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Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

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Team Digital
Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Inhalt

Was ist eine Lösungsmenge?

Du kennst schon Gleichungen mit Variablen und weißt, dass für jede Variable Zahlen eingesetzt werden können. Du weißt auch, dass eine Zahl, die aus der Gleichung mit der Variablen eine wahre Gleichung macht, eine Lösung dieser Gleichung darstellt. Ein Beispiel dafür ist die folgende Gleichung:

$13 - x = 9$

Setzen wir für $x$ eine Vier in die Gleichung ein, erhalten wir:

$13 - 4 = 9$

Da $13-4$ in der Tat neun ergibt, handelt es sich um eine wahre Gleichung und $x=4$ ist eine Lösung der Gleichung. Was ist nun eine Lösungsmenge?

Lösungsmenge – Definition

  • Als Lösungsmenge einer Gleichung bezeichnet man die Menge aller Lösungen dieser Gleichung.

Wir betrachten dazu ein Beispiel. Gegeben sei die folgende Gleichung:

$(x-2) \cdot (x+7) \cdot (x-1) = 0$

Da die Multiplikation mit null immer null ergibt, können wir die Lösungen der Gleichung ablesen. Setzen wir für $x$ eine zwei ein, wird die erste Klammer null und die Gleichung ist erfüllt. Also ist $x=2$ eine Lösung der Gleichung. Die zweite Klammer wird null, wenn wir $x=-7$ setzen. Auch so wird die Gleichung erfüllt. Und setzen wir $x=1$, wird die dritte Klammer null. Es gibt also verschiedene Lösungen dieser Gleichung. Die Zahlen $x=2$; $x=-7$ und $x=1$ sind Lösungen der Gleichung. Sie bilden zusammen die Lösungsmenge dieser Gleichung, denn es gibt keine weiteren Lösungen. Setzen wir für $x$ eine andere Zahl als $2$, $-7$ oder $1$ ein, so sind alle drei Klammern ungleich null und die Gleichung ist falsch – denn ein Produkt, in dem alle Faktoren ungleich null sind, ist immer ungleich null.

Wir können in der Mathematik die Lösungsmenge folgendermaßen aufschreiben:

$\mathbb L = \{ 2; -7; 1 \}$

Das Zeichen $\mathbb L$ zeigt an, dass es sich um die Lösungsmenge handelt. Die Lösungen werden in geschweifte Klammern gesetzt und durch Semikola getrennt. Um sicherzustellen, dass die Menge ${ 2; -7; 1 }$ die Lösungsmenge der Gleichung ist, haben wir überprüft, dass die einzelnen Elemente dieser Menge Lösungen der Gleichung sind und dass es keine weiteren Lösungen gibt, dass wir also alle Lösungen der Gleichung aufgeschrieben haben.

Wir betrachten als weiteres Beispiel die folgende Gleichung:

$15-a = a +3$

Wir formen die Gleichung um:

$15 -a = a +3 ~|-3$

$12-a = a ~|+a$

$12 = 2a$

$a = 6$

Diese Gleichung hat nur eine Lösung, und zwar $a=6$. In diesem Fall enthält die Lösungsmenge auch nur ein Element:

$\mathbb L = \{ 6 \}$

Die Lösungsmenge muss also nicht mehrere Lösungen enthalten. Sie kann auch nur ein einziges Element enthalten. Und die Lösungsmenge kann sogar leer sein. Wir betrachten dazu das folgende Beispiel:

$(7,3-y) \cdot 0 = 1$

Da jede Multiplikation mit null auch null ergibt, kann diese Gleichung nicht erfüllt werden. Deswegen hat sie keine Lösung. Auch das können wir mithilfe der Lösungsmenge ausdrücken:

$\mathbb L = \{ \}$

Die Lösungsmenge ist die leere Menge, sie enthält kein einziges Element. Die Lösungsmenge kann auch unendlich viele Lösungen enthalten. Wir betrachten die Gleichung:

$\frac{2}{3} - x = 1-x-\frac{1}{3}$

Da $1-\frac{1}{3}$ gerade $\frac{2}{3}$ ergibt, steht auf beiden Seiten das Gleiche. Also erfüllt jede Zahl diese Gleichung. Das schreiben wir so:

$\mathbb L = \mathbb R $

Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist die Menge der reellen Zahlen. Da das Zeichen $\mathbb R$ bereits für eine Menge steht, setzen wir hier keine Mengenklammern.

