Exponentialfunktionen – Anwendungen

In diesem Video möchte ich eine Einführung in die Exponentialfunktionen geben. Und zwar möchte ich zeigen, was die mit Wachstum und Zerfall zu tun haben, wie die Graphen aussehen und 2 typische Aufgaben geben. Exponentialfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse und Abkling- bzw. Zerfallsprozesse. Die typischen Beispiele sind da immer das Wachstum einer Bevölkerung und der Zerfall eines radioaktiven Stoffes. So, fangen wir einmal an mit dem Wachstum einer Population. Wir haben hier 3 Bakterien. Das sind Paul, Petra und Max, und die sind so fleißig, dass sie sich täglich verdoppeln. D. h. nach einem Tag sieht das dann schon so aus, nach 2 Tagen so, und nach 3 Tagen sieht man schon, dass das ganze ziemlich schnell eine große lustige Gesellschaft wird. Da haben wir nämlich schon 24 Bakterien. Jetzt tragen wir das Ganze einmal in eine Tabelle ein, und zwar immer die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Anzahl der Tage. Mit jedem Tag der dazukommt, verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Und jetzt kann man auch relativ gut ablesen, dass wenn man das als Funktion schreibt: f(x), wobei x die Tage sind und f(x) dann die Anzahl, dass das 3×2^x seien muss. So sieht also eine Exponentialfunktion aus. Der Unterschied zu der Potenzfunktion ist, dass die Variable x nicht in der Basis ist, sondern im Exponenten. Der Graph der Funktion sieht dann in etwa so aus. Markant und bezeichnend für die Exponentialfunktion ist, dass mit jedem Schritt, den wir nach rechts gehen, der y-Wert mit 2 multipliziert wird. Deswegen haben wir hier die 2 stehen. Und die Zahl, bei dem der Graph die y-Achse schneidet, ist der Anfangswert, also die Anfangspopulation. Allgemein sieht eine Exponentialfunktion also so aus: f(x)=K×a^x. Wenn man da 0 einsetzt, kommt auch wirklich der Anfangswert K heraus. Für das a sind übrigens nur Zahlen zugelassen, die größer als 0 sind und nicht 1. Nun zu den Eigenschaften einer solchen Funktion. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen. Der Wertebereich besteht nur aus den positiven reellen Zahlen, da eine Potenz weder negativ, noch 0 werden kann.  Der Graph zeichnet sich durch diese typische Steigung aus. Das gilt übrigens nur, wenn das a größer als 1 ist. Wenn das a kleiner als 1 ist, ist der Graph fallend. Dazu kommen wir später noch. Geht man in der steigenden Kurve ganz weit nach rechts, wird der Funktionswert unendlich groß. Geht man jedoch nach links, so nähert er sich der 0 an. Der fallende Graph hingegen nähert sich mit steigendem x der 0 an und wird für kleineres x immer größer. Ist die Basis a größer, steigt auch die Funktion schneller. Ist die Basis kleiner, dann steigt die Funktion ein bisschen langsamer. So, jetzt wollen wir einmal ein bisschen rechnen. Eine Population von 600 Bakterien wächst stündlich um 20%. Wie viele Bakterien gibt es nach 3 Stunden? Die Anfangsmenge ist also 600 und wenn stündlich aus 100% 120% werden, dann ist der Wachstumsfaktor also 1,2. D. h. wir können die Wachstumsfunktion schon ganz genau aufschreiben. Für das x, das ist ja die Zeit, setzen wir jetzt die 3 Stunden ein - und da kommt dann ungefähr 1037 heraus. Die zweite Frage ist jetzt: Wann sind es 100.000 Bakterien? Das K und das a kennen wir schon. Und wir suchen jetzt das x,  für das als Funktionswert 100.000 herauskommt. Da schreiben wir also die Funktion auf und setzen sie gleich 100.000. An dieser Stelle wird es dann ein bisschen kniffelig, da muss man auf die ganze Gleichung den Logarithmus zur Basis 1,2 anwenden. So, dann sind es also nach ungefähr 28 Stunden 100.000 Bakterien. Kommen wir jetzt zum Zerfall. Von einem 5 kg schweren radioaktiven Stoff zerfallen jährlich 30%. D. h. nach 1 Jahr sind noch 70% übrig, nach 2 Jahren 70% von 70%. Der Zerfallsfaktor ist also 0,7. Damit kennen wir die Funktion also schon wieder vollständig und diesmal sieht man, dass das a kleiner als 1 ist. Ein sehr wichtiger Begriff bei Zerfällen ist die Halbwertszeit, damit ist die Zeit gemeint, die vergeht, bis sich die Menge des Stoffes halbiert hat. Okay, jetzt machen wir noch eine Zerfallsaufgabe: Von einem radioaktiven Stoff sind ursprünglich 1250 g vorhanden. Nach 3 Jahren sind es nur noch 10 g. Welche Zerfallsrate hat der Stoff pro Jahr? Wir kennen also die Anfangsmenge und wir kennen die Menge nach 3 Jahren - und wir suchen das a. Wir schreiben f(3) auf und setzen alles ein, was wir schon kennen. Als Ergebnis muss 10 herauskommen. Es ergibt sich dann: a=1/5 bzw. 20% oder 0,2. Nachdem wir nun a kennen, wird noch nach der Halbwertszeit des Stoffes gefragt. Wir wollen also das x bestimmen, für das am Ende die Hälfte, also 625 herauskommt. Hier wendet man dann den Logarithmus zur Basis 0,2 an und erhält: x=0,43 Jahre. Das sind ungefähr 5 Monate und 7 Tage. Okay, das war es zu den Exponentialfunktionen.