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Exponentialfunktion – Funktionsgleichung bestimmen

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Team Digital
Exponentialfunktion – Funktionsgleichung bestimmen
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Exponentialfunktion – Funktionsgleichung bestimmen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Funktionsgleichung einfacher Exponentialfunktionen anhand gegebener Punkte aufzustellen.

Zunächst lernst du, warum man für einige Exponentialfunktionen nur einen einzigen Punkt braucht, um die Funktionsgleichung eindeutig bestimmen zu können. Anschließend schauen wir uns einige Bespielaufgaben gemeinsam an. Abschließend erfährst du, wie du Funktionsgleichungen von Exponentialfunktionen mit Streckfaktor aufstellen kannst.

Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen bestimmen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Exponentialfunktion, Basis, Vorfaktor (Streckfaktor), Potenz, Exponent, Wurzel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Grundlagen zu Exponentialfunktionen kennen und sicher mit Gleichungsumformungen und Potenzgesetze umgehen können Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur Bestimmung von Funktionsgleichungen (zum Beispiel bei linearen Funktionen) haben.

Transkript Exponentialfunktion – Funktionsgleichung bestimmen

Kennst du das, wenn du total Hunger hast, aber der Kühlschrank leer ist? Alles was noch übrig ist, ist eine Packung Eier. Hm, ob man mit einer einzigen Zutat überhaupt irgendwas kochen kann, das satt macht? Und kann man eigentlich aus einem einzigen Punkt die Gleichung einer Funktion bestimmen? „Bei Exponentialfunktionen geht das! Wie? Das schauen wir uns einmal genauer an.“ Normalerweise braucht man zum Beispiel bei linearen Funktionen zwei Punkte, um den Anstieg zu ermitteln. Bei Parabeln braucht man sogar drei Punkte, um die Funktionsgleichung eindeutig zu bestimmen. Und bei Exponentialfunktionen reicht plötzlich nur ein Punkt? Das würde bedeuten, dass keine andere Exponentialfunktion durch diesen Punkt geht und die Funktion dadurch eindeutig zugeordnet werden kann. Und tatsächlich. Die Exponentialfunktionen der Form „a hoch x“ fächern sich alle so auf, dass sie einander nirgendwo schneiden, mit Ausnahme eines einzigen Punktes: Alle Exponentialfunktionen dieser Form gehen durch den Punkt P „null, eins“. Ist die Basis a größer als eins, verlaufen die Exponentialfunktionen streng monoton steigend. Ist a dagegen kleiner als eins, ist der Verlauf streng monoton fallend. Na dann schauen wir mal, wie die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion lautet, auf der der Punkt „eins, zwei“ liegt. Was wir schon einmal sagen können, ist, dass die Basis größer als eins sein muss. Dann setzen wir den x-Wert und den y-Wert in die Funktionsgleichung ein. Die Basis der Exponentialfunktion ist also zwei. Der Punkt liegt somit auf der Exponentialfunktion „zwei hoch x“. Wenn wir Kommazahlen als Koordinaten haben, gehen wir genauso vor. Wir setzen erst einmal die Koordinaten ein. Anschließend müssen wir beide Seiten hoch Ein-Drittel nehmen, was ja gleichbedeutend mit dem Ziehen der dritten Wurzel ist. So können wir den Parameter a berechnen, und wissen, dass der Punkt P auf der Exponentialfunktion „0,6 hoch x“ liegt. Dass die Basis kleiner als eins sein muss, können wir auch erkennen, wenn wir uns die Exponentialfunktionen noch einmal im Koordinatensystem anschauen. Durch den Punkt P muss eine monoton fallende Funktion verlaufen. Wir können uns also merken: wenn der gegebene Punkt hier oder hier liegt, ist der Funktionsverlauf streng monoton steigend, also muss die Basis a größer als eins sein. Liegt der Punkt jedoch in diesen Bereichen, handelt es sich um eine monoton fallende Exponentialfunktion und die Basis a muss kleiner als eins sein. Haben wir jedoch den Punkt „null, eins“ gegeben, können wir keine Basis bestimmen, weil alle Exponentialfunktionen der Form „a hoch x“ durch diesen Punkt verlaufen. Wenn Exponentialfunktionen auch einen Streckfaktor b haben, müssen zwei Punkte des Graphen gegeben sein, um die Funktionsgleichung eindeutig zu bestimmen. Das heißt, wir müssen hier zwei Gleichungen aufstellen. Für die erste Gleichung erhalten wir zwei, wenn wir für x eins einsetzen. Und bei der zweiten Gleichung erhalten wir 0,25, wenn wir für x vier einsetzen. Nun lösen wir eine der beiden Gleichungen nach b auf - wir nehmen dafür die erste. Wir teilen also durch a hoch eins, dann steht das b isoliert auf der rechten Seite. Damit können wir praktischerweise das Einsetzungsverfahren nutzen und setzen die nach b umgestellte Gleichung für das b in die zweite Gleichung ein. Den Term, den wir dann erhalten, können wir noch umformen. „a hoch vier“ durch „a hoch eins“ sind „a hoch drei“. Dann stellen wir nach a um, rechnen „hoch ein Drittel“, und erhalten „a gleich 0,5“. Jetzt müssen wir noch den Streckfaktor b bestimmen. Dazu setzen wir das Ergebnis für a in die nach b umgestellte Gleichung ein, und erhalten „b gleich vier“. Durch die Punkte P und Q verläuft also die Funktion „vier mal 0,5 hoch x“. Besonders einfach wird es übrigens, wenn wir die Punkte bei „x gleich null“ und „x gleich eins“ gegeben haben. Das sehen wir, wenn wir diese beiden x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Bei der ersten Funktionsgleichung ist „a hoch null“ gleich eins, deshalb ist b gleich fünf. Das heißt, wenn die x-Koordinate null ist, verrät uns die y-Koordinate direkt den Wert für b. In der zweiten Gleichung erhalten wir fünfzehn gleich „b mal a“, somit ist a gleich drei. Wenn also die x-Koordinate eins ist, ist die y-Koordinate das Produkt aus a und b. Mit diesen beiden günstig gelegenen Punkten können wir also ganz schnell die Funktionsgleichung aufstellen. Alles klar, dann bringen wir das Ganze nochmal auf den Punkt. Um die Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen der Form „a hoch x“ zu bestimmen, genügt ein einziger Punkt. Wenn du den Punkt im Koordinatensystem verortest, kannst du auch direkt schon abschätzen, ob die Basis a größer oder kleiner als eins ist. Einzige Ausnahme: Es darf nicht der Punkt „null, eins“ sein. Bei Funktionen der Form „b mal a hoch x“ brauchen wir zwei Punkte. Besonders einfach wird es, wenn es sich dabei um Punkte mit den x-Koordinaten Null und eins handelt. Ist es nicht faszinierend, dass ein einziger Punkt einen kompletten Funktionsverlauf bestimmen kann? Und auch aus einer einzigen Zutat kann man ein köstliches Menü zaubern.

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