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Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Erfahre, wie Gleichungen und ihre Lösungen zusammenhängen. Die Lösungsmenge enthält alle möglichen Lösungen einer Gleichung. Von einzelnen Lösungen bis zu leeren oder unendlichen Mengen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)
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Was ist eine Lösungsmenge?

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Grundlagen zum Thema Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Was ist eine Lösungsmenge?

Du kennst schon Gleichungen mit Variablen und weißt, dass für jede Variable Zahlen eingesetzt werden können. Du weißt auch, dass eine Zahl, die aus der Gleichung mit der Variablen eine wahre Gleichung macht, eine Lösung dieser Gleichung darstellt. Ein Beispiel dafür ist die folgende Gleichung:

13x=913 - x = 9

Setzen wir für xx eine Vier in die Gleichung ein, erhalten wir:

134=913 - 4 = 9

Da 13413-4 in der Tat neun ergibt, handelt es sich um eine wahre Gleichung und x=4x=4 ist eine Lösung der Gleichung. Was ist nun eine Lösungsmenge?

Lösungsmenge – Definition

  • Als Lösungsmenge einer Gleichung bezeichnet man die Menge aller Lösungen dieser Gleichung.

Wir betrachten dazu ein Beispiel. Gegeben sei die folgende Gleichung:

(x2)(x+7)(x1)=0(x-2) \cdot (x+7) \cdot (x-1) = 0

Da die Multiplikation mit null immer null ergibt, können wir die Lösungen der Gleichung ablesen. Setzen wir für xx eine zwei ein, wird die erste Klammer null und die Gleichung ist erfüllt. Also ist x=2x=2 eine Lösung der Gleichung. Die zweite Klammer wird null, wenn wir x=7x=-7 setzen. Auch so wird die Gleichung erfüllt. Und setzen wir x=1x=1, wird die dritte Klammer null. Es gibt also verschiedene Lösungen dieser Gleichung. Die Zahlen x=2x=2; x=7x=-7 und x=1x=1 sind Lösungen der Gleichung. Sie bilden zusammen die Lösungsmenge dieser Gleichung, denn es gibt keine weiteren Lösungen. Setzen wir für xx eine andere Zahl als 22, 7-7 oder 11 ein, so sind alle drei Klammern ungleich null und die Gleichung ist falsch – denn ein Produkt, in dem alle Faktoren ungleich null sind, ist immer ungleich null.

Wir können in der Mathematik die Lösungsmenge folgendermaßen aufschreiben:

L={2;7;1}\mathbb L = \{ 2; -7; 1 \}

Das Zeichen L\mathbb L zeigt an, dass es sich um die Lösungsmenge handelt. Die Lösungen werden in geschweifte Klammern gesetzt und durch Semikola getrennt. Um sicherzustellen, dass die Menge 2;7;1{ 2; -7; 1 } die Lösungsmenge der Gleichung ist, haben wir überprüft, dass die einzelnen Elemente dieser Menge Lösungen der Gleichung sind und dass es keine weiteren Lösungen gibt, dass wir also alle Lösungen der Gleichung aufgeschrieben haben.

Wir betrachten als weiteres Beispiel die folgende Gleichung:

15a=a+315-a = a +3

Wir formen die Gleichung um:

15a=a+3 315 -a = a +3 ~|-3

12a=a +a12-a = a ~|+a

12=2a12 = 2a

a=6a = 6

Diese Gleichung hat nur eine Lösung, und zwar a=6a=6. In diesem Fall enthält die Lösungsmenge auch nur ein Element:

L={6}\mathbb L = \{ 6 \}

Die Lösungsmenge muss also nicht mehrere Lösungen enthalten. Sie kann auch nur ein einziges Element enthalten. Und die Lösungsmenge kann sogar leer sein. Wir betrachten dazu das folgende Beispiel:

(7,3y)0=1(7,3-y) \cdot 0 = 1

Da jede Multiplikation mit null auch null ergibt, kann diese Gleichung nicht erfüllt werden. Deswegen hat sie keine Lösung. Auch das können wir mithilfe der Lösungsmenge ausdrücken:

L={}\mathbb L = \{ \}

Die Lösungsmenge ist die leere Menge, sie enthält kein einziges Element. Die Lösungsmenge kann auch unendlich viele Lösungen enthalten. Wir betrachten die Gleichung:

23x=1x13\frac{2}{3} - x = 1-x-\frac{1}{3}

Da 1131-\frac{1}{3} gerade 23\frac{2}{3} ergibt, steht auf beiden Seiten das Gleiche. Also erfüllt jede Zahl diese Gleichung. Das schreiben wir so:

L=R\mathbb L = \mathbb R

Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist die Menge der reellen Zahlen. Da das Zeichen R\mathbb R bereits für eine Menge steht, setzen wir hier keine Mengenklammern.

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In diesem Video wird dir eine einfache Erklärung zur Lösungsmenge von Gleichungen geliefert. Ob du alles verstanden hast, kannst du gleich mit den interaktiven Übungsaufgaben auf dieser Seite überprüfen.

