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ggT und kgV in der Bruchrechnung

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Team Digital
ggT und kgV in der Bruchrechnung
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema ggT und kgV in der Bruchrechnung

Inhalt

Wie geht Bruchrechnung mit ggT und kgV? – Mathe

Nützliche Hilfsmittel bei der Bruchrechnung sind sowohl der $\textbf{ggT}$ als auch das $\textbf{kgV}$. Die Buchstaben $\text{ggT}$ stehen für den größten gemeinsamen Teiler und die Buchstaben $\text{kgV}$ stehen für das kleinste gemeinsame Vielfache.
In diesem Text wird die Bruchrechnung mithilfe von $\text{ggT}$ und $\text{kgV}$ einfach erklärt.

Bruchrechnung mit dem größten gemeinsamen Teiler

Der größte gemeinsame Teiler, kurz $\text{ggT}$, ist besonders beim Kürzen von Brüchen hilfreich. Brüche kann man kürzen, indem man den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl teilt. Dabei verändert sich der Wert des Bruches nicht.
Im folgenden Bruch sind Zähler und Nenner gerade Zahlen, weshalb dieser Bruch mit $2$ gekürzt werden kann:

$\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 : 2}{36 : 2} = \dfrac{12}{18}$

Auch der Bruch $\frac{12}{18}$ kann mit $2$ gekürzt werden:

$\dfrac{12:2}{18:2} = \dfrac{6}{9}$

Der so entstehende Bruch kann wiederum mit $3$ gekürzt werden:

$\dfrac{6:3}{9:3} = \dfrac{2}{3}$

Dieser Bruch kann nicht mehr weiter gekürzt werden, wir sagen auch: Der Bruch ist vollständig gekürzt. Allerdings wurden mehrere Schritte benötigt, um diesen vollständig gekürzten Bruch zu erhalten. Der $\text{ggT}$ kann diesen Rechenweg deutlich verkürzen.
Anstatt den Bruch $\frac{24}{36}$ schrittweise zu Kürzen, können wir auch den $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner bestimmen. Dafür gibt es die Methode der Teilermengen oder der Primfaktorzerlegung:

Teilermengen:
$T(24) = \lbrace 1,2,3,4,6,8,\mathbf{12},24\rbrace$
$T(36)= \lbrace 1,2,3,4,6,9,\mathbf{12},18,36\rbrace$
Der $\text{ggT}$ ist die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt.

Primfaktorzerlegung:
$24 = \mathbf{2} \cdot \mathbf{2} \cdot 2 \cdot \mathbf{3}$
$36 = \mathbf{2} \cdot \mathbf{2} \quad \, \cdot \mathbf{3} \cdot 3$
Der $\text{ggT}$ ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

$\text{ggT}(24,36) = 12$

Der Ausgangsbruch kann nun direkt mit dem $\text{ggT}$ gekürzt werden, um in einem Schritt den vollständig gekürzten Bruch zu erhalten:

$\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 : 12}{36 : 12} = \dfrac{2}{3}$

Ist der $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner $1$, so kann dieser Bruch nicht weiter gekürzt werden. Beispiele dafür sind die beiden folgenden Brüche.

$\dfrac{7}{9}$ und $\dfrac{17}{62}$

Bruchrechnung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz $\text{kgV}$, kann bei der Addition und Subtraktion von Brüchen sehr hilfreich sein. Bei der Addition und Subtraktion müssen die Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Das bedeutet, sie benötigen den gleichen Nenner. Im folgenden Beispiel kann der erste Bruch mit $3$ und der zweite Bruch mit $2$ erweitert werden um den gleichen Nenner zu erhalten.

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3} + \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}$

Haben die beiden Brüche den gleichen Nenner, können die Zähler addiert werden.

$\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$

Bei größeren Zahlen kann diese Methode jedoch sehr aufwendig werden. So zum Beispiel bei der Aufgabe:

$\dfrac{7}{8} - \dfrac{5}{12}$

Mithilfe des $\text{kgV}$ kann der Hauptnenner schnell gefunden werden. Der Hauptnenner ist die kleinste Zahl, welche als gemeinsamer Nenner möglich ist. Zunächst wird das $\text{kgV}$ der beiden Nenner mithilfe der Primfaktorzerlegung bestimmt.

