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Team Digital
Addition und Subtraktion von Vektoren
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Addition und Subtraktion von Vektoren

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Vektoren zu addieren und zu subtrahieren.

Zunächst lernst du, wie du Vektoren addieren kannst.

Addition von Vektoren

Anschließend erfährst du, wie du Vektoren subtrahieren kannst.

Subtraktion von Vektoren

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Vektoren, Vektorkoordinaten, Vektoraddition und Vektorsubtraktion.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Vektoren kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Koordinatensystemen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man Vielfache von Vektoren bildet.

Transkript Addition und Subtraktion von Vektoren

Erinnerst du dich, wie du im Kindergarten oder der Grundschule das Addieren und Subtrahieren gelernt hast? Heute ist das alles Kinderkram für dich. Dass die "Addition und die Subtraktion von Vektoren" auch echt easy ist, zeigen wir dir in diesem Video. Vektoren kennst du ja schon. Sie lassen sich durch Pfeile darstellen. Diese Pfeile sind durch ihre Länge und ihre Richtung gekennzeichnet. Aber sie sind frei beweglich im Raum, denn sie sind "nicht ortsgebunden". Egal, wohin wir den Pfeil verschieben, er stellt weiterhin den gleichen Vektor dar. Die Koordinaten von Vektoren schreibt man üblicherweise untereinander. So, diese beiden Gesellen hier wollen wir nun ADDIEREN. Vektor a verläuft nach oben und dann nach rechts, Vektor b verläuft auch nach rechts, aber nach unten. Auf den ersten Blick kann man sich jetzt nicht wirklich denken, wie man hier was addieren soll. Was uns da hilft, ist die eben genannte Eigenschaft von Vektoren: Sie sind nicht ortsgebunden. Wir können also den Vektor b nehmen und ihn oben an die Pfeilspitze von a anlegen. Jetzt zeichnen wir einen neuen Vektor ein, der im Startpunkt des ersten Vektors beginnt und an der Pfeilspitze des ZWEITEN Vektors endet. Dieser neue Vektor ist die Summe von Vektor a und Vektor b. Aber warum ist genau DAS die Summe der beiden Vektoren? Warum funktioniert es zum Beispiel SO nicht? Du kannst dir vorstellen, dass jeder Vektor eine BEWEGUNG mit einer bestimmten Länge und Richtung ist. Und der neue Summenvektor ist dabei der kürzeste Weg, um von A nach B zu kommen. Schauen wir uns das nochmal im Koordinatensystem genauer an: Wenn man nun also den ERSTEN Vektor entlangläuft, und dann so läuft, wie es die Länge und die Richtung des ZWEITEN Vektors anzeigen, landet man genau dort, wo auch unser Summenvektor hinzeigt. Das passt also prima! Der Summenvektor stellt dabei sozusagen den direkten Weg dar. Das ganze folgt dem gleichen Prinzip wie damals, als wir in der Grundschule Zahlen am Zahlenstrahl addiert haben. Wenn wir uns zum Beispiel vorstellen wollten, was "drei plus vier" bedeutet, sind wir von der Null aus drei Schritte nach rechts gegangen und anschließend noch vier dazu. Wir kommen am gleichen Punkt an, wie wenn wir direkt sieben Schritte gegangen wären. So einfach ist es! Dieses Verfahren wenden wir nun auf die Koordinaten von Vektoren an. Und warum das so einfach geht, sehen wir jetzt. Unser Vektor a hat die Koordinaten "eins, drei", Vektor b hat die Koordinaten "zwei, minus eins" Wenn wir nun Vektor b an die Spitze von Vektor a setzen, und vom Startpunkt