Dieses Video

In diesem Video wird dir eine einfache Erklärung zur Lösungsmenge von Gleichungen geliefert. Ob du alles verstanden hast, kannst du gleich mit den interaktiven Übungsaufgaben auf dieser Seite überprüfen.

Transkript Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Huch! eine Tür! Und da steht eine Gleichung drauf. Na, dann wird wohl derjenige Schlüssel passen, dessen Zahl die Gleichung löst. Wo ist er denn. Ah hier! Die ZWEI! Na also! Wie zu einem Schloss der passende Schlüssel gehört, so passt auch zu einer Gleichung die zugehörige Lösung. Und ALLE Lösungen einer Gleichung bilden die LÖSUNGSMENGE. Gleichungen und Ungleichungen besitzen Lösungsmengen, aber auch Gleichungssysteme und Ungleichungssysteme. Immer ist die MENGE ALLER Lösungen gemeint, wenn von der jeweils zugeordneten LÖSUNGSMENGE die Rede ist. Schauen wir uns die Gleichung von eben noch einmal an. Die ZWEI ist eine Lösung dieser Gleichung, denn wenn man 2 einsetzt, erhält man: '3 mal 2' ist gleich '6'. Eine wahre Aussage. Die 2 ist dabei die EINZIGE Zahl, die diese Gleichung löst. Die Lösungsmenge enthält daher nur EIN Element: die 2. DIESES L mit dem doppelten Strich ist das Zeichen für eine Lösungsmenge. Und die Elemente stehen wie in jeder Menge in geschweiften Klammern. Schauen wir uns noch ein Beispiel an: Wo sind denn die Schlüssel. Hier ist die Zahl DREI eine Lösung, denn '3 zum Quadrat' ergibt 9. Aber es gibt noch eine weitere: Auch 'minus 3 zum Quadrat' ergibt 9, also ist auch 'minus 3' eine Lösung. Beide Schlüssel passen. Nehmen wir mal DEN Schlüssel. Einer Gleichung mit zwei Lösungen ist auch eine Lösungsmenge mit zwei Elementen zugeordnet. Die einzelnen Elemente der Menge werden durch Kommas getrennt. Huch! Schon wieder eine Tür! Mhh. Diese Gleichung ist eigenartig. Egal, welche Zahl man für x einsetzt, sie ist immer erfüllt. Denn jede Zahl 'plus Null' ergibt sich selbst. Dann müsste ja jeder Schlüssel passen! Nehmen wir mal irgendeinen. Tatsächlich! Diese Gleichung wird von JEDER reellen Zahl gelöst. Daher enthält auch die Lösungsmenge ALLE reellen Zahlen. Weil dieses R schon für die Menge der reellen Zahlen steht, müssen wir hier KEINE geschweiften Klammern drumherum setzen. Auch UNGLEICHUNGEN haben häufig unendlich viele Lösungen. Die jeweilige Lösungsmenge umfasst aber NICHT unbedingt ALLE reellen Zahlen, sondern nur eine Teilmenge oder auch die