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Logarithmusfunktion

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Team Digital
Logarithmusfunktion
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Grundlagen zum Thema Logarithmusfunktion

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmusfunktionen zu nennen.

Zunächst lernst du, wie der Logarithmus grundsätzlich funktioniert. Anschließend siehst du, wie Logarithmusfunktionen in einem Koordinatensystem verlaufen. Abschließend lernst du, dass Logarithmusfunktionen die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen mit gleicher Basis sind.

Logarithmusfunktionen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Logarithmus, Basis, Exponent, Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Logarithmus ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mit Logarithmusfunktionen zu rechnen.

Transkript Logarithmusfunktion

Was haben wohl PH-Werte, die Angabe von Lautstärke in Dezibel und die Richterskala zur Kategorisierung von Erdbeben gemeinsam? Na liegt doch auf der Hand: All diese Messinstrumente greifen auf den Logarithmus zurück! Da lohnt es sich doch, mal einen genauen Blick auf die „Logarithmusfunktion“ zu werfen. Zunächst sollten wir noch einmal kurz wiederholen, wie der Logarithmus überhaupt definiert ist. Der Logarithmus ist letztendlich nichts anderes als die Antwort auf die Frage, mit welcher Zahl man eine gegebene Zahl potenzieren muss, um einen gegebenen Potenzwert zu erhalten. Wenn wir zum Beispiel bei dieser Gleichung das x – also den gesuchten Exponenten – ermitteln möchten, berechnen wir den Logarithmus von eintausend zur Basis zehn. Der Logarithmuswert ist in diesem Beispiel gleich drei, da zehn hoch drei gleich eintausend ist. Soweit zu den Basics. Doch wie genau können wir uns denn jetzt die Logarithmusfunktion vorstellen? Nun ja, Potenzfunktionen kennen wir bereits. Hier ist der Exponent eine feste Zahl und wir können für die „Basis x“ unterschiedliche Werte einsetzen, um die entsprechenden Funktionswerte zu berechnen. Steht hingegen in der Basis ein fester Wert und die Variable im Exponenten, haben wir es mit einer Exponentialfunktion zu tun. Bei der Logarithmusfunktion sieht es so ähnlich aus: Die Basis legen wir als Wert fest. Unsere „Variable x“ setzen wir jetzt in den Logarithmus ein. Die Funktion lautet dann: „f von x gleich Logarithmus von x zur Basis zwei“. Schauen wir uns das mal im Koordinatensystem an. Wenn wir in unsere Funktion den Wert zwei einsetzen, müssen wir den Logarithmus von zwei zur Basis zwei bestimmen. Das ist eins, da wir eine eins in den Exponenten einsetzen müssen, um das Ergebnis zwei zu erhalten. Also ist der Funktionswert unserer Funktion an der Stelle „x gleich zwei“ gleich eins. Der nächste Funktionswert, den wir relativ einfach bestimmen können, ist der Funktionswert von „x gleich vier“. Da zwei hoch zwei vier ergibt, ist zwei an dieser Stelle der entsprechende y-Wert. An der Stelle acht ist der Funktionswert dann gleich drei und so weiter. Ein wichtiger Funktionswert ist an der Stelle „x gleich eins“ gegeben. Weil wir den Potenzwert eins nur dann erhalten, wenn wir die Basis zwei mit Null potenzieren, ist „x gleich eins“ die Nullstelle unserer Funktion. Das gilt übrigens für jede Logarithmusfunktion, da wir bei jeder beliebigen Basis eins erhalten, wenn wir sie mit Null potenzieren. Wenn wir jetzt positive x-Werte einsetzen, die kleiner als eins sind, zum Beispiel ein Halb oder ein Viertel, erhalten wir negative Funktionswerte. Wir erinnern uns: Potenzen mit negativen Exponenten können wir auch als Brüche schreiben. Deshalb müssen die Funktionswerte für x-Werte zwischen Null und eins negativ sein. Jetzt können wir uns den Verlauf des Funktionsgraphen schon ungefähr vorstellen. Er sieht so aus. Auch die Funktionsgraphen von Logarithmusfunktionen mit einer anderen Basis haben einen ähnlichen Verlauf. Hier siehst du die die Logarithmusfunktionen mit den Basen drei und zehn. Schauen wir uns den Verlauf der Logarithmusfunktionen mal genauer an. Für größer werdende x Werte gehen die Funktionen gegen plus unendlich und für x-Werte, die sich der Null annähern, gegen minus unendlich. Die Graphen der Funktionen steigen daher im gesamten Definitionsbereich. Die Null und negative x-Werte sind dabei aus dem Definitionsbereich der Funktionen ausgeschlossen. Der Wertebereich deckt hingegen alle reellen Zahlen ab. Die Logarithmusfunktionen haben außerdem alle eine Nullstelle bei x gleich eins. Eine weitere interessante Eigenschaft wird ersichtlich, wenn wir zur der Logarithmusfunktion zur Basis zwei die Exponentialfunktion „zwei hoch x“ in das Koordinatensystem einzeichnen, und zusätzlich die Winkelhalbierende, sprich die Funktion „h von x gleich x“ eintragen. Wir erkennen: Die Funktion „Logarithmus von x zur Basis zwei“ ist die Spiegelung der Funktion „zwei hoch x“ an der Winkelhalbierenden. Das liegt daran, dass das Logarithmieren eine Umkehroperation zum Potenzieren ist. Somit ist die Logarithmusfunktion auch die Umkehrfunktion der entsprechenden Exponentialfunktion. Wieder was dazugelernt – fassen wir das Ganze nochmal kurz und knapp zusammen. Bei einer Logarithmusfunktion betrachten wir den Logarithmus zu einer festen Basis – zum Beispiel zur Basis zwei, drei oder zehn – von beliebigen positiven x-Werten. Alle Logarithmusfunktionen haben gemeinsam, dass sie nur für positive x-Werte definiert sind, und durch den Punkt „eins null“ verlaufen. Logarithmusfunktionen sind außerdem die Umkehrfunktionen der entsprechenden Exponentialfunktionen. Der Logarithmus ist nützlich, um sehr kleine oder auch sehr große Zahlen darzustellen. Das liegt daran, dass die Funktionswerte für größer werdende x-Werte im Gegensatz zu Exponentialfunktionen nur sehr sehr langsam wachsen. Das hilft uns vor allem auch in den Naturwissenschaften, da unsere Wahrnehmung häufig nicht linear, sondern logarithmisch funktioniert. Der Logarithmus zur Basis zehn kommt so zum Beispiel bei der bereits erwähnten Richterskala zum Einsatz. Ein Erdbeben der Stärke sieben ist zehnmal so stark wie ein Beben der Stärke sechs, hundertmal so stark wie ein Beben der Stärke fünf und so weiter. Dank dem Logarithmus können wir aber auch Zahlen, die so weit auseinanderliegen, übersichtlich in einer Skala zusammenfassen. Na dann bist du ja jetzt bestens gerüstet, wenn du in Zukunft Seismolog:in, Chemiker:in oder halt einfach Rockstar werden willst.

Logarithmusfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmusfunktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion.

    Tipps

    Wir können die Umkehrfunktion bestimmen, indem wir in der Funktionsgleichung die Variablen $x$ und $y$ vertauschen und erneut nach $y$ auflösen.

    Die Funktionsgraphen

    • $f_1(x)=\log_3(x)$ und $g_1(x)=3^x$
    • $f_2(x)=\log_5(x)$ und $g_2(x)=5^x$
    • $f_3(x)=\log_7(x)$ und $g_3(x)=7^x$
    gehen durch Spiegelung an der $x$-Achse auseinander hervor.

    Lösung

    Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion:

    Die Funktionsgraphen: Spiegelung
    Wenn wir den Graphen der Logarithmusfunktion $f(x)=\log_2(x)$ an der Winkelhalbierenden $h(x)=x$ spiegeln, so erhalten wir den Graphen der Exponentialfunktion $g(x)=2^x$. Der gleiche Zusammenhang gilt zum Beispiel auch für

    • $f_1(x)=\log_3(x)$ und $g_1(x)=3^x$
    • $f_2(x)=\log_5(x)$ und $g_2(x)=5^x$
    • $f_3(x)=\log_7(x)$ und $g_3(x)=7^x$ usw.
    Die Winkelhalbierende stellt jeweils die Spiegelachse dar.

    Umkehrfunktion:
    Dies liegt daran, dass das Logarithmieren eine Umkehroperation zum Potenzieren ist. Die Exponentialfunktion ergibt sich, wenn wir bei der Logarithmusfunktion die Variablen $x$ und $y$ tauschen:
    $y=\log_n(x) \quad \longrightarrow \quad x = \log_n(y) \Leftrightarrow y=n^x$
    Somit sind Logarithmusfunktion und entsprechende Exponentialfunktion stets Umkehrfunktionen zueinander.