zum Endpunkt wandern wollen, können wir den Weg in vier Abschnitte einteilen. Zuerst gehen wir eine Einheit nach rechts, dann drei Einheiten nach oben, dann zwei Einheiten nach rechts und eine Einheit wieder nach unten. Jetzt bringen wir die Schritte noch in eine andere Reihenfolge und laufen zuerst alle Einheiten nach rechts, also drei Einheiten insgesamt, und anschließend in die vertikale Richtung, zuerst drei nach oben und dann wieder eine nach unten. Der neue Vektor hat jetzt also die Koordinaten "eins plus zwei" und "drei minus eins", also "drei, zwei". Und wie dieser aussieht, haben wir haben ja schonmal gesehen. Genauso können wir auch drei oder noch mehr Vektoren addieren, indem wir den Anfangspunkt immer an die Spitze des vorhergehenden Pfeils anlegen. Der Summenvektor reicht dann vom Anfang des ersten bis zur Spitze des letzten Pfeils der Kette. Allgemein können wir festhalten, dass wir Vektoren addieren, indem wir ihre Koordinaten ZEILENWEISE addieren. So erhalten wir einen neuen Vektor. Selbst wenn wir Vektoren betrachten, die im dreidimensionalen Raum aufgespannt sind, können wir ihre Koordinaten einfach einzeln addieren. Dabei ist es übrigens egal, in welcher Reihenfolge wir die beiden Vektoren addieren. " Vektor a plus Vektor b" ergibt das gleiche wie " Vektor b plus Vektor a". Bei der SUBTRAKTION sieht es dagegen ganz anders aus. Natürlich ist "fünf minus drei" nicht das Gleiche wie "drei minus fünf". Und das überträgt sich auch auf die Vektorrechnung. Nehmen wir wieder unsere liebgewonnenen Vektoren a und b. Diesmal wollen wir "a MINUS b" berechnen. Das können wir umformen in "a plus minus b". Geometrisch bedeutet das, dass wir zum Vektor a nun den GEGENvektor von b addieren. Also einmal den Vektorpfeil von b umkehren und an die Spitze des Vektorpfeils von a anlegen. Nun können wir wie eben den neuen Vektor einzeichnen, der sich aus dieser Addition ergeben hat. Da der Vektor b und sein Gegenvektor parallel zueinander liegen, können wir den neu entstandenen Vektor nun parallelverschieben und erkennen, dass er von der Pfeilspitze von b zur Pfeilspitze von a verläuft. Also quasi vom Subtrahenden zum Minuenden. Rein rechnerisch ist die Subtraktion AUCH kein Problem: Wir müssen einfach nur die Vektorkoordinaten zeilenweise subtrahieren. Wofür das alles gut ist? Es gibt vor allem in der Physik praktische Anwendungsbezüge. Mit Vektoren kann man gerichtete Größen wie zum Beispiel Kräfte oder Geschwindigkeiten darstellen. Mit der Vektoraddition können wir beispielsweise ermitteln, in welche Richtung sich Fahrzeuge bewegen, wenn sich verschiedene Antriebskräfte überlagern. So, jetzt fassen wir das Ganze nochmal kurz zusammen. Vektoren werden GRAPHISCH addiert, indem man die einzelnen Vektorpfeile wie eine Kette aneinanderreiht. Der resultierende Summenvektor reicht dann vom Anfangspunkt bis zur letzten Pfeilspitze der Kette. Wenn man Vektoren ANALYTISCH, also rechnerisch, addieren will, muss man die Koordinaten zeilenweise addieren. Auch bei der Subtraktion werden die Koordinaten ZEILENWEISE subtrahiert. Allerdings verläuft der Differenzvektor von der Pfeilspitze des Subtrahenden zur Pfeilspitze des Minuenden. Die VektorADDITION wird vor allem in der Physik gebraucht, da Kräfte und viele weitere Größen sich vektoriell verhalten. Und mit ein bisschen Übung beherrschst du diese neue Art des Addierens und Subtrahierens auch ganz schnell!

