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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung

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Team Digital
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen zu bestimmen.

Zunächst lernst du, wie du den ggT mit den Teilermengen bestimmen kannst. Anschließend lernst du, wie du den ggT mit der Primfaktorzerlegung ermitteln kannst. Abschließend kannst du ein paar Übungsaufgaben rechnen, bei denen du selbst entscheidest, welchen Rechenweg du bevorzugst.

Den größten gemeinsame Teiler ggT bestimmen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie größter gemeinsamer teiler (ggT), Teilermengen und Primfaktorzerlegung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was der ggT ist und wie man die Teiler einer Zahl bestimmen kann.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie der ggT in der Bruchrechnung angewendet wird.

Transkript Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung

Marie steckt mitten in den Vorbereitungen für ihre Halloween-Party. Für Knabbereien ist schon mal gesorgt: Sie hat Pumpkin-Cookies und Skelett-Kekse gebacken. Richtig schön spooky! Aber wie verteilt sie die zwei verschiedenen Kekssorten für ihre Gäste denn jetzt gleichmäßig auf möglichst viele Schüsseln? Das verrät ihr, mit etwas Übung, der „größte gemeinsame Teiler, kurz: .“ Marie erinnert sich: Um den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen zu bestimmen, gibt es verschiedene Rechenwege. Wir können zum Beispiel die Teilermengen der beiden Zahlen vergleichen oder den ggT mit der Primfaktorenzerlegung ermitteln. Beide Möglichkeiten sind geschickte Vorgehensweisen und führen zum gleichen Ergebnis. Schauen wir uns das mal genauer an: Eine Möglichkeit besteht also darin, die Teilermengen zu vergleichen. Wir wollen den ggT von fünfzehn und fünfundzwanzig berechnen. Um die Teilermengen dieser Zahlen zu bestimmen, müssen wir alle natürlichen Zahlen finden, die die beiden Zahlen ohne Rest teilen. Die Teilermenge der fünfzehn enthält also die Zahlen eins, drei, fünf, und fünfzehn. Die Teilermenge der fünfundzwanzig haben wir auch schnell bestimmt: Eins, Fünf, und fünfundzwanzig. Die Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen, sind dann die gemeinsamen Teiler. Hier sind es nur die eins und die fünf. Der größte gemeinsame Teiler ist in unserem Beispiel also die fünf. Alternativ können wir den ggT auch mit Hilfe der Primfaktorzerlegung bestimmen. Schauen wir uns dazu die Zahlen zwölf und sechzehn an. Wir zerlegen beide Zahlen zunächst jeweils in ein Produkt ihrer Primfaktoren. Dafür unterteilen wir sie so lange in Faktoren, bis jeder einzelne Faktor eine Primzahl ist. Dann schreiben wir die Primfaktoren so untereinander, dass wir problemlos erkennen, welche Faktoren in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Diese Faktoren müssen wir nur noch multiplizieren und schon haben wir den ggT berechnet. Hier ist es die vier. Jetzt bist du an der Reihe: Gesucht ist der ggT von achtundzwanzig und zweiundvierzig. Dieser soll mit Hilfe der Teilermengen bestimmt werden. Pausiere das Video kurz und rechne selbst! Hier siehst du die Teilermengen. Der größte gemeinsame Teiler ist Vierzehn! Eine weitere Übungsaufgabe. Dieses mal soll der ggT mit der Primfaktorzerlegung bestimmt werden. Wieder kannst du erst selber rechnen und dann deine Lösung vergleichen. Als gemeinsame Primfaktoren haben wir eine zwei und eine drei. Der ggT ist also sechs! Und hier sind noch ein paar Übungsaufgaben. Entscheide selbst, welchen Rechenweg du bevorzugst. Die Lösungen gibt es in drei, zwei, eins. Hier siehst du sie auf einen Blick. Ist der ggT gleich eins, so wie bei sechzehn und einundzwanzig, bezeichnen wir diese beiden Zahlen übrigens als Teilerfremd. Und – hast du die größten gemeinsamen Teiler gefunden? Prima, dann können wir ja jetzt Maries Frage klären. Sie hat achtzehn Pumpkin-Cookies und zweiundvierzig Skelett-Kekse gebacken. In wie viele Schüsseln kann sie diese nun maximal aufteilen, sodass in jeder Schüssel gleich viele Pumpkin-Cookies und gleich viele Skelett-Kekse sind? Pausiere das Video kurz und rechne selbst, dann erhältst du die Antwort. Sie kann die Kekse auf sechs Schüsseln verteilen! Das macht drei Skelett-Kekse und sieben Pumpkin-Cookies pro Schüssel. Na dann können die Gäste ja kommen! Wir fassen derweil das Wichtigste nochmal zusammen. Wenn wir den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen suchen, können wir zunächst die Teilermengen der beiden Zahlen bestimmen, und anschließend die gemeinsamen Teiler markieren. Dann können wir den größten gemeinsamen Teiler einfach ablesen. Oder wir nutzen die Primfaktorzerlegung. Haben wir diese durchgeführt, müssen wir nur noch die gemeinsamen Primfaktoren multiplizieren. Beide Möglichkeiten eignen sich sehr gut, um den ggT zu bestimmen. Du kannst daher den Rechenweg wählen, der für dich persönlich am Besten klappt. Und Maries Partie? Die ist ein voller Erfolg! Dank der Kekse natürlich, die sind einfach schrecklich lecker.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. stimmt °^°

