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Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

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Team Digital
Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, umfangreiche Terme mit mehreren Variablen mithilfe des Kommutativgesetzes und des Distributivgesetzes zusammenzufassen.

Zunächst lernst du, wie man bei längeren Termen Summanden zusammenfassen kann. Anschließend schauen wir uns Terme an, in denen Variablen als Produkt vorkommen. Abschließend lernst du, in welcher Schrittfolge man Terme mit mehreren Variablen zusammenfassen kann.

Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Term, Variable, Gleichung, Summanden, Produkt, Faktoren, Potenzen, Koeffizienten, Kommutativ- und Distributivgesetz.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Rechenregeln (Operatorrangfolge) zu beachten sind und wie du mit dem Distributivgesetz Terme ein- und ausklammerst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, selbstständig Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenzufassen.

Transkript Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

Freddy kocht für sein Leben gerne. Heute wird er ein aufwändiges Menü für einen ganz besonderen Menschen zubereiten. Mit Vorspeise, Hauptgericht und Dessert. Um die richtige Menge der Zutaten zu besorgen, wird er „Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen“. Freddy kocht nach dem Rezept seiner Oma. Als Vorspeise einen Salat und als Hauptgericht eine Suppe. Für den Salat braucht er zwei Tomaten und eine Viertel Zwiebel. In die Suppe kommen drei Tomaten und eine halbe Zwiebel. Um Herauszufinden, wie viele Zutaten er insgesamt braucht, notiert er sich die Lebensmittel als Term. Dabei nutzt er Variablen als Stellvertreter für die Gemüsesorten. T steht für Tomaten und z für Zwiebeln. Also zwei t plus ein Viertel z plus 3 t plus ein Halb z. Aber so richtig übersichtlich ist der Term noch nicht. Freddy fasst die Summanden noch weiter zusammen. Mit dem Kommutativgesetz kann er die Summanden neu ordnen. Mit dem Distributivgesetz klammert er die Variablen aus. Nun befinden sich die Koeffizienten, also die Faktoren, die vor den Variablen standen, innerhalb der Klammer. Dadurch kann er sie leichter zusammenfassen und erhält fünf t und drei Viertel z. Er braucht also fünf Tomaten und drei Viertel von einer Zwiebel. Ist doch gar nicht so schwierig. Bei längeren Termen funktioniert es genauso. Zum Beispiel bei diesem langen Term. Zuerst nutzen wir das Kommutativgesetz und ordnen die Summanden. Alle Terme mit der Variable x kommen nach vorne und die Terme mit der Variable y nach hinten. Danach werden mit dem Distributivgesetz die Koeffizienten in Klammern zusammengefasst. Nun können wir die Summen in den Klammern berechnen und erhalten neunzehn x plus zwölf y. Wenn Variablen als Produkt auftreten, darf man sie auch nur in genau dieser Kombination zusammenfassen. Das heißt drei ab und vier ab können zusammengefasst werden, aber 3 ab und vier ac nicht. Außerdem können wir mit dem Kommutativgesetz nicht nur Summanden, sondern auch Faktoren vertauschen. Schauen wir uns einmal diesen Term an. Wir fassen die Teile zusammen, die die gleichen Produkte aus Variablen enthalten. Dafür ordnen wir den Term zuerst. Nach welcher Reihenfolge wir ihn ordnen, können wir selbst entscheiden. Bei dem letzten Summanden können wir mit dem Kommutativgesetz die beiden Variablen vertauschen. Dann können wir die Koeffizienten in Klammern zusammenfassen. Dabei dürfen wir den Faktor eins nicht übersehen. Im letzten Schritt berechnen wir die Ausdrücke in den Klammern. Eine Eins als Koeffizienten brauchen wir nicht mitzuschreiben und mit dem Koeffizienten null fällt die Variable bc nun komplett weg. Deshalb halten wir als Ergebnis sieben ab minus xy fest. Genauso können Produkte aus gleichen Variablen vereinfacht werden. Wir erinnern uns: x mal x ergibt x Quadrat. und a mal a mal a ergibt a hoch drei. Wir wollen nun den Term drei x mal in Klammern x plus vier y minus x Quadrat plus fünf xy vereinfachen. Zuerst lösen wir die Klammern auf, indem wir den Faktor vor der Klammer mit den einzelnen Summanden in der Klammer multiplizieren. Auch hierfür verwenden wir das Distributivgesetz. Danach ordnen wir die Summanden nach den Variablen und können dann die Koeffizienten zusammenfassen. Dabei müssen wir wieder den Faktor eins berücksichtigen. Das ergibt zwei x Quadrat plus siebzehn xy. Auch wenn in beiden Summanden das x enthalten ist, dürfen sie nicht zusammengefasst werden. Freddy hat inzwischen alle seine Zutaten besorgt. Während er das Gericht zubereitet, verschaffen wir uns noch einmal einen Überblick. Wir können Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen, indem wir zunächst alle Klammern auflösen. Danach ordnen wir die Summanden nach den verschiedenen Variablen, damit wir anschließend die Variablen ausklammern und so die Koeffizienten zusammenfassen können. Dadurch können viele Terme vereinfacht werden. Mit etwas Übung kannst du später auch einige Zwischenschritte weggelassen. Das Mahl ist nun angerichtet und Freddy's Ehrengast ist eingetroffen. Wie werden seine Kochkünste beurteilt? Dann lasst es euch gut schmecken!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Super

