Exponentialfunktion – Übungen

1. Frage: Welche Aussage zur Exponentialfunktion $f(x)=b^{x}$ ist korrekt?

Antwort: Für jedes gültige $b$ gilt $f(0)=1$. Die Funktion schneidet die $y$-Achse bei $1$.

2. Frage: Welche Aussage über den Definitions- und Wertebereich von $f(x)=b^{x}$ ist richtig?

Antwort: Der Definitionsbereich ist $\mathbb{R}$, der Wertebereich ist $(0,\infty)$.

3. Frage: Welche Aussage zur Asymptote der Funktion $f(x)=b^{x}$ $(b\gt1)$ ist korrekt?

Antwort: Der Graph nähert sich für $x\to-\infty$ der $x$-Achse, erreicht sie aber nie.

4. Frage: Wie wirkt sich die Basis $b$ auf das Monotonieverhalten von $f(x)=b^{x}$ aus?

Antwort: Für $b\gt1$ ist $f$ streng wachsend, für $0\lt b\lt1$ streng fallend.

5 .Frage: Welcher Punkt liegt bei jeder Exponentialfunktion $f(x)=b^{x}$ garantiert auf dem Graphen?

Antwort: Der Punkt $(1,b)$, denn es gilt $f(1)=b$.

Versuche dich an die Eigenschaften von Exponentialfunktionen zu erinnern, um einige wichtige Punkte auf dem Graphen zu identifizieren. Beispielsweise wissen wir, dass Exponentialfunktionen der Form ${f(x) =a \cdot b^x}$ die $y$-Achse bei ${(0\vert a)}$ schneiden. Andere wichtige Punkte könnten auch ${(1 \vert ab)}$ oder ${({-}1 \vert \frac{a}{b})}$ sein.

• $f(x) = 2^x$
  Mit dem Punkt $(0|1)$ wird schnell klar, dass $a=1$ sein muss. Darüber hinaus erkennen wir bei dem Graphen $f$, dass dieser durch den Punkt $(1|2)$ geht. Dabei erhalten wir:
  $$ b^1 = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 2$$ Das bedeutet, dass die Funktionsvorschrift von $f(x) = 2^x$ ist.

• $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
  Der Funktionsgraph von $g$ ist der an der $y$-Achse gespiegelte Graph von $f$. Beiden Graphen gehen durch den Punkt $(0|1)$ und alle anderen Funktionswerte sind spiegelverkehrt, sprich ihr $x$-Wert hat das entgegengesetzte Vorzeichen.

• $h(x) = 3 \cdot 2^x$
  Der Funktionsgraph von $h$ schneidet die $y$-Achse am Punkt $(0|3)$. Damit erhalten wir:
  $$ a \cdot b^0 = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 3$$
  Mit $a=3$ können wir uns einen zweiten Punkt raussuchen, um $b$ zu ermitteln. Das können wir beispielsweise mit dem Punkt $(1|6)$ oder $({-}1|1{,}5)$ machen, sodass $b=2$ rauskommt.

• $i(x) = 5^x$
  Mit dem Punkt $(0|1)$ erkennen wir, dass für die Funktionsvorschrift $a=1$ gelten muss. Mit dem Punkt $(1|5)$ können wir $b$ ermitteln:
  $$ b^1 = 5 \quad \Rightarrow \quad b = 5$$ Das bedeutet, dass die Funktionsvorschrift von $f(x) = 2^x$ ist.

• $j(x) = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^x$
  Der Funktionsgraph von $j$ schneidet die $y$-Achse am Punkt $(0|2)$. Damit erhalten wir:
  $$ a \cdot b^0 = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 2$$
  Mit $a=2$ können wir uns einen zweiten Punkt raussuchen, um $b$ zu ermitteln. Das können wir beispielsweise mit dem Punkt $({-}1|6)$ machen.
  $$ 2 \cdot b^{-1} = 6 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{b} = 3 \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{1}{3}$$ Das bedeutet, dass die Funktionsvorschrift von $j(x) = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^x$ lautet.

Lösungsweg:
Aus der Eigenschaft, dass die Funktion streng monoton fallend ist und sich der $x$-Achse für $x \to \infty$ annähert, lässt sich ableiten, dass die Basis $b$ der Exponentialfunktion im Bereich $0 \lt b \lt 1$ liegen muss. Zusätzlich muss der Streckungsfaktor $a$ positiv sein, also $a \gt 0$, damit die Funktionswerte oberhalb der $x$-Achse bleiben.