Primfaktorzerlegung:
$\, \, \,8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
$12 = 2 \cdot 2 \quad \cdot 3$

Hauptnenner:
$\text{kgV}(8,12) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$

Nun müssen beide Brüche auf den Hauptnenner $24$ erweitert werden. Danach kann man die Zähler subtrahieren.

$\dfrac{7}{8} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{7\cdot 3}{8\cdot 3} - \dfrac{5\cdot 2}{12 \cdot 2} = \dfrac{21}{24} - \dfrac{10}{24} = \dfrac{11}{24}$

Das $\text{kgV}$ ist besonders hilfreich, wenn drei oder mehr Brüche miteinander verrechnet werden. So wie im folgenden Beispiel.

$\dfrac{5}{12} - \dfrac{7}{9} + \dfrac{11}{18}$

Auch hier wird zunächst das $\text{kgV}$ der drei Nenner berechnet. Für die Zahlen $12$, $9$ und $18$ ist das $\text{kgV}$ die Zahl $36$. Nun können die Brüche auf diesen Nenner erweitert und die Zähler miteinander verrechnet werden.

$\dfrac{5}{12} - \dfrac{7}{9} + \dfrac{11}{18} = \dfrac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \dfrac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \dfrac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \dfrac{15}{36} - \dfrac{28}{36} + \dfrac{22}{36} = \dfrac{9}{36}$

Mithilfe des $\text{ggT}$ kann dieser Bruch noch gekürzt werden. Das Ergebnis lautet dann:

$\dfrac{9}{36} = \dfrac{9 : 9}{36 : 9} = \dfrac{1}{4}$

Bruchrechnung mit ggT und kgV – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Thema Bruchrechnung mit $\textit{ggT}$ und $\textit{kgV}$ zusammen.

  • Der $\text{ggT}$ und das $\text{kgV}$ sind in der Bruchrechnung sehr hilfreich.
  • Mithilfe des $\text{ggT}$ können Brüche in nur einem Schritt vollständig gekürzt werden.
  • Ist das $\text{ggT}$ gleich $1$, so lässt sich ein Bruch nicht weiter kürzen.
  • Das $\text{kgV}$ kann das Addieren und Subtrahieren von Brüchen vereinfachen.
  • Mithilfe des $\text{kgV}$ kann der Hauptnenner von zwei oder mehr Brüchen bestimmt werden.

Willst du die Bruchrechnung mit $\text{ggT}$ und $\text{kgV}$ an weiteren Beispielen üben? Hier auf der Seite findest du zusätzlich zum Video und dem Text noch Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Bruchrechnung mit $\textit{ggT}$ und $\textit{kgV}$.