    Von Belle, vor etwa einem Monat
  2. Super

    Von Ida, vor 6 Monaten
  3. Sehr gutes Video! schreibe in 2tagen schulaufgabe und kernaufgabe liegt bei diesem thema

    Von Julie Rockforest, vor 11 Monaten
  4. Super ich schreibe nächste Woche eine Schulaufgabe in Mathematik.

    Von Lillibeth, vor etwa einem Jahr
  5. war recht gut :)

    Von Jasi_123Q, vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie man diesen Term mit unterschiedlichen Variablen zusammenfasst.

    Tipps

    Beispiel

    ${2a+3b+7a+5b}$

    ${=2a+7a+3b+5b}$

    ${=(2+7)a+(3+5)b}$

    ${=9a+8b}$

    Ein Koeffizient ist eine zu einem Rechenausdruck beigefügte Zahl. Zum Beispiel bei ${2a}$ ist ${2}$ der Koeffizient.

    Lösung

    Terme mit unterschiedlichen Variablen lassen sich zusammenfassen, wenn sie innerhalb des Terms gleiche Variablen haben. Zum Beispiel ${2a+b+3a+4b}$. Es ist darauf zu achten, ob die Rechnungen aus Summanden oder Produkten besteht und welche Rechengesetze anzuwenden sind.

    Für das Beispiel ergibt sich folgende Zusammenfassung:

    ${2t+{\frac{1}{4}}z+3t+{\frac{1}{2}}z}$

    Summanden neu ordnen (Kommutativgesetz)

    ${2t+3t+{\frac{1}{4}}z+{\frac{1}{2}}z}$

    Koeffizienten ausklammern (Distributivgesetz)

    ${=(2+3)t+(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})z}$

    Klammern berechnen

    ${=5t+(\frac{3}{4})z}$

  • Gib einen Term für die Tomaten und Zwiebeln an.

    Tipps

    Im Salat Rezept sind $2$ Tomaten und ${\frac{1}{4}}$ Zweibel enthalten.

    Im Suppen Rezept sind $3$ Tomaten und ${\frac{1}{2}}$ Zweibel enthalten.

    Lösung

    Um Terme korrekt aufzustellen, muss man die Koeffizienten und die Variablen bestimmen.

    Im Salat Rezept sind $2$ Tomaten und ${\frac{1}{4}}$ Zweibel enthalten. Das wird zu ${2t}$ und ${\frac{1}{4}z}$ zusammengefasst.

    Im Suppen Rezept sind $3$ Tomaten und ${\frac{1}{2}}$ Zweibel enthalten. Das wird zu ${3t}$ und ${\frac{1}{2}z}$ zusammengefasst.

    Anschließend bildet man die Summe aus den vier Termen. Beachte, dass die Reihenfolge der Summanden beliebig ist.

    ${2t+\frac{1}{4}z+3t+\frac{1}{2}z=5t+\frac{3}{4}z}$

  • Entscheide, ob die Terme zusammengefasst werden können.

    Tipps

    Variablen können als Produkt zusammen gefasst werden.

    Beispiel: ${{z}\cdot{z}=z^2}$

    Es gilt das Kommutativgesetz. Zum Beispiel kann ${2xy+3yx}$ zu $5xy$ zusammengefasst werden.

    ${2xy+3yz}$ kann nicht zusammengefasst werden.

    Lösung

    Terme mit unterschiedlichen Variablen lassen sich zusammenfassen, wenn sie innerhalb des Terms gleiche Variablen haben. Wenn Variablen als Produkt auftreten, darf man sie nur in genau dieser Kombination zusammenfassen.

    Folgende Terme können zusammen gefasst werden:

    ${3ab+4ab=(3+4)\cdot ab = 7ab} \quad$ (Distributivgesetz)

    ${3bc+4cb = 3bc + 4bc = (3+4) \cdot bc=7bc} \quad$ (Kommutativgesetz und Distributivgestz)

    ${{x}\cdot{x}=x^2} \quad$ (Produkt wird als Potenz geschrieben)

    ${{a}\cdot{a}\cdot{a}=a^3} \quad$ (Produkt wird als Potenz geschrieben)

    Folgende Terme können NICHT zusammen gefasst werden:

    ${3ab+4ac}$

    ${1,5xy+1,5xz}$

    ${3ba+3bc}$

  • Ermittle, welche Terme gleich sind.

