Exponentialfunktionen – Anwendungen

Exponentialfunktion – Grundlagen

Die folgenden Aufgaben und Beispiele sollen zeigen, inwiefern man die Exponentialfunktion für Modellierung bzw. Lösung realer Probleme nutzen kann. Welche Themen sollten dafür schon bekannt sein?

• Exponentialfunktion – Definition
• Parameter der Exponentialfunktion
• Funktionsgleichung der Exponentialfunktion bestimmen

Nachfolgend sollen verschiedene Problematiken beleuchtet werden, die dir im Alltag oder der nächsten Prüfung begegnen könnten. Dabei soll es zuerst um ein exponentielles Wachstum gehen, anschließend um exponentiellen Zerfall und zum Schluss um ein Beispiel mit prozentualer Zunahme bzw. Abnahme.

Beispiel 1 – von der Vervielfältigungszeit zur Exponentialfunktion

Als Erstes betrachten wir folgende Aufgabe:

In einem Labor ist eine Bakterienkultur gegeben. Sie enthält zu Beginn der Beobachtung $10\,450$ Bakterien. Unter den günstigen Laborbedingungen verdreifacht sich die Anzahl der Bakterien alle $55$ Minuten.

Wir stellen uns folgende Fragen:

• Wie könnte man das Verhalten der Bakterien in einer Funktionsgleichung modellieren?
• Wie viele Bakterien sind nach $90$ Minuten vorhanden, wie viele nach $5$ Stunden und wie viele nach $3$ Tagen?
• Wann beträgt die Anzahl der Bakterien das $60 \text{-Fache}$ des Anfangswerts?

Erste Teilaufgabe

Zuerst können wir den Anfangswert $a$ und den Wachstumsfaktor $b$ bestimmen.

Aus der Aufgabenstellung ist gegeben, wie viele Bakterien zu Beobachtungsbeginn vorliegen. Somit können wir den Anfangswert direkt ablesen: $a=10\,450$.

Für die Bestimmung des Wachstumsfaktors gibt es zwei Dinge, die in die Überlegung einbezogen werden müssen:

• Die Anzahl verdreifacht sich. Es ist also nach einem Zyklus die dreifache Anzahl vorhanden.
• Dies findet innerhalb von $55$ Minuten statt.

Die Verdreifachung gibt uns den ersten Hinweis auf den Wert von b: Es verdreifacht sich die Menge in der vorgegebenen Zeit. Das bedeutet, dass $b=3$ gilt.

Allerdings würde dies allein nur bedeuten, dass sich die Anzahl in einer Zeiteinheit verdreifacht. Wenn wir eine Minute als Zeiteinheit festlegen, müssen wir noch einbeziehen, dass eine Verdreifachung in $55$ Minuten stattfindet. Dies wird nun in den Exponenten integriert und es ergibt sich die Funktionsgleichung:

$f(x)=10\,450 \cdot 3^{\frac{x}{55}}$

Zweite Teilaufgabe

Mit der Funktionsgleichung sind nun auch die weiteren Fragen lösbar. Dazu soll nun die Bestimmung der Bakterienanzahl nach einer bestimmten Zeit aufgezeigt werden.

Für die Bakterienanzahl nach $90$ Minuten setzt man nun für $x$ den vorgegebenen Wert ein und berechnet so die entsprechende Anzahl:

$f(90)=10\,450 \cdot 3^{\frac{90}{55}} \approx10\,450 \cdot 6{,}036 \approx 63\,076$

Nach $90$ Minuten sind in der Bakterienkultur ca. $63\,076$ Bakterien vorhanden.

Für den zweiten Zeitwert ist noch ein Zwischenschritt zu erledigen. Es ist nach der Bakterienanzahl nach $5$ Stunden gefragt. Da wir die Funktionsgleichung mit der Verdreifachung nach $55$ Minuten aufgestellt haben, ist es wichtig, darauf zu achten, dass sich die Werte, die man für $x$ einsetzt, ebenfalls in der Einheit Minuten befinden. Falsch wäre also an dieser Stelle, $x=5$ einzusetzen.

Eingesetzt werden muss:

$5 ~\text{h}= 5 ~\text{h} \cdot 60 ~\frac{\text{min}}{\text{h}} = 300~ \text{min}$

Nun gilt:

$f(300) = 10\,450 \cdot 3^{\frac{300}{55}} \approx10\,450 \cdot 400{,}387 \approx 4\,184\,044$

Nach $5$ Stunden sind ca. $4\,184\,040$ Bakterien im Labor vorhanden.

Überlege nun selbstständig, wie der Lösungsweg für den Fall von $3$ Tagen aussehen müsste.

Dritte Teilaufgabe

Eine weitere typische Fragestellung ist die Frage, nach welcher Dauer ein bestimmter Wert erreicht ist. Wir wollen in diesem Beispiel wissen, wann die Bakterienanzahl das $60 \text{-Fache}$ des Ausgangswerts beträgt. Als Erstes muss man dazu berechnen, nach welcher Bakterienzahl konkret gefragt ist:

Der Anfangswert beträgt $10\,450$ Bakterien, das $60 \text{-Fache}$ davon ist: $10\,450 \cdot 60=627\,000$

Im Gegensatz zur vorherigen Überlegung müssen wir nun die Dauer bestimmen, nach der der Wert bei dieser Größe liegt – es muss also für $f(x)$ die Ziel-Bakterienanzahl eingesetzt werden und $x$ bestimmt werden.