Transkript ggT und kgV in der Bruchrechnung

Hey du! Ja, du! Hast du auch immer Probleme beim Bruchrechnen? Kein Grund dir den Kopf zu zerbrechen – hier bist du genau richtig! Denn ob du's glaubst oder nicht „ggT und kgV sind bei der Bruchrechnung“ deine besten Freunde! Das schauen wir uns doch mal genauer an: Sowohl der ggT, also der größte gemeinsame Teiler, als auch das kgV, sprich das kleinste gemeinsame Vielfache, sind in der Bruchrechnung nützliche Hilfsmittel. Du solltest bereits wissen, wie man sie mit Teiler- beziehungsweise Vielfachenmengen bestimmen oder mit der Primfaktorzerlegung berechnen kann. Wenn wir diese Verfahren drauf haben, macht uns der ggT das Leben bei dem „Kürzen von Brüchen“ leichter. Hier sind auch schon ein paar Brüche. Du siehst wahrscheinlich, dass man einige dieser Brüche kürzen kann. Aber wie geht das am schnellsten? An dieser Stelle kommt der ggT zum Einsatz. Schauen wir uns dazu das Beispiel vierundzwanzig sechsunddreißigstel an. Wir können diesen Bruch kürzen, indem wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. Beide Zahlen sind gerade. Also können wir mit der zwei kürzen. Auch zwölf Achtzehntel können wir mit der zwei kürzen, und sechs Neuntel sind gekürzt zwei Drittel. Dieser Bruch kann nun eindeutig nicht mehr gekürzt werden. Insgesamt war das allerdings ganz schön umständlich gerechnet. Stattdessen können wir auch effektiver vorgehen und den ggT von vierundzwanzig und sechsunddreißig ermitteln. Dafür können wir entweder die Teilermengen oder die Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmen. Haben wir den größten gemeinsamen Teiler, in unserem Fall zwölf, herausgefunden können wir den Bruch mit diesem ggT in einem Schritt vollständig kürzen und kommen direkt auf das Ergebnis zwei Drittel. So hat uns der ggT einige Rechenschritte gespart. Wenn der ggT von Zähler und Nenner gleich eins ist, heißt das übrigens, dass der Bruch nicht weiter gekürzt werden kann. Pausiere das Video doch kurz und probiere mal, die restlichen Brüche mit Hilfe des ggTs zu kürzen. Hier sind die gekürzten Brüche! Sieben Neuntel und siebzehn zweiundsechzigstel können wir nicht weiter kürzen. Die übrigen Brüche können wir in einem Schritt kürzen, nachdem wir den größten gemeinsamen Teiler bestimmt haben. Wirklich praktisch dieser ggT, oder? Sollte jeder einen zu Hause haben. Mindestens genauso wichtig in der Bruchrechnung ist außerdem das kgV. Dieses können wir bei der Addition und der Subtraktion von Brüchen einsetzen. Schauen wir uns mal an, wie wir auch hier Arbeit sparen können. Wir wollen ein Halb und ein Drittel addieren. Also müssen wir die beiden Brüche zuerst gleichnamig machen, sprich auf den gleichen Nenner bringen. Dafür erweitern wir ein Halb mit drei und ein Drittel mit zwei. So erhalten wir „drei Sechstel plus zwei Sechstel“. Dann müssen wir nur noch die Zähler addieren. Diese Rechnung war noch sehr einfach. Es kann aber deutlich schwieriger werden, wenn wir Brüche mit größeren Zahlen im Nenner addieren oder subtrahieren wollen. Auch dazu ein Beispiel: „Sieben Achtel minus fünf Zwölftel“. Jetzt hilft uns das kgV dabei, den Hauptnenner zu finden, also eben die kleinste Zahl, die als gemeinsamer Nenner in Frage kommt. Wir könnten erneut beide Brüche mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern, um die Brüche gleichnamig zu machen. Es geht aber viel einfacher: Wir bestimmen stattdessen das kgV der beiden Nenner – zum Beispiel mit der Primfaktorzerlegung – und erhalten vierundzwanzig als Hauptnenner. Wir erweitern beide Brüche auf diesen Hauptnenner und können dann die Zähler subtrahieren. Das Ergebnis elf Vierundzwanzigstel kann nicht weiter gekürzt werden, fertig! Noch mehr Arbeit kann uns das kgV sparen, wenn wir drei Brüche miteinander verrechnen müssen, wie zum Beispiel hier: Wir berechnen einfach das kgV der drei Nenner, um den Hauptnenner zu bestimmen erweitern die Brüche und können dann die Zähler verrechnen. Wir können noch Kürzen – natürlich mit dem ggT – und haben unser Ergebnis: ein Viertel! Versuch es doch mal selbst! Diese beiden Übungsaufgaben können mit dem kgV gut gelöst werden. Pausiere das Video doch kurz und rechne selbst! Hier siehst du die Lösungen. Hast du die Aufgaben lösen können? Großartig, dann ist es Zeit für eine Zusammenfassung! ggT und kgV können uns in der Bruchrechnung eine Menge Arbeit ersparen. Den ggT nutzen wir zum Kürzen von Brüchen. So können wir einen Bruch in nur einem Schritt vollständig kürzen. Das kgV ist sehr nützlich, wenn wir Brüche addieren oder subtrahieren wollen. Denn wenn wir Brüche gleichnamig machen, indem wir den Hauptnenner bestimmen, haben wir viel weniger Rechenarbeit. Das spart Zeit und Nerven. Und dank ggT und kgV können wir uns dann auch wieder den schönen Dingen des Lebens widmen. Und einfach mal entspannen!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Sehr hilfreich

