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Exponentialfunktion - Definition

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Team Digital
Exponentialfunktion - Definition
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Exponentialfunktion - Definition

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du die Definition und die wichtigsten Eigenschaften von Exponentialfunktionen kennen.

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Zunächst wird der Verlauf einiger Funktionen anhand ihrer Wertetabellen untersucht. Anschließend schauen wir uns die Eigenschaften wie Monotonieverhalten, Definitions- und Wertebereich an. Abschließend lernst du, wie die Funktionen an der y-Achse gespiegelt werden.

Lerne außerdem etwas über die Entwicklung des Bevölkerungswachstums.

Bevölkerungswachstum exponentiell

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Basis, Exponent, Potenz, Monotonie, Spiegelung, Definitionsbereich, Wertebereich, Asymptote und Nullstelle.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Weiteres zu Exponentialfunktionen und ihren Parametern zu lernen.

Transkript Exponentialfunktion - Definition

Wusstest du, dass es im Jahre null nur zweihundert Millionen Menschen auf der Erde gab? In den darauffolgenden tausend Jahren ist auch nicht viel passiert. Es hat bis zum im achtzehnten Jahrhundert gedauert, bis es eine Milliarde Menschen gab. Aber danach wurde das Bevölkerungswachstum immer rasanter. Um Neunzehnhundert waren es schon anderthalb Milliarden. Und nach nur sechzig Jahren hatte sich diese Anzahl bereits verdoppelt. Weitere sechzig Jahre später sind wir schon bei fast acht Milliarden angelangt. Wenn wir diese Werte in ein Koordinatensystem eintragen, erkennen wir, dass sich dieses schnelle Wachstum am besten mit „Exponentialfunktionen“ modellieren lässt. Was genau versteht man unter diesem Funktionstyp? Exponentialfunktionen haben eine positive reelle Zahl a als Basis. Anders als bei bisherigen Funktionen steht die Variable nämlich hier im Exponenten. Dadurch nimmt der Funktionswert mit jedem x-Wert eine andere Potenz zur Basis an. Wenn die Basis zum Beispiel zwei ist, bedeutet das dass sich der Funktionswert bei jedem Schritt verdoppelt. Bei der Funktion „drei hoch x“ verdreifacht sich der Funktionswert bei jedem Schritt. An der Stelle „x gleich null“ haben alle Exponentialfunktionen den gleichen Funktionswert, nämlich eins. Bei negativen x-Werten verkleinern sich die Funktionswerte und nähern sich immer mehr der Null an. Und so sehen die beiden Funktionsgraphen aus. Je größer außerdem die Basis ist, desto steiler verläuft der Funktionsgraph. Ist die Basis kleiner als eins, fällt der Funktionsgraph. Zum Beispiel die Funktionen „ein Halb hoch x“ oder „ein Drittel hoch x“. Das können wir mithilfe einer Wertetabelle nachweisen. Je größer die Exponenten, also die x-Werte werden, desto kleiner werden die Funktionswerte. Und je kleiner die Exponenten werden, desto größer sind die Funktionswerte. Auch für diese Funktionen gilt, dass bei „x gleich null“ der Funktionswert wieder eins ist. Gut, soweit also zu dem Fall a kleiner eins. Was würde passieren, wenn a genau eins ist? Dann wären alle Funktionswerte eins, denn egal mit welcher Zahl eins potenziert wird, eins mal eins mal eins ergibt immer eins. Wir hätten also eine Gerade, die waagerecht auf der Höhe eins verläuft. Das ist doch nun wirklich keine Exponentialfunktion! Deshalb ist die Basis eins in der Definition ausgenommen. Wenn wir nun alle Funktionsgraphen betrachten, können wir noch einmal deutlich erkennen, dass bei einer Basis größer als eins, der zugehörige Graph streng monoton steigend ist, während bei einer Basis kleiner als eins der Graph streng monoton fallend verläuft. Was erkennen wir noch? Die Funktionsgraphen haben einen einzigen gemeinsamen Punkt. Sie alle schneiden die y-Achse im Punkt „null eins“. Das liegt daran, dass jede beliebige Zahl „hoch null“ immer eins ergibt. Was können wir zum Definitions- und Wertebereich sagen? Nun, es können alle reellen Zahlen für x eingesetzt werden, da die Funktionen von minus unendlich bis plus unendlich durchgehend sind. Zu den Funktionswerten gehören nur die positiven, reellen Zahlen. „y gleich null“ wird zwar angenähert, aber nie erreicht. Das erkennt man daran, dass sich die Funktionen mit der Basis größer als eins für „x gegen minus unendlich“ immer weiter der x-Achse annähern, aber sie nie erreichen werden. Für die Funktionen mit einer Basis kleiner eins nähern sich die Graphen für „x gegen plus unendlich“ immer mehr der x-Achse an. Die x-Achse ist in diesem Fall die Asymptote der Exponentialfunktionen. Deshalb sagt man auch, die Funktionsgraphen nähern sich asymptotisch der x-Achse an, werden sie aber nie berühren oder schneiden. Da alle Funktionswerte positiv sind, haben die Exponentialfunktionen keine Nullstelle. Die letzte interessante Erkenntnis, die wir hier ansprechen wollen, ist der symmetrische Verlauf von je zwei Funktionsgraphen. Wenn wir zum Beispiel den Funktionsgraphen „zwei hoch x“ an der y-Achse spiegeln, erhalten wir den Graphen der Funktion „ein Halb hoch x“. Und wenn wir den Funktionsgraphen von „ein Drittel hoch x“ an der y-Achse spiegeln, erhalten wir den Graphen von „drei hoch x“. Man kann also allgemein sagen, dass die Graphen der Exponentialfunktionen „a hoch x“ und „eins durch a hoch x“ durch Spiegelung an der y-Achse auseinander hervorgehen. Statt „eins durch a hoch x“ kann man übrigens auch „a hoch minus x“ schreiben. So, das war nun aber genug Input zu Exponentialfunktionen. Wir fassen die wichtigsten Informationen noch einmal zusammen. Eine Funktion mit der Gleichung „f von x gleich a hoch x“ heißt Exponentialfunktion. Die Basis a ist dabei eine positive reelle Zahl und darf außerdem nicht eins sein. Der Definitionsbereich umfasst alle der Wertebereich nur die positiven reellen Zahlen. Das heißt, die Funktionsgraphen verlaufen oberhalb der x-Achse und haben somit auch keine Nullstelle. Außerdem schneiden alle Graphen die y-Achse im Punkt null eins. Ist die Basis größer als eins, ist der Funktionsgraph streng monoton steigend. Ist die Basis kleiner als eins, ist der Funktionsgraph streng monoton fallend. Alle Graphen nähern sich außerdem asymptotisch der x-Achse an. Bei „a größer als 1“ für „x gegen minus unendlich“ und bei „a kleiner eins“ für „x gegen unendlich“. Und wird die Weltbevölkerung nun immer weiter exponentiell anwachsen? Nun, die meisten Forscher*innen gehen nicht davon aus. Aber wahrscheinlich müssen wir in Zukunft trotzdem ein bisschen zusammenrutschen.

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