Vereinigung mehrerer Teilmengen davon. Während GESCHWEIFTE Klammern eine Menge aus Einzelelementen bezeichnen, schließen RUNDE oder ECKIGE Klammern jeweils ein INTERVALL ein. Und was ist das? Gleichungssysteme enthalten oft ZWEI Variablen. Eine Lösung ist dann nicht eine einzelne Zahl, sondern ein PAAR aus Zahlen. Dieses Gleichungssystem wird bspw. durch das Zahlenpaar 'x gleich 2' und 'y gleich 4' gelöst. Hineinspaziert! Schauen wir uns zunächst den Fall EINER Gleichung mit ZWEI Variablen an: Jedes Zahlenpaar, dass diese Gleichung erfüllt, ist Element der Lösungsmenge. Das sind häufig unendlich viele. In einem GleichungsSYSTEM müssen aber ALLE Gleichungen erfüllt werden. Und nur noch DIEJENIGEN Zahlenpaare, die das erfüllen, sind Element der Lösungsmenge. Enthält eine Gleichung oder ein Gleichungssystem DREI Variablen heißen die Lösungen TRIPEL. Bei VIER Variablen QUADRUPEL. Und bei n Variablen n-Tupel. Fassen wir das noch einmal zusammen: Jede Gleichung und jede Ungleichung, jedes Gleichungssystem und jedes Ungleichungssystem besitzt eine jeweils zugeordnete LÖSUNGSMENGE. Dabei handelt es sich um diejenige Menge, die ALLE Lösungen enthält. Gleichungen können eine, mehrere oder unendlich viele Lösungen besitzen. Enthält eine Gleichung oder ein Gleichungssystem MEHRERE Variablen, dann sind PAARE, Tripel, Quadrupel oder n-Tupel die Lösungen und damit die möglichen Elemente der Lösungsmenge. Nur einen Fall haben wir bisher ausgelassen: Was ist, wenn eine Gleichung gar nicht lösbar ist? Diese Gleichung wird bspw. von KEINER Zahl gelöst, denn KEINE Zahl ist um 1 größer als sie selbst. Hat diese Gleichung dann keine Lösungsmenge? DOCH! Die LEERE MENGE. Aber eine Tür mit einer solchen Gleichung lässt sich trotzdem nicht öffnen. Besetzt!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Hallo Andrea Schuetze, man kann Elemente in Mengen auch mit Komma trennen. Im Fall von Zahlen wird es gelegentlich auch mit Semikolon gemacht, damit die Abgrenzung von Dezimalzahlen deutlicher wird. Solange aber der Zusammenhang klar ist, kann man auch beim Komma bleiben.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor etwa einem Jahr
  2. Die verschiedenen Lösungen in der Lösungsmenge werden durch Semikolon getrennt, nicht durch ein Komma. Man könnte sonst nicht unterscheiden, ob die Lösungsmenge z.B. aus den Zahlen 1 und 4 oder nur aus der Zahl 1,4 besteht.