    Von Alex, vor 18 Tagen
  2. Dieses Video ist so hilfreich🤗👍👍.
    Vielen Dank 👏

    Von Alina, vor 28 Tagen
  3. Cool
    Geil
    Krass

    Von Lang-Sen, vor 6 Monaten

ggT und kgV in der Bruchrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video ggT und kgV in der Bruchrechnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man das $\text{kgV}$ und den $\text{ggT}$ in der Bruchrechnung nutzen kann.

    Tipps

    Beispiel:

    $\dfrac{12}{16} = \dfrac{12:4}{16:4} = \dfrac{3}{4}$

    $\text{ggT}$: größter gemeinsamer Teiler
    $\text{kgV}$: kleinstes gemeinsames Vielfaches

    Lösung

    Das $\text{kgV}$ ist die Abkürzung für das kleinste gemeinsame Vielfache.
    Der $\text{ggT}$ ist die Abkürzung für den größten gemeinsamen Teiler.

    Das $\text{kgV}$ und der $\text{ggT}$ helfen uns in der Bruchrechnung.

    Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen verwenden wir das $\text{kgV}$.
    Beispiel: $\frac{3}{4} + \frac{ 2}{3} \qquad \text{kgV}(3,4)=12$
    Das heißt: $\frac{3}{4} + \frac{ 2}{3} = \frac{9}{12} + \frac{8}{12}= \frac{17}{12}$
    Um zwei oder mehr Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen: Den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist das $\text{kgV}$ der Nenner. Die Aussagen Beim Addieren von Brüchen kann man mit Hilfe des $\text{kgV}$ den Hauptnenner finden und Beim Addieren wird das $\text{kgV}$ der Nenner der Brüche gebildet sind also richtig.

    Beim Kürzen von Brüchen verwenden wir den $\text{ggT}$:
    Beispiel: $\frac{12}{16} \qquad \text{ggT}(12,16)=4$
    Das heißt: $\frac{12}{16} = \frac{12:4}{16:4} = \frac{3}{4}$
    Der $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner gibt die Kürzungszahl beim Kürzen an Diese Aussage ist richtig. Die Aussage Der $\text{ggT}$ wird beim Subtrahieren benötigt, um den gemeinsamen Nenner zu finden ist hingegen falsch.

  • Addiere, indem du die beiden Brüche mit Hilfe des $\text{kgV}$ auf den Hauptnenner bringst.

    Tipps

    Bestimme zuerst das $\text{kgV}$ der Nenner. Es gibt dir den Hauptnenner an.

    Beispiel: $\frac{1}{20} + \frac{5}{6}$
    $\text{kgV}(6; 20) =60$
    $\frac{1}{20} + \frac{5}{6} = \frac{3}{60} + \frac{50}{60}= \frac{3+50}{60} = \frac{53}{60}$

    Lösung

    Um mehrere Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir diese zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Der Hauptnenner ist das $\text{kgV}$ der Nenner der beiden Brüche. Anschließend behalten wir den Hauptnenner bei und addieren bzw. subtrahieren die Zähler:

    Beispiel 1:
    $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
    $\text{kgV}(2;3) =6$
    $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}=\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

    Beispiel 2:
    $\frac{7}{8} - \frac{5}{12}$
    $\text{kgV}(8; 12) =24$
    $\frac{7}{8} - \frac{5}{12}=\frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{11}{24}$

    Beispiel 3:
    $\frac{1}{6} + \frac{3}{8}$
    $\text{kgV}(6; 8) =24$
    $\frac{1}{6} + \frac{3}{8}= \frac{4}{24} + \frac{9}{24} =\frac{13}{24}$

  • Kürze mit Hilfe des $\text{ggT}$.