  • Gib Eigenschaften der Logarithmusfunktion an.

    Tipps

    Die Null und negative $x$-Werte sind aus dem Definitionsbereich der Funktionen ausgeschlossen, da eine Potenz wie zum Beispiel $2^x$ nicht $0$ oder negativ sein kann.

    Für eine beliebige natürliche Zahl $n$ besitzt die Logarithmusfunktion $\log_{n} (x) $ eine Nullstelle bei $x=1$: $f(1)=\log_{n}{(1)}=0$

    Lösung

    Die Graphen von Logarithmusfunktionen wie $f(x)=\log_2(x)$, $f(x)=\log_3(x)$ oder $f(x)=\log_{10}(x)$ haben einen ähnlichen Verlauf:

    Für größer werdende $x$ Werte gehen die Funktionen gegen $+\infty$.
    Wir schreiben: Für $x \to \infty $ gilt $f(x) \to +\infty$.

    'Für $x \to \infty $ gilt $f(x) \to - \infty$' – Diese Aussage ist falsch.

    Die Graphen der Funktionen steigen im gesamten Definitionsbereich. Wir sagen auch:
    'Die Graphen sind monoton steigend.' – Diese Aussage ist richtig.

    Die Null und negative $x$-Werte sind aus dem Definitionsbereich der Funktionen ausgeschlossen, da eine Potenz wie $2^x$ nie $0$ oder negativ sein kann.
    'Der Definitionsbereich enthält alle reellen Zahlen.' – Diese Aussage ist falsch.

    Der Funktionsgraph verläuft nur im ersten und vierten Quadranten des Koordinatensystems und schneidet die $y$-Achse nicht.
    'Der Funktionsgraph schneidet die $y$-Achse bei $0$.' – Diese Aussage ist falsch.

    Der Wertebereich deckt alle reellen Zahlen ab, da die Funktionswerte für $x \to 0$ gegen $- \infty$ und für $x \to \infty$ gegen $\infty$ streben.
    'Der Wertebereich enthält alle reellen Zahlen.' – Diese Aussage ist richtig.

    Die Logarithmusfunktionen haben alle eine Nullstelle bei $x=1$, da gilt: $\log_{n}{(1)}=0$, weil jede Zahl $n$ gilt: $n^0 = 1$.
    'Die Nullstelle ist bei $x=1$.' – Diese Aussage ist richtig.

  • Ermittle die Funktionsgleichung aus dem Funktionsgraphen.

    Tipps

    Logarithmusfunktionen $f(x) = \log_{a}(x)$ haben im Allgemeinen an der Stelle $x=a$ den Funktionswert $f(a) = 1$.

    Je größer die Basis $a$ ist, umso flacher verläuft der Funktionsgraph für $x$-Werte größer als $1$.

    Lösung

    Die Graphen von Logarithmusfunktionen $f(x)=\log_a(x)$ mit $a \in \mathbb{Q}_+$ haben einen ähnlichen Verlauf. So sind alle Graphen monoton steigend und haben die Nullstelle bei $x=1$.

    Um die Logarithmusfunktionen zu unterscheiden, können wir folgenden Zusammenhang verwenden:

    Je größer die Basis $a$ ist, umso flacher verläuft der Funktionsgraph für $x$-Werte größer als $1$.

    Außerdem gilt mit $f(a) = \log_a(a)=1$, dass die Funktion immer an der Stelle $a$ den Funktionswert $1$ annimmt.

    Damit können wir die Funktionsgraphen zuordnen:

    • Der violette Graph geht durch den Punkt $(1{,}5|1)$. $ \quad \rightarrow \quad f(x) = \log_{1,5}(x)$.
    • Der grüne Graph geht durch den Punkt $(4|1)$. $ \quad \rightarrow \quad f(x) = \log_{4}(x)$.
    • Der orangene Graph geht durch den Punkt $(6|1)$. $ \quad \rightarrow \quad f(x) = \log_{6}(x)$.
    • Bei dem blauen Graph liegt der Punkt $(a|1)$ außerhalb des Ausschnitts, daher ist $a>6$.
    $ \quad \rightarrow \quad f(x) = \log_{12}(x)$.
  • Bestimme die Umkehrfunktion.

    Tipps

    Der Logarithmus ist über folgenden Zusammenhang definiert:

    $\log_a(b)=c \Leftrightarrow a^c=b$

    Die Umkehrfunktion ergibt sich, wenn wir bei der Logarithmusfunktion die Variablen $x$ und $y$ tauschen und nach $y$ auflösen.