    Von Andrea Schuetze, vor etwa einem Jahr
  3. verwirrent

    Von Nicole S., vor mehr als einem Jahr
  4. Team digital macht die besten videos

    Von Melanie Obach, vor mehr als einem Jahr
  5. geiles video

    Von Melanie Obach, vor mehr als einem Jahr
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Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen) kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige auf, was für verschiedene Lösungsmengen gilt.

    Tipps

    Für die Gleichung $1+3x=16$ ist $x=5$ eine Lösung.

    Die Elemente der Lösungsmenge von $x+y+z=1$ bestehen aus unendlich vielen Tripeln der Form: $(x,y,z)$.

    Da die Lösungsmenge aus unendlich vielen Elementen besteht, kann es nützlich sein, diese als Intervall zu schreiben. Dabei unterscheiden wir zwischen den runden und eckigen Klammern.

    Bei $[-3,3]$ sind die $-3$ und $3$ enthalten, bei $(-3,3)$ jedoch nicht.

    Lösung

    1. Eine Zahl, die wir in eine Gleichung einsetzen können, sodass wir eine richtige Gleichung erhalten, heißt Lösung der Gleichung. Diese Zahl erfüllt die Gleichung. Betrachten wir zum Beispiel die Gleichung $3x = 6$, dann können wir die Zahl $2$ statt des $x$ einsetzen. Eine weitere Lösung existiert nicht. Daher sieht die Lösungsmenge wie folgt aus: $\mathbb{L}=\{2\}$.
    2. Auch für Ungleichungen wie $x^2\leq 9$ können wir eine Lösungsmenge aufstellen. Die Gleichheit ist erfüllt für $-3$ und $3$. Für alle Zahlen dazwischen ist die Ungleichheit erfüllt, da das Vorzeichen durch das $^2$ verschwindet. Damit folgt: $\mathbb{L}=[-3,3]$. Die eckigen Klammern bedeuten, dass die $-3$ und $3$ in der Menge enthalten sind.
    3. Die Lösungsmenge kannst du auch für Gleichungen mit zwei Variablen angeben. Hier enthält die Lösungsmenge sogenannte Zahlenpaare.
    • Für die obere Gleichung sieht die Lösungsmenge im Beispiel wie folgt aus: $\mathbb{L}=\{(2,4),(1,7),(3,1), \dots\}$. Sie enthält unendlich viele Elemente. Das wird durch die Punkte angedeutet.
    • Für die untere gilt: $\mathbb{L}=\{(2,4),(1,5),(3,3), \dots\}$. Auch diese Lösungsmenge enthält unendlich viele Elemente.
    Betrachtet man die beiden als Gleichungssystem, enthält die Lösungsmenge nur die Zahlenpaare, die beide Gleichungen lösen. Das gilt hier nur für das Zahlenpaar $(2,4)$. Also: $\mathbb{L}=\{(2,4)\}$. Das Ganze kann man auch allgemein auf $n$ Variablen mit $n$-Tupeln erweitern.

  • Bestimme die Lösungsmengen für die Gleichungen und Ungleichungen.

    Tipps

    Die Lösung zu $3x=6$ ist $2$, da $3\cdot 2=6$ gilt.

    Eine Lösungsmenge kann leer sein, ein Element, zwei Elemente oder auch unendlich viele enthalten.

    In der Lösungsmenge $\mathbb{L}=[-1,1]$ sind alle Zahlen des Intervalls von $-1$ und $1$ enthalten.

    Lösung

    Eine Lösungsmenge kann entweder aus nur einer Zahl $\mathbb{L}=\{1\}$, einer Menge von Zahlen $\mathbb{L}=\{0,1,2\dots\}$ oder auch aus Intervallen $\mathbb{L}=[-1,1]$ bestehen.

    • $x+0=x$:
    Hier kannst du für $x$ jede beliebige Zahl einsetzen, daher besteht die Lösungsmenge aus der Menge der reellen Zahlen: $\mathbb{L}=\mathbb{R}$.
    • $x^2\leq 9$:
    Es gilt sowohl $3^2=9$ als auch $(-3)^2=9$. Alle Zahlen, die betragsmäßig kleiner sind, sind ebenfalls in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=[-3,3]$ enthalten. Bei der Lösungsmenge handelt es sich um das Intervall, das alle Zahlen zwischen $-3$ und $3$ enthält. Die eckigen Intervallklammern bedeuten, dass auch die Grenzen $-3$ und $3$ in der Lösungsmenge enthalten sind.
    • $x<6$:
    Alle Zahlen, die echt kleiner sind als $6$, sind in der Lösungsmenge enthalten. Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=(-\infty,6)$. Die runden Intervallklammern zeigen, dass die Grenze $6$ nicht enthalten ist, da $6\nless 6$.
    • $x^2=9$:
    Es gilt sowohl $3^2=9$ als auch $(-3)^2=9$, daher gilt $\mathbb{L}=\{-3,3\}$.
    • $x^2>9$:
    Die Lösungsmenge kann sich auch aus mehreren Intervallen zusammensetzen. Hier gilt $\mathbb{L}=(-\infty,-3)\cup (3,\infty)$.

  • Ermittle die Elemente der Lösungsmenge für die Gleichungen.