    Tipps

    Um den Bruch möglichst geschickt in einem Schritt zu kürzen, kannst du den $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner bestimmen. Dieser gibt dir die Kürzungszahl an: Du dividierst also Zähler und Nenner durch diese Zahl.

    Beispiel:

    $\frac{16}{24}$
    $\text{ggT}(16; 24) =8$
    $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

    Lösung

    Der $\text{ggT}$ ist der größte gemeinsame Teiler. Das ist die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt.

    Der $\text{ggT}$ hilft uns beim geschickten Kürzen von Brüchen. Der $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner ist die Kürzungszahl, also die Zahl, durch die wir Zähler und Nenner dividieren müssen, um den Bruch vollständig zu kürzen.

    Beispiel 1:
    $\frac{12}{30}$
    $\text{ggT}(12; 30) =6$
    $\frac{12}{30} = \frac{12:6}{30:6} = \frac{2}{5}$

    Beispiel 2:
    $\frac{12}{16}$
    $\text{ggT}(18; 24) =4$
    $\frac{12}{16} =\frac{12:4}{16:4} = \frac{3}{4}$

    Beispiel 3:
    $\frac{78}{108}$
    $\text{ggT}(78; 108) =6$
    $\frac{78}{108} = \frac{78:6}{108:6} =\frac{13}{18}$

    Beispiel 4:
    $\frac{42}{91}$
    $\text{ggT}(42; 91) =7$
    $\frac{42}{91} =\frac{42:7}{91:7} = \frac{6}{13}$

  • Überprüfe, ob richtig gerechnet wurde.

    Tipps

    Überprüfe, ob richtig gekürzt wurde. Zähler und Nenner müssen durch die gleiche Zahl dividiert werden. Die Kürzungszahl ist der $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner.

    Beim Addieren und Subtrahieren hilft uns das $\text{kgV}$. Wenn wir das $\text{kgV}$ der Nenner bilden, erhalten wir den Hauptnenner.

    Lösung

    Beim Kürzen von Brüchen verwenden wir den $\text{ggT}$:
    Der $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner gibt die Kürzungszahl beim Kürzen an. Wir überprüfen die Beispiele:

    • $\frac{20}{45} = \frac{20:5}{45:5} =\frac{4}{9}$ richtig, denn $\text{ggT}(20; 45) =5$
    • $\frac{12}{84} =\frac{1}{8}$ falsch, denn $\text{ggT}(12, 84) =12$, also: $\frac{12}{84} = \frac{12:12}{84:12} =\frac{1}{7}$
    Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen verwenden wir das $\text{kgV}$:
    Um zwei oder mehr Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen: den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist das $\text{kgV}$ der Nenner. Wir überprüfen die Beispiele:

    • $\frac{1}{5} + \frac{2}{9} = \frac{1+2}{5+9} = \frac{3}{14}$ falsch, denn $\text{kgV}(5; 9) = 45$, es ergibt sich also: $\frac{1}{5} + \frac{2}{9} = \frac{9}{45} + \frac{10}{45} =\frac{9+10}{45} = \frac{19}{45}$
    • $\frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30}= \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ richtig, denn $\text{kgV}(6; 15) = 30$
    Und hier noch eine geschickte Addition durch Kürzen der Brüche:

    • $\frac{21}{28} + \frac{1}{4} + \frac{6}{24} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ richtig, denn $\text{ggT}(21; 28) =7$, der Bruch $\frac{21}{28}$ wurde also mit $7$ gekürzt. $\text{ggT}(6; 24) =6$, der Bruch $\frac{6}{24}$ wurde mit $6$ gekürzt. Dadurch haben alle drei Brüche den Hauptnenner $4$ und können addiert werden.
  • Bestimme das $\text{kgV}$ bzw. den $\text{ggT}$.

    Tipps

    Das $\text{kgV}$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Es ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches der Zahlen ist.

