 1 ist gleich 5. Super!

Ende

Auf geht die wilde Fahrt - ahrt- ahrt! [Echo wie auf dem Rummel] Aber...vielleicht hätte Simon vorher lieber KEINE Zuckerwatte essen sollen...

25 Kommentare

25 Kommentare
  1. Gutes viedio;(;)

    Von Joel, vor 4 Monaten
  2. Habe alles verstanden und das Video war wirklich sehr witzig,aber auch sehr hilfreich

    Von Sophia, vor 5 Monaten
  3. Gutes Video

    Von Nora, vor etwa einem Jahr
  4. SehrCoolesVideoichliebedievomTeamDigitalunddenGschichten

    Von Phantom_2.0, vor mehr als einem Jahr
  5. ist eine Achterbahnfahrt so teuer?

    Von Phantom_2.0, vor mehr als einem Jahr
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Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die gesuchte lineare Gleichung auf.

    Tipps

    Für die Berechnung des Gesamtpreises gilt allgemein:

    Anzahl $\cdot$ Einzelpreis $=$ Gesamtpreis.

    Bedenke, dass Simon auf eine Achterbahnfahrt verzichtet, um sich eine Zuckerwatte zu gönnen. Somit gilt:

    Anzahl Achterbahnfahrten Simon $=$ Anzahl Achterbahnfahrten Kata $\mathbf{- 1}$.

    Lösung

    Folgende Angaben sind bekannt:

    Einzelpreise:

    • Achterbahn $8\ €$
    • Riesenrad $5\ €$
    • Zuckerwatte $2\ €$
    Kata (Anzahl):
    • $x$-mal Achterbahn fahren
    • $1$-mal Riesenrad fahren
    • $0$-mal Zuckerwatte kaufen
    Simon (Anzahl):
    • $(x-1)$-mal Achterbahn fahren
    • $1$-mal Riesenrad fahren
    • $1$-mal Zuckerwatte kaufen
    Gesamtausgabe:
    • $100\ €$
    Außerdem gilt für die Berechnung des Gesamtpreises: Anzahl $\cdot$ Einzelpreis $=$ Gesamtpreis.

    Mit diesen Angaben kann folgende lineare Gleichung aufgestellt werden:

    $\mathbf{8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2=100}$.

  • Beschreibe die Rechenschritte bei der Berechnung der Unbekannten $x$.

    Tipps

    Die linke Seite der linearen Gleichung muss zunächst mithilfe von Rechengesetzen vereinfacht werden.

    Bringe gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung, sodass du im letzten Schritt die Variable $x$ isolieren kannst. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \begin{array}{llll} 2\cdot (x+1)-5 & = & 3 & \\ 2\cdot x+2\cdot 1-5 & = & 3 & \\ 2x-3 & = & 3 & \vert +3 \\ 2x & = & 6 & \vert :2 \\ x & = & 3 & \end{array} $

    Lösung

    Die gegebene lineare Gleichung mit der Variablen $x$, welche für die Anzahl der Achterbahnfahrten von Kata steht, lautet:

    $8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2=100$.

    In dieser Gleichung wird zunächst der Klammerausdruck auf der linken Seite der Gleichung mittels der Anwendung des Distributivgesetzes aufgelöst. Anschließend werden alle gleichartigen Terme auf der linken Seite zusammengefasst.

    $ \begin{array}{lllr} 8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2 & = & 100 & \\ 8\cdot x+8\cdot x-8\cdot 1+5+5+2 & = & 100 & \\ 16\cdot x+4 & = & 100 & \\ \end{array} $

    Im nächsten Schritt werden gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht, sodass im letzen Schritt nur noch die Variable $x$ isoliert werden muss. Es folgt:

    $ \begin{array}{llll} 16\cdot x+4 & = & 100 & \vert -4 \\ 16x & = & 96 & \vert :16 \\ x & = & 6 & \end{array} $

    Demnach kann Kata bei optimaler Nutzung des ersparten Geldes $6$ Mal Achterbahn fahren. Da Simon auf eine Achterbahnfahrt verzichtet, darf er $x-1$ Mal, also $5$ Mal mit der Achterbahn fahren.

  • Bestimme die gesuchte lineare Gleichung und löse diese.

    Tipps

    Die Summe aller Mengen muss der Gesamtmenge von $150\ \text{ml}$ entsprechen.

    Die Menge für die Sahne ist durch die Variable $x$ gegeben.

    Zu der Menge des Ananassirups ist uns folgende Information bekannt:

    Die Menge des Ananassirups entspricht der doppelten Sahnemenge um $60\ \text{ml}$ verringert.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    In einem Rezept soll das Dreifache einer Menge $x$ um $40$ verringert hinzugegeben werden. Als Term ergibt sich:

    • $3x-40$.
    Lösung

    Folgende Angaben sind uns aus der Aufgabenstellung bekannt:

    • $20\ \text{ml}$ Kokossirup,
    • $30\ \text{ml}$ Ananassaft,
    • $40\ \text{ml}$ Maracujasaft und
    • $150\ \text{ml}$ Gesamtmenge.
    Zudem wissen wir:

    Die Menge von dem Ananassirup ist um $60\ \text{ml}$ weniger als die doppelte Menge der Sahne.

    Wenn wir also in unserer Gleichung $x$ für die Sahnemenge annehmen, dann gilt für die Menge von dem Ananassirup $2x-60$ und wir erhalten folgende lineare Gleichung:

    $ \begin{array}{lllr} x+2x-60+20+30+40 & = & 150 & \\ 3x+30 & = & 150 & \vert -30\\ 3x & = & 120 & \vert :3\\ x & = & 40 \end{array} $

    Somit erhalten wir folgende Mengen:

    • $40\ \text{ml}$ Sahne und
    • $20\ \text{ml}$ Ananassirup.
  • Ermittle die Unbekannte $x$ durch geschicktes Rechnen.