    Tipps

    Um zu überprüfen, ob das Tripel $(1,1,2)$ zur Lösungsmenge der Gleichung $x+y-z=0$ gehört, setze die Zahlen ein und überprüfe, ob eine wahre Aussage entsteht:

    $x+y-z=1+1-2=0 \checkmark$

    Das Zahlenpaar $(0,0)$ gehört nicht zu der Gleichung $x=-y+1$, da $0\neq0+1=1$. Du könntest aber für ein festes $y$ einen $x$-Wert berechnen, da diese Gleichung bereits nach $x$ umgestellt ist. Es gilt:

    • $y=0$: $x=-0+1=1 \Rightarrow ~ (1,0)$
    • $y=1$: $x=-1+1=0 \Rightarrow ~ (0,1)$
    • $y=2$: $x=-2+1=-1 \Rightarrow ~ (-1,2)$

    Lösung

    Die Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Variablen enthält meist unendlich viele Zahlenpaare. Du überprüfst, welche dazugehören, indem du die Wert einsetzt und prüfst, ob du eine wahre Aussage erhältst.

    $1.$ $2x+6y=12$ Tupel der Form $(x,y)$:

    • $(0,2)$, da $2\cdot 0 +6\cdot 2=12$
    • $(6,0)$, da $2\cdot 6 +6\cdot 0=12$
    • $(3,1)$, da $2\cdot 3 +6\cdot 1=6+6=12$
    $2.$ $8x-4y=0$ :
    • $(0,0)$, da $8\cdot 0-4\cdot 0=0$
    • $(1,2)$, da $8\cdot 1-4\cdot 2=8-8=0$
    • $(2,4)$, da $8\cdot 2-4\cdot 4=16-16=0$
    • $(-1,-2)$, da $8\cdot (-1)-4\cdot (-2)=-8+8=0$
    $3.$ $x=-y+1 \Leftrightarrow x+y=1$:
    • $(0,1)$, da $0=-1+1$
    • $(1,0)$, da $1=-0+1$
    • $(2,-1)$, da $2=-(-1)+1$

  • Bestimme die Lösungsmengen der Gleichungen und Ungleichungen.

    Tipps

    Um zu überprüfen, ob die Relationen stimmen, kannst du gerade bei Intervallen der Form $\mathbb{L}=[-2,2]$ zunächst die Grenzen einsetzen und testen.

    Für $x>3$ gilt:
    $-2\ngtr3$ und $2\ngtr3$, damit kann die Ungleichung auch für keine Zahl dazwischen erfüllt sein und daher ist die Ungleichung auf keinen Fall für alle Elemente der Lösungsmenge erfüllt.

    In der Lösungsmenge $\mathbb{L}=[-2,2]$ sind alle Zahlen des Intervalls von $-2$ und $2$ enthalten.

    In der Lösungsmenge $\mathbb{L}=(-2,2)$ sind nur die Zahlen zwischen $-2$ und $2$ enthalten, die Grenzen nicht.

    Lösung

    Um die Lösungsmengen der (Un-)Gleichungen zu bestimmen, musst du überprüfen, für welche Werte von $x$ die entsprechenden (Un-)Gleichungen eine wahre Aussage liefern:

    • $x^2\leq4$
    Für $x=-2$ ist die Gleichheit $(-2)^2=4$ erfüllt, ebenso für $x=2$. Für alle Werte zwischen diesen Grenzen ist die Ungleichheit erfüllt. Daher gilt: $\mathbb{L}=[-2,2]$
    • $3x>9\Leftrightarrow x>3$
    Diese Relation gilt für jedes $x$, das echt größer als $3$ ist: $\mathbb{L}=(3,\infty)$
    • $1\cdot x= x \Leftrightarrow x=x$
    Diese Gleichung gilt für jede reelle Zahl: $\mathbb{L}=\mathbb{R}$
    • $\frac{1}{4}x^2 = 9$
    Die Gleichung ist nur für $x=-6$ und $x=6$ erfüllt. Daher gilt: $\mathbb{L}=\lbrace6,-6\rbrace$
  • Gib an, wie die Elemente der Lösungsmengen der entsprechenden Gleichungen heißen.

    Tipps

    $\mathbb{L}=\{(2,4), (1,7), (3,1),(4,-2), \dots \}$ ist die Lösungsmenge für die Gleichung $3x+y=10$.

    Bestimme zunächst, wie viele Variablen in dieser Gleichung bestimmt werden müssen.

    Tripel steht für dreifach und Quadrupel für vierfach.