Außerdem wissen wir, dass der Graph durch die beiden Punkte $P(0|4)$ und $Q(2|1)$ verläuft. Das ermöglicht uns, zwei Gleichungen aufzustellen, aus denen wir die Werte von $a$ und $b$ berechnen können:

$$(\text{I}) \quad a \cdot b^0 = 4$$ $$(\text{II}) \quad a \cdot b^2 = 1$$

Aus der ersten Gleichung folgt unmittelbar, dass $a = 4$ gilt. Dieses Ergebnis setzen wir in die zweite Gleichung ein:

$$4 \cdot b^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1}{2}$$

Die berechneten Werte $a = 4$ und $b = \dfrac{1}{2}$ erfüllen auch die zuvor genannten Bedingungen zur Monotonie ($b \lt 1$) und zur Lage über der $x$-Achse ($a \gt 0$).

Antwort:
Die Funktionsvorschrift der gesuchten Funktion lautet $f(x) = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$.

Lösungsweg:
Aus der Eigenschaft, dass sich der Funktionswert bei jedem Schritt auf der $x$-Achse halbiert, lässt sich eine Aussage über die Basis $b$ der Exponentialfunktion treffen. Wenn sich der Wert bei einer Erhöhung des $x$-Werts um $1$ halbiert, dann gilt $b = \dfrac{1}{2}$.

Aus dem Punkt $P(0|5)$ wissen wir, dass $f(0) = a \cdot b^0 = 5$ gilt. Da $b^0 = 1$, ergibt sich direkt:

$$ a = 5$$

Damit lautet die Funktion:

$$f(x) = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$$

Zur Überprüfung: Die Basis $b = \dfrac{1}{2}$ liegt im Bereich $0 \lt b \lt 1$, was eine streng monoton fallende Exponentialfunktion bestätigt.

Antwort:
Die gesuchte Funktion lautet $f(x) = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

Lösungsweg:
Da die Funktion streng monoton wachsend ist, muss die Basis $b$ größer als 1 sein, also $b \gt 1$. Außerdem wissen wir, dass die Funktion durch die beiden Punkte $P(0|6)$ und $Q(4|96)$ verläuft. Diese beiden Punkte liefern uns zwei Gleichungen zur Bestimmung der beiden Parameter $a$ und $b$:

$$(\text{I}) \quad a \cdot b^0 = 6 \quad \Rightarrow a = 6$$ $$(\text{II}) \quad a \cdot b^4 = 96$$

Setzen wir $a = 6$ in Gleichung (II) ein, so ergibt sich:

$$6 \cdot b^4 = 96 \quad \Rightarrow \quad b^4 = 16 \quad \Rightarrow \quad b = 2$$

Die erhaltenen Werte $a = 6$ und $b = 2$ erfüllen die Bedingungen $a \gt 0$ sowie $b \gt 1$ und führen damit zu einer streng monoton wachsenden Exponentialfunktion.

Antwort:
Die Funktionsvorschrift lautet $f(x) = 6 \cdot 2^x$.

Lösungsweg:
Da die Funktion streng monoton fallend ist, muss die Basis $b$ im Bereich $0 \lt b \lt 1$ liegen. Die beiden gegebenen Punkte liefern uns ein Gleichungssystem zur Bestimmung der beiden Parameter $a$ und $b$:

$$(\text{I}) \quad a \cdot b^1 = 2$$ $$(\text{II}) \quad a \cdot b^3 = 0{,}5$$

Teilen wir Gleichung (II) durch Gleichung (I), erhalten wir:

$$\frac{a \cdot b^3}{a \cdot b} = \frac{0{,}5}{2} \quad \Rightarrow \quad b^2 = 0{,}25 \quad \Rightarrow \quad b = 0{,}5$$

Diesen Wert setzen wir nun in Gleichung (I) ein:

$$a \cdot 0{,}5 = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

Die berechneten Werte $a = 4$ und $b = 0{,}5$ erfüllen die geforderten Bedingungen $a \gt 0$ und $b \lt 1$ und ergeben eine streng monoton fallende Exponentialfunktion.

Antwort:
Die Funktionsvorschrift lautet $f(x) = 4 \cdot 0{,}5^x$.

Lösungsweg:
Aus der Tatsache, dass die Funktion streng monoton wachsend ist und sich für $x \to \infty$ der $x$-Achse nähert, ergibt sich, dass wir die Bedingungen $a \gt 0$ für den Streckungsfaktor und $b \gt 1$ für die Basis festhalten können.