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Addition und Subtraktion von Vektoren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Addition und Subtraktion von Vektoren kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie Vektoren addiert und subtrahiert werden.

    Tipps

    Vektoren sind nicht ortsgebunden. Du kannst sie daher beliebig verschieben.

    Der Gegenvektor wird rechnerisch durch Umkehr der Vorzeichen gebildet:

    Der Gegenvektor von $\vec{v}$ ist $-\vec{v}$.

    Lösung

    Vektoren lassen sich durch Pfeile darstellen. Diese sind durch ihre Länge und ihre Richtung gekennzeichnet. Sie sind jedoch nicht ortsgebunden im Raum. Wir können sie daher auch verschieben.

    Wir betrachten die Addition der beiden Vektoren $\vec{a} + \vec{b}$:
    Um den Vektor $\vec{b}$ zum Vektor $\vec{a}$ zu addieren, legen wir den Vektor $\color{#669900}{\mathbf{\vec{b}}}$ an die Pfeilspitze von $\color{#669900}{\mathbf{\vec{a}}}$ an. Wir zeichnen dann einen neuen Pfeil ein, der im Startpunkt von $\vec{a}$ beginnt und an der Pfeilspitze von $\vec{b}$ endet. Dieser neue Vektor ist die Summe $\vec{a} + \vec{b}$.

    Wir betrachten die Subtraktion der beiden Vektoren $\vec{a} - \vec{b}$:
    Dies entspricht der Addition $\vec{a} + (- \vec{b})$. Anschaulich bedeutet dies, dass wir den Vektorpfeil $\vec{b}$ umkehren müssen.
    Um den Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ zu subtrahieren, legen wir daher den Gegenvektor von $\color{#669900}{\mathbf{\vec{b}}}$ an die Pfeilspitze von $\color{#669900}{\mathbf{\vec{a}}}$ an. Wir zeichnen dann wieder einen neuen Pfeil ein, der im Startpunkt von $\color{#669900}{\mathbf{\vec{a}}}$ beginnt und in der Pfeilspitze des Gegenvektors endet. Dieser neue Vektor ist die Differenz $\vec{a} - \vec{b}$.

  • Bestimme das Ergebnis der Rechnung.

    Tipps

    Um Vektoren rechnerisch zu addieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren.

    Achte auf negative Vorzeichen und setze gegebenenfalls zuerst Klammern: $-4-(-1) = -4+1 = -3$

    Lösung

    Zeichnerisch können wir Vektorpfeile addieren, indem wir den Startpunkt des einen Pfeils an die Pfeilspitze des anderen Pfeils zeichnen. Der Pfeil des Summenvektors verläuft dann von Startpunkt des ersten Pfeils direkt zur Spitze des zweiten Pfeils.
    Um Vektoren rechnerisch zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren bzw. subtrahieren.


    Bei den gegebenen Aufgaben rechnen wir wie folgt:

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+({-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

    $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 \\ ({-2})+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$

    $\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ({-5})+0 \\ 3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix}$

    $\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-4 \\ ({-4})-({-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

  • Formuliere die dargestellte Rechenoperation.

    Tipps

    Achte auf die Richtung der Vektoren.

    Lösung

    Wir können Vektorpfeile durch Aneinandersetzen grafisch addieren und subtrahieren:

    Addition: $\vec{a} + \vec{b}$:
    Um den Vektor $\vec{b}$ zum Vektor $\vec{a}$ zu addieren, legen wir den Vektor $\vec{b}$ an die Pfeilspitze von $\vec{a}$ an. Wir zeichnen dann den Summenvektor von $\vec{a}$ beginnend und in der Pfeilspitze von $\vec{b}$ endend.

    Subtraktion: $\vec{a} - \vec{b}$:
    Wir legen den Gegenvektor $-\vec{b}$ an die Pfeilspitze von $\vec{a}$ an. Wir zeichnen den Differenzvektor im Startpunkt von $\vec{a}$ beginnend und an der Pfeilspitze von $-\vec{b}$ endend. Alternativ können wir den Differenzvektor auch von der Pfeilspitze von $\vec{b}$ zur Pfeilspitze von $\vec{a}$ zeichnen, wenn beide Vektoren im gleichen Punkt starten.

    Wir betrachten nun unsere Abbildungen:

    erste Abbildung:
    Der Vektor $\vec{v}$ wurde an den Vektor $\vec{u}$ angesetzt:
    $\vec{u} + \vec{v}$

    zweite Abbildung:
    Der Vektor $\vec{u}$ wurde an den Vektor $\vec{w}$ angesetzt:
    $\vec{w} + \vec{u}$

    dritte Abbildung:
    Der Vektor $\vec{w}$ wurde an den Vektor $\vec{u}$ angesetzt:
    $\vec{u} + \vec{w}$

    vierte Abbildung:
    Der Vektor $-\vec{v}$ (Gegenvektor von $\vec{v}$) wurde an den Vektor $\vec{u}$ angesetzt:
    $\vec{u} - \vec{v}$

  • Berechne die Additions- und Subtraktionsaufgaben zu Vektoren.

