Skalare Multiplikation – Vielfache von Vektoren

Skalare Multiplikation – Vielfache von Vektoren Übung

• Berechne die skalaren Multiplikationsaufgaben.

  Tipps

  Bei der skalaren Multiplikation multiplizieren wir einen Vektor mit einem Skalar $r$, indem wir jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar multiplizieren:

  $r \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot a \\ r \cdot b \end{pmatrix}$

  Achte auf die richtigen Vorzeichen.

  Lösung

  Durch die skalare Multiplikation wird die Länge des Vektors verändert. Beispielsweise ist beim Verdoppeln eines Vektors der neue Vektor zweimal so lang.

  Konkret multiplizieren wir einen Vektor mit einem Skalar, also einer Zahl, indem wir jede Vektorkoordinate mit der Zahl multiplizieren:
  $r \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot a \\ r \cdot b \end{pmatrix}$

  Somit ergibt sich für die gegebenen skalaren Multiplikationen:

  1) $\quad 0,\!5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,\!5 \cdot 2 \\ 0,\!5 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

  2)$\quad 4 \cdot \begin{pmatrix} 0,\!25 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 0,\!25 \\ 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$

  3)$\quad -1\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -0,\!5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 2 \\ -1 \cdot (-0,\!5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0,\!5 \end{pmatrix}$

  4)$\quad -\dfrac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} \cdot 4 \\ -\frac{1}{4} \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0,\!5 \end{pmatrix}$

  5)$\quad 2\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0,\!5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 0,\!5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

• Beschreibe die skalare Multiplikation von Vektoren.

  Tipps

  Beispiel:

  $1,\!5 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9\\ -3 \end{pmatrix}$

  Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag größer als $1$ ist, so verlängert sich der Vektor.

  Lösung

  Ein Vektor wird durch einen Pfeil dargestellt, der durch seine Länge und Richtung eindeutig bestimmt ist.

  Durch die skalare Multiplikation wird die Länge des Vektors verändert. Beispielsweise ist beim Verdoppeln eines Vektors der neue Vektor zweimal so lang.

  Allgemein gilt:

  • Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag größer als $1$ ist, so verlängert sich der Vektor (Streckung).
  • Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag kleiner als $1$ ist, so verkürzt sich der Vektor (Stauchung).
  • Multiplizieren wir mit einer negativen Zahl, so kehrt sich die Richtung des Vektors um.

  Konkret multiplizieren wir einen Vektor mit einem Skalar, also einer Zahl, indem wir jede Vektorkoordinate mit der Zahl multiplizieren.

  Beispiel:

  Wir multiplizieren den Vektor $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}$ mit der Zahl $0,\!5$. Wir rechnen:

  $0,\!5 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,\!5 \cdot4 \\ 0,\!5 \cdot6 \\ 0,\!5 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ -1 \end{pmatrix}$

  Der Vektor wurde dadurch verkürzt und seine Richtung wurde beibehalten.

• Bestimme den Faktor der skalaren Multiplikation.

  Tipps

  Du kannst den Faktor bestimmen, indem du die eine Vektorkoordinate des Ergebnisses durch eine Vektorkoordinate des vorderen Vektors teilst.

  $5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 20\\ 15 \end{pmatrix}$, weil $5:1=5$ und $20:4=5$ und $15:3=5$

  Lösung

  Wir multiplizieren einen Vektor mit einem Skalar, also einer Zahl, indem wir jede Vektorkoordinate mit der Zahl multiplizieren. Wir können also andersherum den Faktor bestimmen, indem wir die eine Vektorkoordinate des Ergebnisses durch eine Vektorkoordinate des vorderen Vektors teilen.

  Somit ergibt sich:

  • $2:1=2$ und $6:3=2$ und $-4:(-2)=2$

  $\quad \Rightarrow \quad \color{#669900}{2} \color{black}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ -4 \end{pmatrix}$

  • $6:(-2)=-3$ und $-12:4=-3$ und $-1,\!5:0,\!5=-3$

  $\quad \Rightarrow \quad \color{#669900}{-3} \color{black}\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4\\ 0,\!5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 \\ -12\\ -1,\!5 \end{pmatrix}$

  • $1:5=0,\!2$ und $-2:(-10)=0,\!2$

  $\quad \Rightarrow \quad \color{#669900}{0,\!2} \color{black}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -10\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0 \end{pmatrix}$

  • $-1:2=-0,\!5$ und $-2:4=-0,\!5$

  $\quad \Rightarrow \quad \color{#669900}{-0,\!5} \color{black}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ -2 \end{pmatrix}$

• Entscheide, welche Vektoren parallel sind.

  Tipps

  Zwei Vektoren sind genau dann parallel, wenn sie skalare Vielfache voneinander sind.

  Beispiel:

  $\begin{pmatrix} 5 \\ 3\\ 1\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \begin{pmatrix} 15 \\ 9\\ 3\end{pmatrix}$, da $\begin{pmatrix} 5 \\ 3\\ 1\end{pmatrix} \cdot 3 = \begin{pmatrix} 15 \\ 9\\ 3\end{pmatrix}$.