Mit den anderen beiden Eigenschaften wissen wir, dass die Funktion durch die beiden Punkte $P(0|3)$ und $Q(2|12)$ geht. Damit können wir zwei Gleichungen aufstellen, die für die beiden Variablen $a$ und $b$ gelten müssen:

$$(\text{I}) \quad a \cdot b^0 = 3$$ $$(\text{II}) \quad a \cdot b^2 = 12$$

Aus der ersten Gleichung erkennen wir, dass $a = 3$ gilt. Setzen wir dieses Ergebnis in die zweite Gleichung ein, dann erhalten wir:

$$3 \cdot b^2 = 12 \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = 4$$
$$\Rightarrow b = 2$$

Die Ergebnisse $a = 3$ und $b = 2$ erfüllen auch die Bedingungen $a \gt 0$ und $b \gt 1$, die aus den anderen beiden Eigenschaften zur Monotonie und zur Asymptote aufgestellt worden sind.

Antwort:
Die Funktionsvorschrift der gesuchten Funktion lautet $f(x) = 3 \cdot 2^x$.

Lösung:
Um die Anzahl der Viren nach drei Stunden zu berechnen, setzen wir den Wert $t = 3$ in die gegebene Wachstumsfunktion $V(t) = 500 \cdot e^{0,6t}$ ein. Wir erhalten:

$$ V(3) = 500 \cdot e^{0,6 \cdot 3} = 500 \cdot e^{1,8} $$

Der Exponentialwert $e^{1,8}$ beträgt näherungsweise $6{,}05$. Wir multiplizieren diesen mit dem Anfangswert:

$$ V(3) \approx 500 \cdot 6{,}05 = 3\,025 $$

Daraus ergibt sich, dass sich nach drei Stunden etwa $3\,025$ Viren im Körper befinden. Dies verdeutlicht, wie schnell sich die Viren bei exponentiellem Wachstum vermehren können.

Lösung:
Wir möchten bestimmen, zu welchem Zeitpunkt $t$ die Funktion den Wert $V(t) = 10\,000$ erreicht. Dazu setzen wir diese Zahl in die Gleichung ein:

$$ 10\,000 = 500 \cdot e^{0,6t} $$

Im nächsten Schritt lösen wir die Gleichung nach $t$ auf. Dazu teilen wir beide Seiten der Gleichung durch $500$, um den Exponentialausdruck zu isolieren:

$$ e^{0,6t} = \frac{10\,000}{500} = 20 $$

Nun wenden wir den natürlichen Logarithmus an, um den Exponenten freizulegen:

$$ \ln\left(e^{0,6t}\right) = \ln(20) $$

Da $\ln(e^x) = x$ gilt, folgt:

$$ 0{,}6t = \ln(20) $$

Wir berechnen $\ln(20) \approx 2{,}9957$ und erhalten:

$$ t = \frac{2{,}9957}{0{,}6} \approx 4{,}99 $$

Somit dauert es etwa $5$ Stunden, bis die Anzahl der Viren die Marke von $10\,000$ überschreitet.

Lösung:
Die Funktion $V(t) = 500 \cdot e^{0,6t}$ beschreibt ein exponentielles Wachstum mit einem positiven Exponenten. Da der Exponent $0{,}6t$ mit zunehmender Zeit $t$ immer größer wird, wächst auch der Funktionswert $V(t)$ immer weiter an.

Mathematisch bedeutet das:

$$ \lim_{t \to \infty} V(t) = \infty $$

Das heißt, dass die Anzahl der Viren theoretisch unbegrenzt wächst, solange keine hemmenden Faktoren wie Medikamente oder eine Immunreaktion auftreten.

Für sehr kleine Werte von $t$, also $t \to -\infty$, nähert sich der Ausdruck $e^{0,6t}$ gegen Null. Folglich gilt:

$$ \lim_{t \to -\infty} V(t) = 0 $$

Die Funktion hat somit eine horizontale Asymptote bei $V(t) = 0$. Das bedeutet: Je weiter wir in die Vergangenheit blicken, desto näher lag die Virenzahl bei Null. Die Funktion ist streng monoton wachsend und hat keine Maxima oder Minima.

Lösung:
Um die Temperatur des Tees nach einer halben Stunde zu ermitteln, setzen wir $t = 0{,}5$ in die Funktion $T(t) = 20 + 60 \cdot e^{-0,5t}$ ein:

$$ T(0{,}5) = 20 + 60 \cdot e^{-0,5 \cdot 0,5} = 20 + 60 \cdot e^{-0,25} $$

Wir berechnen nun den Wert des Exponentialterms:

$$ e^{-0,25} \approx 0{,}7788 $$

Dann multiplizieren wir diesen Wert mit $60$:

$$ 60 \cdot 0{,}7788 \approx 46{,}73 $$

Die gesamte Temperatur ergibt sich also zu:

$$ T(0{,}5) \approx 20 + 46{,}73 = 66{,}73\,^\circ \text{C} $$

Das bedeutet: Nach einer halben Stunde hat der Tee noch eine Temperatur von etwa $66{,}7\,^\circ \text{C}$. Zum Startzeitpunkt $t=0$ hatte der Tee eine Temperatur von $80\,^\circ \text{C}$ (berechne hierzu den Funktionswert $T(0)$). Er kühlt sich somit bereits deutlich ab, befindet sich aber noch deutlich über der Raumtemperatur.