    Von °yade°, vor 4 Monaten
  2. LOL LOL LOL OL LOL

    Von Talha , vor 6 Monaten
  3. Sie ist doch eine Hexe . Wahum zaubert sie dann nicht die Kekse mit magic sondern sie verschwendet seine zeit und macht per Hand das ergibt so gar kein sinn das Video:

    Von Talha , vor 6 Monaten
  4. cool

    Von Maxi3punkt0HD, vor 10 Monaten
  5. cooles viedeo

    Von Emily, vor 10 Monaten
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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man den größten gemeinsamen Teiler bestimmen kann.

    Tipps

    Der Begriff größter gemeinsamer Teiler verrät dir schon eine Möglichkeit, ihn zu bestimmen.

    $\text{ggT}(8, 12) = 4$

    Lösung

    Es gibt zwei Möglichkeiten den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen:

    Erste Möglichkeit:
    Wir können die Teilermengen der beiden Zahlen vergleichen. Von allen gemeinsamen Teilern ist der größte Wert der größte gemeinsame Teiler.
    Beispiel: $15$ und $25$
    $T_{15} = \lbrace 1, 3, 5, 15 \rbrace$
    $T_{25} = \lbrace 1, 5, 25 \rbrace$
    Der größte gemeinsame Wert ist $5$, daher gilt: $\text{ggT}(15, 25) = 5$

    Zweite Möglichkeit:
    Wir können die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen nutzen. Multiplizieren wir alle gemeinsamen Primfaktoren, so erhalten wir den $\text{ggT}$.
    Beispiel: $18$ und $210$
    $18=2 \cdot 3 \cdot 3$
    $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
    Gemeinsame Primfaktoren sind $2$ und $3$, daher gilt: $\text{ggT}(18, 210) = 2 \cdot 3 = 6$

    Wir erhalten jedoch den größten gemeinsamen Teiler nicht durch:

    • Multiplikation des größten Primfaktor mit dem kleinsten Teiler.
    • Multiplikation der beiden Zahlen selbst.
    • Division des Quadrates der ersten Zahl durch die zweite Zahl.
  • Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12$ und $16$ mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

    Tipps

    Bei der Primfaktorzerlegung schreiben wir eine Zahl als Produkt aus mehreren Primzahlen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

    Primfaktorzerlegung von $28$:

    $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$

    Lösung

    Die Primfaktorzerlegung hilft uns bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. Wir können den $\text{ggT}$ als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren schreiben.

    Wir führen die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch. Dabei schreiben wir die beiden Zahlen als Produkt aus Primfaktoren:

    $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
    $16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

    Die beiden gemeinsamen Primfaktoren sind eine $2$ und noch eine $2$, daher gilt:
    $\text{ggT} (12, 16) =2 \cdot 2 =4$

  • Vervollständige die Teilermengen, um den $\text{ggT}$ zu bestimmen.

    Tipps

    Teiler einer Zahl sind diejenigen Zahlen, durch die die gegebene Zahl ohne Rest teilbar ist.