    Lösung

    Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen zueinander. Wenn wir den Graphen einer Logarithmusfunktion an der Winkelhalbierenden $h(x)=x$ spiegeln, so erhalten wir den Graphen ihrer Umkehrfunktion, einer Exponentialfunktion.
    Dies liegt daran, dass das Logarithmieren eine Umkehroperation zum Potenzieren ist. Die Exponentialfunktion ergibt sich, wenn wir bei der Logarithmusfunktion die Variablen $x$ und $y$ tauschen:
    $y=\log_n(x) \quad \longrightarrow \quad x = \log_n(y) \Leftrightarrow y=n^x$

    Wir bestimmen die Umkehrfunktionen der gegebenen Logarithmusfunktionen:

    • $f(x) = \log_{\sqrt{10}}(x)$ hat die Umkehrfunktion $f(x)=\sqrt{10}^x$.
    • $f(x)=\log_{\sqrt{2}}(x)$ hat die Umkehrfunktion $ f(x)=\sqrt{2}^x = (2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{x}{2}}$.
    • $f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)$ hat die Umkehrfunktion $\displaystyle f(x)=\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^x = 0{,}5^x$.
    • $f(x) = \log_{0,1}(x)$ hat die Umkehrfunktion $\displaystyle f(x)= 0{,}1^x = \bigg(\frac{1}{10}\bigg)^x = \frac{1}{10^x}$.
    • $f(x) = \log_{10}(x)$ hat die Umkehrfunktion $f(x)=10^x$.
  • Bestimme die Logarithmuswerte.

    Tipps

    Es gilt: $\log_{2}(8)=3$, weil $2^3=8$ ist.

    Du kannst jede Logarithmusgleichung auch als eine Gleichung mit einer Potenz umschreiben:

    $\log_a(b)=x \Leftrightarrow a^x=b$

    Lösung

    Das Logarithmieren ist eine Umkehroperation zum Potenzieren. Daher können wir jede Logarithmusgleichung auch als eine Gleichung mit einer Potenz umschreiben:

    $\log_a(b)=x \Leftrightarrow a^x=b$

    Somit gilt:

    • $\log_{10}(100\,000)=5~$, weil $~10^5=100\,000$ ist.
    • $\log_{2}(16)=4~$, da $~2^4=16$ ergibt.
    • $\log_{3}(27)=3~$, da $~3^3=27$ ist.
    • $\log_{4}(16)=2~$, weil $~4^2=16$ ergibt.
  • Überprüfe die Aussagen zur Steigung der Logarithmusfunktion.

    Tipps

    Wenn du dir die Funktionsgraphen anguckst, fällt es dir leichter, die Aussagen zu untersuchen.

    Die Steigung gibt an, wie steil der Funktionsgraph ist.

    Du kannst sie vergleichen, indem du zum Beispiel für denselben $x$-Wert Tangenten an die Funktionsgraphen zeichnest.

    Lösung

    Die Graphen von Logarithmusfunktionen sind im Allgemeinen monoton steigend. Dabei gilt:

    Je kleiner die Basis ist, umso steiler ist der Funktionsgraph. Das erkennst du auch in der Graphik.

    • Im Bereich $x \gt 1$ steigt die Funktion $f(x)=\log_{10}(x)$ stärker als die Funktion $g(x)=\log_{2}(x)$.
    Diese Aussage ist also falsch. Es ist genau umgekehrt: Im Bereich $x \gt 1$ steigt die Funktion $f(x)=\log_{2}(x)$ stärker als die Funktion $g(x)=\log_{10}(x)$.
    • Im Bereich $x>1$ steigt die Funktion $f(x)=\log_3(x)$ stärker als die Funktion $g(x)=\log_{10}(x)$.
    Diese Aussage ist richtig.

    $\quad$

    Betrachten wir einen einzelnen Funktionsgraphen, so gilt: Die Steigung nimmt für größer werdende $x$-Werte ab. Der Funktionsgraph wird also in $x$-Richtung immer flacher.

    • Im Bereich $0 \lt x \lt 1$ steigt die Funktion $f(x)=\log_2(x)$ stärker als im Bereich $x>1$.
    Diese Aussage ist also richtig.
    • Im Bereich $1 \lt x \lt 2$ steigt die Funktion $f(x)=\log_6(x)$ stärker als im Bereich $2 \lt x \lt 3$.
    Auch diese Aussage ist richtig
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