    Tipps

    Beachte, dass z.B. ${x\cdot{y}=y\cdot{x}}$ ist. Ordne dann die Summanden so neu an, dass alle gleichen Variablen zusammen stehen (Kommutativgesetz).

    Beispiel: ${3xy+4xy+5yz+6yz}$

    Fasse anschließend die Koeffizienten in einer Klammer zusammen (Distributivgesetz).

    Beispiel: ${(3+4)xy+(5+6)yz}$

    Wenn du die Klammern berechnest, erhältst du das Endergebnis des Terms.

    Beispiel: ${7xy+11yz}$

    Lösung

    Wenn Variablen als Produkt auftreten, darf man sie auch nur in dieser Kombination zusammen fassen. Zum Beispiel ${2de+3ed=5ed}$.

    Außerdem kann man mit dem Kommutativgesetz nicht nur Summanden, sondern auch Faktoren vertauschen.

    Es gilt daher: ${x+y=y+x}$ und ${x\cdot{y}=y\cdot{x}}$

    Du kannst also alle Aufgaben nach folgendem Muster lösen:

    $1)$ $\text{{\color{orange}Summanden~neu~ordnen~mit~dem~KG}}$

    ${2)}$ $\text{{\color{blue}Koeffizienten\:zusammenfassen\:mit\:dem\:DG}}$

    ${3)}$ $\text{{\color{magenta}Klammern\:ausrechnen}}$

    Diese Paare gehören zusammen:

    $2ab+\frac{1}{2}cd+4ba+\frac{1}{3}dc={\color{orange}2ab+4ab+\frac{1}{2}cd+\frac{1}{3}cd}={\color{blue}(2+4)ab+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})cd}={\color{magenta}6ab+\frac{5}{6}cd}$

    ${2a\cdot3b\cdot\frac{1}{2}c={\color{blue}(2\cdot3\cdot\frac{1}{2})abc}={\color{magenta}3abc}}$

    ${2a+4bc+2b+4a={\color{orange}2a+4a+4bc+2b}={\color{blue}(2+4)a+4bc+2b}={\color{magenta}6a+4bc+2b}}$

    ${\frac{1}{2}b\cdot4a\cdot3c={\color{blue}(\frac{1}{2}\cdot4\cdot3)abc}={\color{magenta}6abc}}$

  • Fasse den Term zusammen.

    Tipps

    Ordne zuerst die Terme mit Hilfe des Kommutativgesetzes.

    Fasse die Koeffizienten zusammen mit Hilfe des Distributivgesetzes.

    Lösung

    $6x+9y+13x+5y+4x$

    Um diese Aufgabe zu lösen, muss man zunächst die Terme mit Hilfe des Kommutativgesetzes neu ordnen, sodass alle $x$ und $y$ zusammenstehen. Die Reihenfolge innerhalb der $x$- und $y$-Terme ist dabei egal.

    Summanden neu ordnen $+6x+4x+13x+9y+5y$

    Anschließend fasst man dann die Koeffizienten mit Hilfe des Distributivgesetzes zusammen.

    Koeffizienten ausklammern $(6+4+13) \cdot x+(9+5)\cdot y$

    Dann rechnet man die Klammern aus. Man erhält einen zusammengefassten Term.

    Klammern berechnen $23\cdot x+14\cdot y$

  • Ermittle einen vollständig zusammengefassten Term für Tomaten und Zwiebeln.

    Tipps

    Tomaten: $3t$ und $4,5t$

    Zwiebeln: $0,75z$ und $1,5z$

    Du kannst zunächst den Term als Summe schreiben, die Summanden dann mit Hilfe des Kommutativgesetzes vertauschen und anschließend mit dem Distributivgesetz zusammenfassen.

    Lösung

    Du liest aus der Aufgabe heraus, dass man im ersten Rezept $3$ Tomaten und $0,75$ Zwiebeln und im zweiten Rezept $4$ Tomaten und $1,5$ Zwiebeln benötigt.

    Das sind für die Tomaten $3t$ und $4,5t$ und für die Zwiebeln $0,75z$ und $1,5z$.

    In der Aufgabe sind die Variablen $t$ und $z$ vorgegeben. Der Term wird somit wie folgt aufgestellt, wobei die Reihenfolge der einzelnen Summanden beliebig ist:

    ${4,5t+0,75z+3t+1,5z}$

    Zuerst ordnet man die Terme mit Hilfe des Kommutativgesetzes neu an, sodass alle gleichen Variablen zusammen stehen:

    $={4,5t+3t+0,75z+1,5z}$

    Anschließend fasst man die Koeffizienten zusammen, indem man die Variablen mit Hilfe des Distributivgesetzes ausklammert:

    $= {(4,5+3)t+(0,75+1,5)z}$

    Dann werden die Klammern ausgerechnet:

    $={7,5t+2,25z}$

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