    Tipps

    Beispiel:

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 5+({-4}) \\ 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Um Vektoren rechnerisch zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren bzw. subtrahieren.
    Bei den gegebenen Aufgaben rechnen wir wie folgt:

    $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ({-2})-({-3}) \\ 4-0 \\ ({-3})-({-7}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+({-2})+2 \\ 2+6+({-4}) \\ ({-3})+5+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

    $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -9 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-({-9})+3 \\ ({-2})-4+4 \\ ({-3})-({-5})+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

  • Gib das Ergebnis der Vektoraddition an.

    Tipps

    Beachte die Rechenregeln bei der Addition ganzer Zahlen. Hier siehst du die Regeln an einigen Beispielen:

    $4 + (-3) = 4-3 = 1$
    $4 + (+3) = 4+3 = 7$
    $-4 + (-3) = -4-3 = -7$
    $-4 + (+3) = -4+3 = -1$

    Beispiel:

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+8 \\ 5+({-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Um Vektoren rechnerisch zu addieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren.
    Bei der gegebenen Aufgabe achten wir besonders auf die Vorzeichen:

    $\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + ({-4}) \\ ({-7}) + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ -7+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

  • Überprüfe die Aussagen zur Addition und Subtraktion von Vektoren.

    Tipps

    Die Addition von ganzen Zahlen ist assoziativ, da gilt:

    $a + (b + c) = (a + b) + c \quad$ (Assoziativgesetz)

    Lösung

    Vektoren können wir anschaulich durch das Aneinandersetzen von Vektorpfeilen addieren und subtrahieren. Um Vektoren rechnerisch zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren bzw. subtrahieren.

    Wir betrachten die gegebenen Aussagen:

    Der Summenvektor ist immer länger als die Vektoren der Summanden.
    Falsch! Dies ist nicht immer der Fall. Je nach Richtung der einzelnen Vektoren kann der Summenvektor auch kürzer sein als einer oder beide Summanden. Ein Beispiel siehst du in der Darstellung oben.

    Der Summenvektor beginnt immer im Anfangspunkt des Vektors des ersten Summanden.
    Falsch! Da Vektoren nicht ortsgebunden sind, können sie beliebig im Raum verschoben werden. Dies gilt auch für den Summenvektor.

    Werden mehr als zwei Vektoren addiert, so werden sie wie eine Kette aneinandergereiht.
    Richtig! Es können beliebig viele Vektoren addiert werden. Jeder weitere Summand wird an die Spitze des vorherigen Summanden gesetzt. Damit bildet sich eine Art Vektorkette. Der Summenvektor kann dann vom Anfangspunkt des ersten Vektors zur Spitze des letzten Vektors gezeichnet werden.

    Die Vektoraddition ist assoziativ.
    Richtig! Bei Beachtung der Vorzeichen können die Klammern beliebig getauscht werden:
    $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \right)= \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1+b_1+c_1 \\ a_2+b_2+c_2 \end{pmatrix}$

    Durch Vertauschen von Minuend und Subtrahend bei der Subtraktion von Vektoren erhält man den Gegenvektor.
    Richtig! Der Gegenvektor wird rechnerisch durch Umkehr der Vorzeichen gebildet. Das heißt allgemein ist $-\vec{v}$ der Gegenvektor von $\vec{v}$. Für den Gegenvektor einer Differenz mit Minuend $\vec{a}$ und Subtrahend $\vec{b}$ gilt dann: $-(\vec{a} - \vec{b}) = -\vec{a} - (-\vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$. Hier sind Minuend und Subtrahend vertauscht.

    Bei der Addition und Subtraktion von Vektoren werden Klammern ignoriert.
    Falsch! Klammern müssen auch beim Rechnen mit Vektoren beachtet werden.

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