Vektoren – Übungen

Hier findest du die Lösungen zu den Quizfragen:

• Der längste Vektor ist der Vektor $\vec{i}$.
  Von allen dargestellten Vektoren erkennen wir, dass die Länge des Pfeils für die Länge des Vektors steht und alle Vektoren ungefähr gleich lang sind. Der Vektor $\vec{i}$ unterscheidet sich von allen anderen und ist der längste Vektor.

• $\vec{a}$ und $\vec{c}$ sind identisch.
  Vektoren haben eine Länge und eine Richtung, die durch einen Pfeil symbolisiert wird. Dabei ist es nicht wichtig, von welchem Punkt die Vektoren ausgehen. Da wir die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ übereinanderlegen könnten, haben sie auch die gleiche Länge und Richtung. Sie sind somit identisch.

• $\vec{e}$ ist der Gegenvektor von $\vec{a}$.
  Ein Gegenvektor zu einem anderen Vektor besitzt die gleiche Länge wie dieser Vektor, aber die entgegengesetzte Richtung. Der Vektor $\vec{e}$ erfüllt das für den Vektor $\vec{a}$.

• $\vec{g}$ und $\vec{i}$ sind parallel, aber nicht gleich.
  Die beiden Vektoren $\vec{g}$ und $\vec{i}$ zeigen in die gleiche Richtung und sind somit parallel. Sie haben aber nicht die gleiche Länge, sodass sie nicht identisch sind.

• $\vec{a}$, $\vec{c}$ und $\vec{e}$ sind parallel.
  Die drei Vektoren haben alle die gleiche Länge, aber der Vektor $\vec{e}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$. Da die Richtung sich nicht komplett unterscheidet, sondern nur umgedreht ist, sehen wir trotzdem, dass die Pfeile parallel zueinander sind.

Rechenweg:
Die beiden Vektoren werden komponentenweise addiert:
$$ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3+(-1) \\ -2+4 \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}}} $$

Rechenweg:
Die beiden Vektoren werden komponentenweise subtrahiert:

$$ \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5-(-2) \\ -3-6 \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} 7 \\ -9 \end{pmatrix}}}$$

Rechenweg:
Jede Komponente wird mit dem Skalar $-3$ multipliziert:
$$ -3\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -3\cdot2 \\ -3\cdot5 \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} -6 \\ -15 \end{pmatrix}}}$$

Rechenweg:
So wie du es gewohnt bist, gilt auch bei der Vektorrechnung „Punkt vor Strich“, d. h., die skalare Multiplikation wird vor der Addition/Subtraktion durchgeführt. Zuerst skalieren wir die Vektoren:
$$ 3\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix} \qquad -2\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -6 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Nun addieren wir die Ergebnisse:
$$ \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -6 \\ -4 \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \end{pmatrix}}}$$

Rechenweg:
Zuerst wird die skalare Multiplikation durchgeführt (die Multiplikation mit Brüchen entspricht hierbei gewissermaßen der „Division“ durch den Kehrwert):

$$ \dfrac12\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad 4\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -12 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Danach addieren wir die beiden Resultate:
$$ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -12 \\ 4 \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} -9 \\ 2 \end{pmatrix}}}$$

Rechenweg:
Auch bei der Addition von Vektoren mit drei Komponenten werden diese komponentenweise addiert:

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1+4 \\ -2+0 \\ 3+(-1) \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}}} $$

Rechenweg:
Die beiden Vektoren werden komponentenweise subtrahiert:

$$ \begin{pmatrix} 7-5 \\ -3-1 \\ 2-(-4) \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}}}$$

Rechenweg:
Jede Komponente wird mit $-2$ multipliziert:

$$ -2\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} 2 \\ -10 \\ -6 \end{pmatrix}}}$$

Rechenweg:
Zuerst wird die skalare Multiplikation durchgeführt:

$$ 2\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Nun addieren wir:
$$ \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}}}$$

Rechenweg:
Zuerst berechnen wir jeweils die skalare Multiplikation:

$$-1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad 3\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix} \qquad -\dfrac12\cdot\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$$

Anschließend addieren wir alle Beträge:
$$ \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+0+3 \\ 3+12-1 \\ -1-6-4 \end{pmatrix} =\underline{\underline{\begin{pmatrix} 1 \\ 14 \\ -11 \end{pmatrix}}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst:

$$ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \end{pmatrix}=(-7)^2+2^2=49+4=53 $$

Nun ziehen wir die Wurzel:
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \end{pmatrix}}=\sqrt{(-7)^2+2^2} =\sqrt{53} $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{\sqrt{53}}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst. Wir gucken uns also das Skalarprodukt mit sich selbst an:

$$ \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}=5^2+5^2=25+25=50 $$

Nun ziehen wir die Wurzel:
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}}=\sqrt{50} $$

Hier können wir ggf. noch teilweise die Wurzel ziehen:

$$ \sqrt{50}=\sqrt{2\cdot25}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{25}=5\cdot\sqrt{2} $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{5\sqrt{2}}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst. Wir gucken uns also das Skalarprodukt mit sich selbst an:

$$ \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}=(-3)^2+(-6)^2=9+36=45 $$