    Lösung

    Die Lösungsmenge der Gleichung $3x=6$ besteht aus nur einer Zahl, denn $3\cdot 2=6$. Damit folgt: $\mathbb{L}=\{2\}$. Aber wie sieht das bei komplizierteren Gleichungen aus?

    1. Hat eine Gleichung zwei Variablen, brauchen wir ein Zahlenpaar, zum Beispiel der Form $(x,y)$ für $3x+y=10$. Die Lösungsmenge sieht dann wie folgt aus: $\mathbb{L}=\{(2,4), (1,7), (3,1),(4,-2), \dots \}$ und hat unendlich viele Elemente.
    2. Die Gleichung $x+y+z=1$ hat zum Beispiel drei unbekannte Variablen, die wir bestimmen müssen. Dazu brauchen wir ein Zahlentripel (tri steht für drei) oder kurz: Tripel. Die Lösungsmenge sieht wie folgt aus: $\mathbb{L}~=~\{(0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), \dots \}$.
    3. Analog dazu brauchen wir für $a+b+c+d=1$ aufgrund der $4$ Variablen ein Quadrupel, die Vorsilbe kennst du zum Beispiel von einem Quadrat.
    4. Allgemein sagen wir, dass wir für eine Gleichung mit $n$ Variablen $x_1+x_2+\dots+x_n=1$ in der Lösungsmenge $n$-Tupel benötigen.
  • Entscheide, welche Aussagen korrekt sind.

    Tipps

    Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist der Schnitt der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen, zum Beispiel bei $2$ Gleichungen:

    $\mathbb{L}_{\text{Sys}}=\mathbb{L}_1\cap\mathbb{L}_2$

    Du wählst also nur die Elemente, die in beiden Lösungsmengen enthalten sind.

    Ein Produkt ist genau immer dann $0$, wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    „Die Lösungsmenge zu einer Gleichung kann niemals leer sein.“

    • Die Gleichung $x^2=-1$ hat keine reelle Lösung, da wir nur im komplexen Zahlenbereich die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen können. Wir schreiben: $\mathbb{L}=\{\}$.
    • Betrachte alternativ: $3+x=5+x$. Subtrahiert man auf beiden Seiten $x$, erhält man $3=5$. Da dies offensichtlich falsch ist, ist die Gleichung für kein $x$ erfüllt: $\mathbb{L}=\{\}$
    „Bei $3-x=5-x$ kann jedes beliebige reelle $x$ eingesetzt werden, daher gilt: $\mathbb{L}=\mathbb{R}$.“

    • Addiert man auf beiden Seiten $x$, erhält man $3=5$. Da dies offensichtlich falsch ist, ist die Gleichung für kein $x$ erfüllt: $\mathbb{L}=\{\}$.
    „$0\cdot x>1$ hat keine Lösungsmenge.“

    • Vereinfacht lautet die Ungleichung $0>1$, hat also keine Lösung. Das heißt, die Lösungsmenge ist leer, existiert aber.

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    „Das Gleichungssystem

    $\text{I}:$ $2x+2y=0$

    $\text{II}:$ $x=y$

    hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{(0,0)\}$.“

    • Die Lösungsmenge von $\text{I}:$ $2x+2y=0$ lautet: $\mathbb{L}_1=\{(0,0), (1,-1), (-1,1), \dots \}$.
    • Die Lösungsmenge von $\text{II}:$ $x=y$ lautet: $\mathbb{L}_2=\{(0,0), (1,1), (-1,-1), \dots \}$.
    • Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist der Schnitt der beiden Lösungsmengen: $\mathbb{L}_{sys}=\mathbb{L}_1\cap\mathbb{L}_2=\{(0,0)\}$.
    „Die Lösungsmenge von $(x-1)\cdot (x+1)=0$ ist $\mathbb{L}=\{-1,1\}$.“

    • Ein Produkt ist genau immer dann $0$, wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist. Daher kannst du die beiden Lösungen hier direkt ablesen. Für $x=1$ wird der erste Faktor $0$ und für $x=-1$ der zweite.
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