    Die Teilermenge von $42$ lautet:

    $T_{42} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 \rbrace$

    Lösung

    Wir notieren die Teilermengen der beiden Zahlen und vergleichen dann ihren Inhalt. Von den Zahlen, welche in beiden Teilermengen vorkommen, ist der größte Wert der größte gemeinsame Teiler.

    Die Teilermenge von $20$ schreiben wir wie folgt:

    $T_{20} = \lbrace 1, 2, 4, 5, 10, 20 \rbrace$

    Die Teilermenge von $30$ schreiben wir wie folgt:

    $T_{30} = \lbrace 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \rbrace$

    In beiden Teilermengen kommen die Zahlen $1$, $2$, $5$ und $10$ vor. Der größte Wert ist $10$, daher gilt:
    $\text{ggT}(20, 30) =10$

  • Vervollständige die Primfaktorzerlegung, um den $\text{ggT}$ von $420$ und $90$ zu bestimmen.

    Tipps

    Primfaktorzerlegung von $32$:

    $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

    Vergleich die beiden Primfaktorzerlegungen. Welche Zahlen kommen in beiden Zerlegungen vor? Multipliziere sie und du erhältst den größten gemeinsamen Teiler.

    Lösung

    Die Primfaktorzerlegung hilft uns bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. Wir können den $\text{ggT}$ als Produkt der gemeinsamen Primfaktoren schreiben.

    Wir führen die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch. Dazu schreiben wir die beiden Zahlen als Produkt aus Primzahlen:

    $420 = 2 \cdot 210 = 2 \cdot 2 \cdot 105 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 35 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 $
    $90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

    Die gemeinsamen Primfaktoren sind $2$, $3$ und $5$, daher gilt:
    $\text{ggT} (420, 90) =2 \cdot 3 \cdot 5 =30$

  • Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12$ und $18$ mit Hilfe der Teilermengen.

    Tipps

    Gemeinsame Teiler sind Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

    Der $\text{ggT}$, also der größte gemeinsame Teiler, ist die größte dieser Zahlen.

    Lösung

    Wir können den $\text{ggT}$ aus den Teilermengen bestimmen, indem wir die größte der Zahlen auswählen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

    Schreiben wir die beiden Teilermengen untereinander

    $T_{12} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 12 \rbrace$
    $T_{18} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18 \rbrace$

    so können wir erkennen, dass beide Mengen die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $6$ enthalten. Der größte gemeinsame Wert ist dabei $6$, daher gilt:
    $\text{ggT}(12, 18) = 6$

  • Bestimme den größten gemeinsamen Teiler.

    Tipps

    Nutze die Teilermengen der beiden Zahlen oder die Primfaktorzerlegung.

    $\text{ggT}(14, 63) = 7$

    Lösung

    Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen, können wir die Teilermengen der beiden Zahlen oder deren Primfaktorzerlegung nutzen.

    Mit Hilfe der Teilermengen der beiden Zahlen ergibt sich für die drei Beispiele:

    Beispiel 1
    $T_{9} = \lbrace 1, 3, 9 \rbrace$
    $T_{105} = \lbrace 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 \rbrace$
    Der größte gemeinsame Wert ist $3$, daher gilt: $\text{ggT}(9, 105) = 3$

    Beispiel 2
    $T_{45} = \lbrace 1, 3, 5, 9, 15, 45 \rbrace$
    $T_{154} = \lbrace 1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154 \rbrace$
    Der größte gemeinsame Wert ist $1$, daher gilt: $\text{ggT}(45, 154) = 1$

    Beispiel 3
    $T_{18} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18 \rbrace$
    $T_{36} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36 \rbrace$
    Der größte gemeinsame Wert ist $18$, daher gilt: $\text{ggT}(18, 36) = 18$

    Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung ergeben sich folgende Lösungswege:

    Beispiel 1
    $9 = 3 \cdot 3$
    $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$
    $\text{ggT}(9, 105) = 3$

    Beispiel 2
    $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$
    $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$
    Es gibt keine gemeinsamen Primfaktoren, daher gilt: $\text{ggT}(45, 154) = 1$

    Beispiel 3
    $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
    $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
    $\text{ggT}(18, 36) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$

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