Nun ziehen wir die Wurzel (das Ergebnis kann hier durch teilweises Wurzelziehen noch etwas vereinfacht werden):
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5} $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{3\sqrt{5}}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst. Wir gucken uns also das Skalarprodukt mit sich selbst an:

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ -9 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \end{pmatrix}=0^2+(-9)^2=81 $$

Nun ziehen wir die Wurzel:
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \end{pmatrix}}=\sqrt{81} = 9 $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{9}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst. Wir gucken uns also das Skalarprodukt mit sich selbst an:

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}=2^2+(-4)^2+4^2=4+16+16=36 $$

Nun ziehen wir die Wurzel:
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}}=\sqrt{36} = 6 $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{6}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst. Wir gucken uns also das Skalarprodukt mit sich selbst an:

$$ \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}=(-1)^2+3^2+(-5)^2=1+9+25=35 $$

Nun ziehen wir die Wurzel:
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}}=\sqrt{35} $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{\sqrt{35}}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst. Wir gucken uns also das Skalarprodukt mit sich selbst an:

$$ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=6^2+0^2+(-8)^2=36+0+64=100 $$

Nun ziehen wir die Wurzel:
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}}=\sqrt{100} = 10 $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{10}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst. Wir gucken uns also das Skalarprodukt mit sich selbst an:

$$ \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}=(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2=4+4+1=9 $$

Nun ziehen wir die Wurzel:
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}}=\sqrt{9} = 3 $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{3}}$$

Rechenweg:
Die Länge eines Vektors erhalten wir über die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst. Wir gucken uns also das Skalarprodukt mit sich selbst an:

$$ \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}=3^2+(-6)^2+3^2=9+36+9=54 $$

Nun ziehen wir die Wurzel. Das Ergebnis kann hier durch teilweises Wurzelziehen noch etwas vereinfacht werden:
$$ \left\lvert\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}}=\sqrt{54}=3\sqrt{6} $$

Lösung:
$$\left\lvert\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\right\rvert = \underline{\underline{3\sqrt{6}}}$$

Rechenweg:
Berechne die Verbindungsvektoren zwischen den Eckpunkten und berechne die Länge dieser Vektoren. Die Verbindungsvektoren lassen sich über die Ortsvektoren bestimmen:

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}4\\6\\3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}5\\2\\7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\6\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ 4\end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\2\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\0\\ -4 \end{pmatrix} $$

Die Längen dieser Vektoren lässt sich dann über den Betrag ausrechnen:

$$ \overline{AB} = \bigl|\overrightarrow{AB}\bigr| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \underline{\underline{5}} $$

$$ \overline{BC} = \bigl|\overrightarrow{BC}\bigr| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 4^2} = \underline{\underline{\sqrt{33}}}$$

$$ \overline{CA}= \bigl|\overrightarrow{CA}\bigr| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \underline{\underline{4\sqrt{2}}} $$

Lösung:
$$ \overline{AB} = 5 \qquad \overline{BC} = \sqrt{33} \qquad \overline{CA} = 4\sqrt{2} $$

Rechenweg:
Um zu überprüfen, ob die Punkte kollinear sind, müssen wir gucken, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Dazu stellen wir zunächst die Verbindungsvektoren zum Punkt $P$ auf:

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} $$
$$ \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix} $$

Wenn diese beiden Verbindungsvektoren parallel zueinander sind, dann wissen wir, dass alle drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Wir erkennen: $$ \overrightarrow{PR} = 2\cdot \overrightarrow{PQ} $$

Die Vektoren gehen durch skalare Multiplikation auseinander hervor (es gibt ein Skalar, sodass die Gleichung $\overrightarrow{PQ}\cdot a=\overrightarrow{PR}$ erfüllt ist, nämlich $a=2$). Das heißt, dass sie parallel sind.

Lösung:
Da $\overrightarrow{PR} = 2 \cdot \overrightarrow{PQ}$ gilt, liegen $P,Q,R$ auf einer Geraden – sie sind kollinear.

Rechenweg:
Für ein Parallelogramm gilt, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sein müssen. Das bedeutet, dass wir folgende Gleichungen aufstellen können: $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \qquad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $$
Wir nutzen die Gleichung $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Es gilt: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$.

$$\begin{array}{rrcl} & \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} &=& \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \\ &&& \\ \Leftrightarrow & \overrightarrow{OD} & =& \overrightarrow{OA} + \left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \right) \\ &&& \\ \Leftrightarrow & \overrightarrow{OD} &=& \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\right) \\ &&& \\ \Leftrightarrow& \overrightarrow{OD} & = & \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix} \\ &&& \\ \Leftrightarrow& \overrightarrow{OD}& = &\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix} \end{array} $$

Antwort
Wir haben den Ortsvektor zum Eckpunkt $D$ bestimmt, die gesuchten Koordinaten sind: $$ D(2|4|0) $$