$\begin{array}{rcll} 627\,000 & = & 10\,450 \cdot 3^{\frac{x}{55}} & \vert :10\,450 \\ \\ 60 & = & 3^{\frac{x}{55}} & \vert \log_{3} \\ \\ \log_{3}{60} & = & \frac{x}{55} \\ \\ 3{,}727 & \approx & \frac{x}{55} & \vert \cdot 55 \\ \\ 205 & \approx & x & \end{array}$

Wie oben schon beschrieben ist $x$ in Minuten angegeben. Es dauert also ca. $205$ Minuten ($=3{,}42 ~\text{h}$), bis das $60 \text{-Fache}$ der Ausgangsmenge erreicht ist.

Beispiel 2 – Medikamentenabbau im Körper

Ein Beispiel zum exponentiellen Zerfall ist der Abbau eines Medikaments im Körper. Dazu ist folgende Aufgabenstellung gegeben:

Eine Person nimmt $36~ \text{mg}$ eines Medikaments ein, das zu Fahruntauglichkeit führt. Wenn weniger als $0{,}5~ \text{mg}$ davon im Körper verbleibend sind, gilt man laut Beipackzettel wieder als fahrtauglich. Das Medikament baut sich jeden Tag um $\frac{3}{4}$ ab.

• Wie lautet die Funktionsgleichung, die man anhand dieser Aufgabenstellung modellieren kann?
• Wie viel $\text{mg}$ sind nach $4$ Tagen und wie viel nach einer Woche noch im Körper?
• Wie lange dauert es, bis die Person wieder Auto fahren darf?

Erste Teilaufgabe

Wieder bestimmen wir zunächst den Anfangswert und den Wachstumsfaktor.

Der Anfangswert ergibt sich aus der Menge des Medikaments, die eingenommen wird: $a=36~ \text{mg}$.

Für den Wachstumsfaktor können wir als Erstes folgende Überlegung treffen: Das Medikament wird abgebaut, das heißt, mit fortschreitender Zeit wird die Menge des Medikaments (und somit der Funktionswert) kleiner. Der Wachstumsfaktor muss also kleiner als $1$ sein. Wir können ihn aus der Aufgabenstellung ablesen. Jeden Tag baut sich der Wirkstoff um $\frac{3}{4}$ ab, das bedeutet, dass $b=1- \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.

Wenn wir nochmals in die Aufgabe zur Bakterienvermehrung schauen, müssen wir uns überlegen, in welchem Zeitraum dieser Abbau stattfindet. Angegeben ist hier, dass sich das Medikament innerhalb eines Tags um den genannten Wert abbaut. Da es sich hier um eine Zeiteinheit handelt, müssen wir nicht wie weiter oben einen konkreten Wert in den Exponenten integrieren.

Wir können also folgende Funktionsgleichung aufstellen:

$f(x)=36 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

Zweite Teilaufgabe

Wenn nun berechnet werden soll, wie viel mg des Medikaments nach einer bestimmten Zeit noch im Körper verbleiben, gehen wir ähnlich vor wie im Wachstums-Beispiel der Bakterien. Dazu betrachten wir zuerst den Fall nach $4$ Tagen.

Man setzt nun wieder für $x$ den Zeitwert der $4$ Tage ein und berechnet so die Menge an verbleibendem Medikament:

$f(4)=36 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{4} \approx 36 \cdot 0{,}0039 \approx 0{,}14$

Nach $4$ Tagen sind also noch $0{,}14 \text { mg}$ des Medikaments im Körper vorhanden.

Überlege nun auch hier selbstständig, wie viel des Medikaments nach einer Woche im Körper verbleibend ist.

Dritte Teilaufgabe

Um die Frage nach der Fahrtauglichkeit zu beantworten, ist uns aus der Aufgabenstellung der Zielwert von $0{,}5~ \text{mg}$ gegeben. Dieser muss nun für den Funktionswert eingesetzt werden:

$\begin{array}{rcll} 0{,}5 & = & 36 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{x} & \vert :36 \\ \\ 0{,}0139 & = & \left(\frac{1}{4}\right)^{x} & \vert \log_{\left(\frac{1}{4}\right)} \\ \\ \log_{\left(\frac{1}{4}\right)}{0{,}0139} & = & x \\ \\ x & \approx & 3 & \end{array}$

Nach ungefähr $3$ Tagen ist die Person wieder fahrtauglich.

Beispiel 3 – prozentuale Zunahme bzw. Abnahme

Ein letztes Beispiel soll die Anwendung in Verknüpfung mit der Prozentrechnung veranschaulichen.

In einem Land wächst die Bevölkerung jährlich um 2 %. Zu Beginn des Beobachtungszeitraums leben 13 Millionen Menschen in dem Land.

• Wie lautet die Funktionsgleichung, mit der die Problematik modelliert werden kann?
• Wie viele Menschen leben drei Jahre nach Beobachtungsbeginn in dem beschriebenen Land?
• Nach wie vielen Jahren leben bei gleichbleibendem Wachstumsfaktor 60 Millionen Menschen in diesem Land?

Für die erste Frage kann zunächst sehr einfach der Anfangswert bestimmt werden. Dieser beträgt $a= 13~ \text{Millionen}$. Der Wachstumsfaktor ist nicht ganz so leicht abzulesen. Da es sich um eine prozentuale Zunahme handelt, muss diese in den Wachstumsfaktor integriert werden. Dabei gilt:

Für unser Beispiel gilt also bei $p=2\%$ und $a=13 ~ \text{Millionen}$ Folgendes:

$f(x)=13\,000\,000 \cdot \left( 1 + \frac{2}{100} \right)^{x} = 13\,000\,000 \cdot 1{,}02^{x}$

Die anderen beiden Aufgaben sind vom Prinzip her vergleichbar mit den Aufgaben, die weiter oben besprochen wurden. Versuch nun, diese zunächst allein zu lösen.