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Logarithmusfunktionen

Logarithmengesetze, Umkehrfunktion, Definitionsbereich, Wertebereich, Eigenschaften

Inhalt

  • Was ist der Logarithmus?
  • Die allgemeine Logarithmusfunktion
  • Die natürliche Logarithmusfunktion
  • Was ist der Logarithmus?

    Der Logarithmus ist die Umkehroperation zum Potenzieren.

    Wir beginnen mit einem Beispiel.

    • Du weißt sicherlich, dass $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =81$ ist.
    • Wenn du nun umgekehrt wissen möchtest, mit welcher Zahl du $3$ potenzieren musst, um $81$ zu erhalten, wie kannst du dann vorgehen?

    Diese Frage führt zu der Gleichung $3^x=81$. Hier hilft dir der Logarithmus weiter. Er beantwortet die Frage: „Mit welcher Zahl musst du $3$ potenzieren, damit $81$ herauskommt?“

    Die Lösung lautet $x=\log_3{81}$.

    Allgemeiner kannst du dies auch so formulieren:

    • Die Gleichung $a^x=b$ wird durch $y=\log_a{b}$ gelöst.
    • Der rechte Teil der Gleichung wird „Logarithmus zur Basis $a$ von $b$“ genannt.
    • Dabei muss die Basis positiv sein.

    Es gibt natürlich verschiedene Basen. Einige davon führen zu speziellen Logarithmen, welche besonders häufig verwendet werden:

    • Der Logarithmus zur Basis $10$ wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet und schreibt sich abkürzend so: $\log_{10}=\lg$.
    • Der Logarithmus zur Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: $\log_e=\ln$.

    Diese beiden Logarithmen findest du auch auf deinem Taschenrechner.

    Die allgemeine Logarithmusfunktion

    Eine Logarithmusfunktion zur Basis $a$ hat folgende Gestalt:

    $\quad~~~f(x)=\log_a(x)$

    Die Logarithmusfunktion zur Basis $a$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis $a$.

    Der Definitionsbereich

    Da der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren ist und die Basis $a$, welche potenziert wird, positiv ist, folgt daraus, dass auch $a^x$ positiv ist. Dies bedeutet, dass die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist:

    $\quad~~~\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+$

    Der Wertebereich

    Der Wertebereich der Logarithmusfunktion ist die Menge der reellen Zahlen:

    $\quad~~~\mathbb{W}_f=\mathbb{R}$

    Spezielle Funktionswerte und Grenzwertverhalten

    • Es ist $f(1)=\log_a(1)=0$. Den Punkt $P(1|0)$ haben alle Exponentialfunktionen unabhängig von der Basis gemeinsam, da $a^0=1$ gilt.
    • Wenn du für $x=a$ einsetzt, erhältst du $f(a)=\log_a(a)=1$, da $a^1=a$ ist.

    Diese beiden Funktionswerte hat jede Logarithmusfunktion unabhängig von der Basis $a>0$, $a\neq 0$. Bei den Grenzwerten werden zwei Fälle unterschieden.

    Erster Fall: $f(x)=\log_a(x)$, für $a>1$

    • $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=$„$-\infty$“ sowie
    • $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=$„$\infty$“.

    Zweiter Fall: $g(x)=\log_a(x)$, für $0<a<1$

    • $\lim\limits_{x\to 0}g(x)=$„$\infty$“ sowie
    • $\lim\limits_{x\to \infty}g(x)=$„$-\infty$“.

    Hier siehst die Funktionsgraphen zu $f(x)=\log_2(x)$ (grün) und den zu $g(x)=\log_{0,5}(x)$ (rot).

    999_log_2.jpg

    Beispiel

    Wir untersuchen folgende Funktion:

    $f(x)=\log_{1,2}(x)-17,65$

    Dabei steht $x$ für die Anzahl von Menschen, die eine Neuigkeit erfahren haben, und $f(x)$ für die Zeit in Tagen, zu der diese Neuigkeit so viele Menschen erreicht hat.

    • Willst du wissen, nach wie vielen Tagen $100$ Menschen die Neuigkeit kennen, setzt du $x=100$ in die Funktionsgleichung ein:

    $\quad~~~f(100)=\log_{1,2}(100)-17,65\approx 7,6$

    • Nach etwas mehr als siebeneinhalb Tagen kennen $100$ Menschen die Neuigkeit.
    • Möchtest du wissen, wie viele Menschen die Neuigkeit am Anfang, also $f(x)=0$, kennen, musst du eine Gleichung lösen:

    $\quad~~~\begin{array}{rclll}0&=&\log_{1,2}(x)-17,65&|&+17,65\\ 17,65&=&\log_{1,2}(x)&|&1,2^{(~~~)}\\ 1,2^{17,65}&=&x\\ 25&\approx&x \end{array}$

    • Zu Beginn kennen $25$ Menschen die Neuigkeit.
    • Übrigens: Die zugehörige Exponentialfunktion lautet wie folgt:

    $\quad~~~g(x)=25\cdot 1,2^x$

    Einfluss der Basis auf den Funktionsgraphen

    Bei der Exponentialfunktion $g(x)=a^x$ kannst du feststellen, dass diese umso steiler verläuft, je größer die Basis $a$ ist. Umgekehrt verläuft die entsprechende Logarithmusfunktion flacher.

    Die natürliche Logarithmusfunktion

    Die natürliche Logarithmusfunktion $f(x)=\ln(x)$ ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion $g(x)=e^x$.

    Auch bei der natürlichen Logarithmusfunktion ist der Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+$ und der Wertebereich $\mathbb{W}_f=\mathbb{R}$.

    Beispiel

    Wir schauen uns folgende Funktion an:

    $\quad~~~f(x)=3\ln(x-1)-2$

    Wir untersuchen erst einmal, für welche Argumente $x$ die Funktion überhaupt definiert ist. Es muss $x-1>0$ gelten, also $x>1$. Damit ist $\mathbb{D}_f=\{x\in\mathbb{R}:x>1\}$.

    Du kannst den Funktionsgraphen zeichnen, indem du eine Wertetabelle erstellst:

    999_Wertetabelle.jpg

    Den zugehörigen Funktionsgraphen kannst du hier sehen.

    999_3ln(x-1)-2.jpg

    Nun kannst du dich auch fragen, für welches $x$ der Funktionswert $f(x)=19$ angenommen wird. Dies führt zu einer Gleichung $19=3\ln(x-1)-2$, deren Lösung du hier siehst:

    $\quad~~~\begin{array}{rclll} 19&=&3\ln(x-1)-2&|&+2\\ 21&=&3\ln(x-1)&|&:3\\ 7&=&\ln(x-1)&|&e^{(~~~)}\\ e^7&=&x-1&|&+1\\ e^7+1&=&x\\ 1097,6&\approx&x \end{array}$

    Bei den allgemeinen Logarithmusfunktionen ist bereits das Grenzwertverhalten erklärt worden. An diesem Beispiel kannst du erkennen, dass die Logarithmusfunktion „sehr langsam“ gegen $\infty$ geht.

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