Transkript Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Huch! eine Tür! Und da steht eine Gleichung drauf. Na, dann wird wohl derjenige Schlüssel passen, dessen Zahl die Gleichung löst. Wo ist er denn. Ah hier! Die ZWEI! Na also! Wie zu einem Schloss der passende Schlüssel gehört, so passt auch zu einer Gleichung die zugehörige Lösung. Und ALLE Lösungen einer Gleichung bilden die LÖSUNGSMENGE. Gleichungen und Ungleichungen besitzen Lösungsmengen, aber auch Gleichungssysteme und Ungleichungssysteme. Immer ist die MENGE ALLER Lösungen gemeint, wenn von der jeweils zugeordneten LÖSUNGSMENGE die Rede ist. Schauen wir uns die Gleichung von eben noch einmal an. Die ZWEI ist eine Lösung dieser Gleichung, denn wenn man 2 einsetzt, erhält man: '3 mal 2' ist gleich '6'. Eine wahre Aussage. Die 2 ist dabei die EINZIGE Zahl, die diese Gleichung löst. Die Lösungsmenge enthält daher nur EIN Element: die 2. DIESES L mit dem doppelten Strich ist das Zeichen für eine Lösungsmenge. Und die Elemente stehen wie in jeder Menge in geschweiften Klammern. Schauen wir uns noch ein Beispiel an: Wo sind denn die Schlüssel. Hier ist die Zahl DREI eine Lösung, denn '3 zum Quadrat' ergibt 9. Aber es gibt noch eine weitere: Auch 'minus 3 zum Quadrat' ergibt 9, also ist auch 'minus 3' eine Lösung. Beide Schlüssel passen. Nehmen wir mal DEN Schlüssel. Einer Gleichung mit zwei Lösungen ist auch eine Lösungsmenge mit zwei Elementen zugeordnet. Die einzelnen Elemente der Menge werden durch Kommas getrennt. Huch! Schon wieder eine Tür! Mhh. Diese Gleichung ist eigenartig. Egal, welche Zahl man für x einsetzt, sie ist immer erfüllt. Denn jede Zahl 'plus Null' ergibt sich selbst. Dann müsste ja jeder Schlüssel passen! Nehmen wir mal irgendeinen. Tatsächlich! Diese Gleichung wird von JEDER reellen Zahl gelöst. Daher enthält auch die Lösungsmenge ALLE reellen Zahlen. Weil dieses R schon für die Menge der reellen Zahlen steht, müssen wir hier KEINE geschweiften Klammern drumherum setzen. Auch UNGLEICHUNGEN haben häufig unendlich viele Lösungen. Die jeweilige Lösungsmenge umfasst aber NICHT unbedingt ALLE reellen Zahlen, sondern nur eine Teilmenge oder auch die Vereinigung mehrerer Teilmengen davon. Während GESCHWEIFTE Klammern eine Menge aus Einzelelementen bezeichnen, schließen RUNDE oder ECKIGE Klammern jeweils ein INTERVALL ein. Und was ist das? Gleichungssysteme enthalten oft ZWEI Variablen. Eine Lösung ist dann nicht eine einzelne Zahl, sondern ein PAAR aus Zahlen. Dieses Gleichungssystem wird bspw. durch das Zahlenpaar 'x gleich 2' und 'y gleich 4' gelöst. Hineinspaziert! Schauen wir uns zunächst den Fall EINER Gleichung mit ZWEI Variablen an: Jedes Zahlenpaar, dass diese Gleichung erfüllt, ist Element der Lösungsmenge. Das sind häufig unendlich viele. In einem GleichungsSYSTEM müssen aber ALLE Gleichungen erfüllt werden. Und nur noch DIEJENIGEN Zahlenpaare, die das erfüllen, sind Element der Lösungsmenge. Enthält eine Gleichung oder ein Gleichungssystem DREI Variablen heißen die Lösungen TRIPEL. Bei VIER Variablen QUADRUPEL. Und bei n Variablen n-Tupel. Fassen wir das noch einmal zusammen: Jede Gleichung und jede Ungleichung, jedes Gleichungssystem und jedes Ungleichungssystem besitzt eine jeweils zugeordnete LÖSUNGSMENGE. Dabei handelt es sich um diejenige Menge, die ALLE Lösungen enthält. Gleichungen können eine, mehrere oder unendlich viele Lösungen besitzen. Enthält eine Gleichung oder ein Gleichungssystem MEHRERE Variablen, dann sind PAARE, Tripel, Quadrupel oder n-Tupel die Lösungen und damit die möglichen Elemente der Lösungsmenge. Nur einen Fall haben wir bisher ausgelassen: Was ist, wenn eine Gleichung gar nicht lösbar ist? Diese Gleichung wird bspw. von KEINER Zahl gelöst, denn KEINE Zahl ist um 1 größer als sie selbst. Hat diese Gleichung dann keine Lösungsmenge? DOCH! Die LEERE MENGE. Aber eine Tür mit einer solchen Gleichung lässt sich trotzdem nicht öffnen. Besetzt!

9 Kommentare
  1. niceeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

    Von Gabriel, vor 3 Monaten
  2. Ist ok

    Von Nejla, vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo Andrea Schuetze, man kann Elemente in Mengen auch mit Komma trennen. Im Fall von Zahlen wird es gelegentlich auch mit Semikolon gemacht, damit die Abgrenzung von Dezimalzahlen deutlicher wird. Solange aber der Zusammenhang klar ist, kann man auch beim Komma bleiben.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor etwa 4 Jahren
  4. Die verschiedenen Lösungen in der Lösungsmenge werden durch Semikolon getrennt, nicht durch ein Komma. Man könnte sonst nicht unterscheiden, ob die Lösungsmenge z.B. aus den Zahlen 1 und 4 oder nur aus der Zahl 1,4 besteht.

    Von Andrea Schuetze, vor etwa 4 Jahren
  5. verwirrent

    Von Nicole S., vor mehr als 4 Jahren
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