Lösung:
Gesucht ist der Zeitpunkt $t$, zu dem die Temperatur $T(t) = 30\,^\circ \text{C}$ beträgt. Wir setzen diesen Wert in die Funktionsgleichung ein:

$$ 30 = 20 + 60 \cdot e^{-0,5t} $$

Zunächst subtrahieren wir $20$ von beiden Seiten:

$$ 10 = 60 \cdot e^{-0,5t} $$

Dann teilen wir durch $60$, um den Exponentialterm zu isolieren:

$$ \frac{1}{6} = e^{-0,5t} $$

Nun wenden wir den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten an:

$$ \ln\left(\frac{1}{6}\right) = -0{,}5t $$

Die Berechnung ergibt:

$$ \ln\left(\frac{1}{6}\right) \approx -1{,}7918 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1{,}7918}{0{,}5} \approx 3{,}58 $$

Somit dauert es etwa $3$ Stunden und $36$ Minuten, bis der Tee auf eine Temperatur von $30\,^\circ \text{C}$ abgekühlt ist.

Lösung:
Die Funktion $T(t) = 20 + 60 \cdot e^{-0,5t}$ besteht aus einem konstanten Anteil $(20)$ und einem exponentiell abnehmenden Anteil $\left(60 \cdot e^{-0,5t}\right)$.

Für sehr große Werte von $t$ nähert sich der Ausdruck $e^{-0,5t}$ gegen $0$, da der Exponent negativ ist. Damit ergibt sich:

$$ \lim_{t \to \infty} T(t) = 20 $$

Das bedeutet: Je länger der Tee steht, desto mehr nähert sich seine Temperatur der Raumtemperatur von $20\,^\circ \text{C}$ an, ohne sie jemals ganz zu unterschreiten. Zusätzlich ist die Funktion streng monoton fallend, da der Exponentialterm mit wachsendem $t$ kleiner wird. Die Temperatur nimmt also kontinuierlich ab. Die Funktion besitzt eine horizontale Asymptote bei $T(t) = 20$, was dem physikalisch sinnvollen Endwert entspricht.

Lösung:
Der Koeffizient $30\,000$ gibt den Wert des Autos zum Zeitpunkt $t = 0$ an. Das heißt, es handelt sich um den ursprünglichen Neupreis des Fahrzeugs direkt beim Kauf.

Im Kontext beschreibt dieser Wert also den maximalen Startwert der Funktion, bevor der exponentielle Wertverlust einsetzt.

Lösung:
Um den Wert des Autos nach fünf Jahren zu berechnen, setzen wir $t = 5$ in die gegebene Exponentialfunktion ein:

$$ W(5) = 30\,000 \cdot e^{-0,15 \cdot 5} = 30\,000 \cdot e^{-0,75} $$

Wir berechnen den Wert des Exponentialterms:

$$ e^{-0,75} \approx 0{,}4724 $$

Nun berechnen wir das Produkt:

$$ 30\,000 \cdot 0{,}4724 \approx 14\,172 $$

Das bedeutet: Der Wagen hat nach fünf Jahren nur noch einen Restwert von etwa $14\,172~ €$. Dieser starke Rückgang (vom Neupreis bei $30\,000~ €$) zeigt den typischen Wertverlust bei Fahrzeugen in den ersten Jahren.

Lösung:
Wir setzen $W(t) = 10\,000$ in die Funktionsgleichung ein, um den entsprechenden Zeitpunkt $t$ zu berechnen:

$$ 10\,000 = 30\,000 \cdot e^{-0,15t} $$

Zunächst teilen wir beide Seiten durch $30\,000$:

$$ \frac{1}{3} = e^{-0,15t} $$

Dann wenden wir den natürlichen Logarithmus an:

$$ \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -0{,}15t $$

Der Logarithmus ergibt:

$$ \ln\left(\frac{1}{3}\right) \approx -1{,}0986 $$

Nun lösen wir nach $t$ auf:

$$ t = \frac{1{,}0986}{0{,}15} \approx 7{,}32 $$

Nach etwa $7{,}3$ Jahren sinkt der Wert des Fahrzeugs unter die Grenze von $10\,000~€$.