    Um das $\text{kgV}$ zweier oder mehr Zahlen zu bestimmen, zerlegen wir die Zahlen in ihre Primfaktoren. Das $\text{kgV}$ ist dann das Produkt aller Primfaktoren (diejenigen, die bei beiden Zahlen als Faktoren vorkommen, werden jeweils nur einmal, nicht doppelt hinzugenommen).

    Der $\text{ggT}$ ist der größte gemeinsame Teiler.

    Um das $\text{ggT}$ zu bestimmen, notieren wir die Teilermengen der Zahlen. Der $\text{ggT}$ ist dann die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt.

    Lösung

    Das $\text{kgV}$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Um das $\text{kgV}$ zweier oder mehr Zahlen zu bestimmen, zerlegen wir die Zahlen in ihre Primfaktoren. Das $\text{kgV}$ ist dann das Produkt der auftretenden Primfaktoren in ihrer höchsten Anzahl.

    Wir bestimmen:

    $4=2 \cdot 2$
    $6 = 2 \cdot 3$
    $\text{kgV} (4; 6) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

    $15=3 \cdot 5$
    $21= 3 \cdot 7$
    $\text{kgV} (15; 21) =3 \cdot 5 \cdot 7=105$

    $4=2 \cdot2$
    $10= 2\cdot 5$
    $\text{kgV} (4; 10) =2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7=20$

    Der $\text{ggT}$ ist der größte gemeinsame Teiler.

    Um das $\text{ggT}$ zu bestimmen, notieren wir die Teilermengen der Zahlen. Der $\text{ggT}$ ist dann die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt.

    Wir bestimmen:

    $T_{25} = \lbrace 1; 5; 25 \rbrace$
    $T_{30} = \lbrace 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 \rbrace$
    $\text{ggT}(25; 30)= 5$

    $T_{8} = \lbrace 1; 2; 4; 8 \rbrace$
    $T_{12} = \lbrace 1; 2; 3; 4; 6; 12 \rbrace$
    $\text{ggT}(25; 30)= 4$

  • Berechne die Additions-und Subtraktionsaufgaben.

    Tipps

    Bilde das $\text{kgV}$ der Nenner. Dies ist der Hauptnenner.

    Um das $\text{kgV}$ zweier oder mehr Zahlen zu bestimmen, zerlegen wir die Zahlen in ihre Primfaktoren. Das $\text{kgV}$ ist dann das Produkt der auftretenden Primfaktoren in ihrer höchsten Anzahl.

    Lösung

    Um mehrere Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir diese zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Der Hauptnenner ist das $\text{kgV}$ der Nenner der Brüche. Anschließend behalten wir den Hauptnenner bei und addieren bzw. subtrahieren die Zähler:

    Beispiel 1: $\frac{1}{6} + \frac{2}{3} - \frac{1}{9}$
    $\text{kgV}(3; 6; 9) =18$
    $\frac{1}{6} + \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{12}{18} - \frac{2}{18} = \frac{3+12-2}{18} = \frac{13}{18}$

    Beispiel 2: $\frac{3}{5} + \frac{1}{4} + \frac{7}{10}$
    $\text{kgV}(4; 5; 10) =20$
    $\frac{3}{5} + \frac{1}{4} + \frac{7}{10} = \frac{12}{20} + \frac{5}{20} + \frac{14}{20} = \frac{12+5+14}{20} = \frac{31}{20}$

    Beispiel 3: $\frac{1}{20} + \frac{5}{6}$
    $\text{kgV}(6; 20) =60$
    $\frac{1}{20} + \frac{5}{6} = \frac{3}{60} + \frac{50}{60}= \frac{3+50}{60} = \frac{53}{60}$

    Beispiel 4: $\frac{7}{12} - \frac{1}{3} - \frac{1}{10}$
    $\text{kgV}(3; 10; 12) =60$
    $\frac{7}{12} - \frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{35}{60} - \frac{20}{60} - \frac{6}{60} = \frac{35-20-6}{60} = \frac{9}{60}= \frac{3}{20}$

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