    Tipps

    Beim Vereinfachen der Gleichungen musst du das Distributivgesetz anwenden. Dieses lautet wie folgt:

    $a\cdot(b+c)=ab+ac$.

    Klammern können auch weitere Klammern enthalten. In so einem Fall rechnet man von innen nach außen. Auch dann sollst du weiterhin das Distributivgesetz anwenden. Allgemein gilt:

    $a\cdot [b\cdot (c+d)]=a\cdot [bc+bd]=abc+abd$.

    Wenn eine Gleichung auf beiden Seiten so weit wie möglich vereinfacht ist, werden gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung gebracht. Dies erfolgt mittels Umkehroperationen.

    Lösung

    Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird anhand der dritten Gleichung gezeigt. Diese lautet:

    $4\cdot [3\cdot (2x+1)+2]+x-15 = 155$.

    Um die lineare Gleichung zu lösen, wird im ersten Schritt die linke Seite der Gleichung vereinfacht. Dazu wird zunächst der Klammerausdruck aufgelöst. Da in diesem Fall die ersten Klammern weitere Klammern enthalten, wird von innen nach außen gerechnet. Es folgt:

    $ \begin{array}{llll} 4\cdot [3\cdot (2x+1)+2]+x-15 & = & 155 & \\ 4\cdot [6x+3+2]+x-15 & = & 155 & \\ 4\cdot [6x+5]+x-15 & = & 155 & \\ 24x+20+x-15 & = & 155 & \\ 25x+5 & = & 155 & \\ \end{array} $

    Im nächsten Schritt werden gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht und die Unbekannte $x$ isoliert:

    $ \begin{array}{llll} 25x+5 & = & 155 & \vert -5 \\ 25x & = & 150 & \vert :25 \\ x & = & 6 & \\ \end{array} $

  • Bestimme durch eine Probe, welche Lösung die gegebene lineare Gleichung erfüllt.

    Tipps

    Eine Probe wird durchgeführt, indem der berechnete Wert für die Variable $x$ eingesetzt und der Term so weit wie möglich vereinfacht wird.

    Falls es sich um die korrekte Lösung handelt, steht auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    • $4x+5=25$.
    Wir führen die Probe erst mit der $3$ und dann mit der $5$ durch.
    $3$ eingesetzt für $x$ liefert:

    • $4\cdot 3+5 = 12+5 = 17 \neq 25$.
    Somit ist die $3$ keine Lösung der Gleichung.

    Nun wird für $x$ die $5$ eingesetzt und der Term auf der linken Seite berechnet:

    • $4\cdot 5+5 = 20+5 = 25$.
    Die $5$ erfüllt die gegebene lineare Gleichung.

    Lösung

    Für die lineare Gleichung $2\cdot(x+1)=4$ sollen beide Proben durchgeführt werden, um die zutreffende Lösung zu finden.

    Zunächst wird für $x$ die $5$ eingesetzt und vereinfacht:

    • $2\cdot(5+1)=2\cdot 6=12\neq 4$.
    Wir sehen, dass die $5$ die gegebene Gleichung nicht erfüllt. Nun führen wir die Probe für die $1$ durch. Wir setzen für $x$ die $1$ ein und berechnen:

    • $2\cdot(1+1)=2\cdot 2=4$.
    Wir erhalten durch Einsetzen der $1$ in die gegebene lineare Gleichung $2\cdot(x+1)=4$ auf der linken und rechten Seite der Gleichung denselben Wert. Somit ist $1$ die Lösung der Gleichung.

  • Leite die gesuchte lineare Gleichung her und löse diese.

    Tipps

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    Zwei Zahlen unterscheiden sich um $3$. Die Differenz aus dem Vierfachen der kleineren Zahl und dem Zweifachen der größeren Zahl entspricht $2$. Wir berechnen hier die Größere.

    $ \begin{array}{llll} 4\cdot (x-3)-2x & = & 2 & \\ 4x -12 -2x & = & 2 & \\ 2x -12 & = & 2 & \vert +12 \\ 2x & = & 14 & \vert :2 \\ x & = & 7 & \\ \end{array} $

    Der Vorgänger einer natürlichen Zahl $x$ kann mit $x-1$ beschrieben werden. Ähnlich machst du es für den Nachfolger.

    Lösung

    Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird anhand der zweiten Teilaufgabe verdeutlicht.

    Folgendes ist uns bekannt:

    Die Summe dreier Zahlen ist $112$. Dabei ist die zweite Zahl um $8$ größer als die erste Zahl. Die dritte Zahl entspricht dem Sechsfachen der zweiten Zahl.

    Wie groß ist die erste Zahl?

    Gehen wir nun Schritt für Schritt vor. Wir nehmen für die gesuchte erste Zahl die Variable $x$ an. Dann folgt für die zweite Zahl $x+8$, da diese um $8$ größer ist als die erste Zahl. Die dritte Zahl entspricht dem Sechsfachen der zweiten Zahl, ist also $6$-mal so groß. Für die dritte Zahl nehmen wir also $6\cdot (x+8)$ an. Nun müssen die einzelnen Terme addiert und mit $112$ gleichgesetzt werden.

    Wir erhalten:

    $ \begin{array}{llll} x+x+8+6\cdot (x+8) & = & 112 & \\ x+x+8+6x+48 & = & 112 & \\ 8x+56 & = & 112 & \vert -56 \\ 8x & = & 56 & \vert :8 \\ x & = & 7 & \\ \end{array} $

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