  Lösung

  Vektoren sind durch ihre Länge und Richtung definiert. Vektoren sind nicht ortsgebunden. Zwei Vektoren sind genau dann parallel ($\uparrow \uparrow$ oder $\uparrow \downarrow$), wenn sie skalare Vielfache voneinander sind. Wir unterscheiden zwischen $\uparrow \uparrow$ und $\uparrow \downarrow$, je nach dem, ob die beiden Vektoren in die gleiche Richtung zeigen oder nicht.

  Wir müssen also für jeden Vektor prüfen, von welchem gegebenen Vektor er ein Vielfaches ist. Somit ergibt sich:

  $\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -2\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \cdot 0,\!5 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -2\end{pmatrix}$.

  $\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ -6\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \cdot \frac{3}{2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ -6\end{pmatrix}$.

  $\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} 0,\!5 \\ 0\\ -1\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \cdot 0,\!25 = \begin{pmatrix} 0,\!5 \\ 0\\ -1\end{pmatrix}$.

  
  

  $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{violet}{\begin{pmatrix} -2 \\ 0\\ 6\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 0\\ 6\end{pmatrix}$.

  $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{violet}{\begin{pmatrix} -3 \\ 0\\ 9\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \cdot 3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0\\ 9\end{pmatrix}$.

  
  

  $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} \uparrow \downarrow \color{gold}{\begin{pmatrix} -1,\!5 \\ -1\\ -0,\!5\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} \cdot (-0,\!5) = \begin{pmatrix} -1,\!5 \\ -1\\ -0,\!5\end{pmatrix}$.

  $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{gold}{\begin{pmatrix} 4,\!5 \\ 3\\ 1,\!5\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} \cdot 1,\!5 = \begin{pmatrix} 4,\!5 \\ 3\\ 1,\!5\end{pmatrix}$.

  
  

  Die Vektoren $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 4\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1\end{pmatrix}$ sind zu keinem der gegebenen Vektoren parallel.

• Gib an, wie die Multiplikation mit einem Skalar den Vektor $\vec{v}$ verändert.

  Tipps

  Multiplizieren wir einen Vektor mit einer negativen Zahl, so kehrt sich die Richtung des Vektors um.

  Hier siehst du verschiedene skalare Multiplikationen des Vektors $\vec{v}$:

  Lösung

  Ein Vektor wird durch Länge und Richtung charakterisiert.

  Durch die skalare Multiplikation wird die Länge des Vektors verändert. Beispielsweise ist beim Verdoppeln eines Vektors der neue Vektor zweimal so lang.

  Allgemein gilt:

  • Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag größer als $1$ ist, so verlängert sich der Vektor (Streckung).
  • Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag kleiner als $1$ ist, so verkürzt sich der Vektor (Stauchung).
  • Multiplizieren wir mit einer negativen Zahl, so kehrt sich die Richtung des Vektors um.

  $\quad$

  Für die gegebenen Multiplikationen ergibt sich also:

  • $1,\!4 \cdot \vec{v}$

  Der Faktor ist positiv und größer als $1$.
  $\Rightarrow$ Streckung (Verlängerung) des Vektors ohne Änderung der Richtung

  • $-\dfrac{2}{3} \cdot \vec{v}$

  Der Faktor ist negativ und sein Betrag ist kleiner als $1$.
  $\Rightarrow$ Umkehrung und Stauchung (Verkürzung) des Vektors

  • $-2 \cdot \vec{v}$

  Der Faktor ist negativ und sein Betrag ist größer als $1$.
  $\Rightarrow$ Umkehrung und Streckung (Verlängerung) des Vektors

  • $0,\!2 \cdot \vec{v}$

  Der Faktor ist positiv und kleiner als $1$.
  $\Rightarrow$ Stauchung (Verkürzung) des Vektors ohne Änderung der Richtung

• Überprüfe die Multiplikationsaufgaben mit Vektoren.

  Tipps

  Der Nullvektor lautet $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$.

  Überprüfe, ob alle Vektorkoordinaten richtig multipliziert wurden.

  Lösung

  Bei der skalaren Multiplikation multiplizieren wir einen Vektor mit einer Zahl, indem wir jede Vektorkoordinate mit dieser Zahl multiplizieren. Bei der Multiplikation mit Null entsteht der Nullvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$.

  Wir überprüfen damit die Rechnungen:

  • $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot (-1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

  Falsch! – Wir müssen jede Vektorkoordinate mit der Zahl $-1$ multiplizieren und erhalten:
  $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot (-1) = \begin{pmatrix} -1 \\ -1\\ -1\end{pmatrix}$

  
  

  • $0 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} \cdot (-1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

  Richtig! – Wir können die beiden Skalare zusammenfassen und erkennen:
  $0 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} \cdot (-1) = 0 \cdot (-1) \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

  
  

  • $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

  Falsch! – Bei der Multiplikation zweier Vektoren, dem sogenannten Skalarprodukt, ist das Ergebnis eine Zahl:
  $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$

  
  

  • $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \cdot 3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

  Richtig! – Wenn wir jede Vektorkoordinate, also jeweils die $0$ mit $3$ multiplizieren, erhalten wir $0 \cdot 3=0$, insgesamt also wieder den Nullvektor.

  
  

  • $0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 3\end{pmatrix}$

  Falsch! – Hier wurde nur die erste Vektorkoordinate multipliziert. Korrekt lautet die Rechnung:
  $0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$