Brüche erweitern und kürzen
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Grundlagen zum Thema Brüche erweitern und kürzen
Inhalt
Brüche erweitern und kürzen
Piratenkapitän da Gamma und seine Piratenbande haben wieder eine fette Beute gemacht! Jetzt wird die Beute verteilt. Der Kapitän nimmt für sich den Löwenanteil – nämlich $\frac{1}{4}$ der gesamten Beute. Seine beiden Offiziere erhalten von der Beute zusammen $\frac{1}{3}$ und die drei Kanoniere zusammen $\frac{3}{12}$. Für die acht Matrosen bleibt nur noch $\frac{1}{6}$ der Beute übrig. Aber welchen Anteil des Raubguts bekommt denn nun jeder einzelne Pirat? Es gibt nur einen Kapitän, deshalb ist es bei ihm einfach, er bekommt $\frac{1}{4}$ der Beute. Bei den anderen Piraten hilft das Erweitern und das Kürzen von Brüchen weiter, um den persönlichen Anteil zu berechnen.
Anschaulich kann man die Teilung der Beute mit einem Tortendiagramm zeigen:
Beispiel Offiziere: Erweitern und Kürzen von Brüchen
Die beiden Offiziere müssen das für sie vorgesehene Drittel der Beute teilen. Wir haben also anstatt einem $\frac{1}{3}$-Stück zwei Stücke, aber jedes davon ist nur halb so groß. Der Bruch $\frac{1}{3}$ wird einfach im Zähler und im Nenner mit zwei multipliziert. Man sagt, der Bruch wird mit zwei erweitert.
$\frac{1}{3} = \frac{1~\cdot~2}{3~\cdot~2} = \frac{2}{6}$
Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren, nennt man erweitern. Um den Anteil eines Offiziers zu erhalten, dividieren wir jetzt nur den Zähler durch zwei. Danach erhält jeder beiden Offiziere genau $\frac{1}{6}$ der Beute.
Durch die Verdopplung des Zählers verdoppeln wir die Zahl. Durch die Verdopplung des Nenners halbieren wir die Zahl. Also ist ein Drittel genauso groß wie zwei Sechstel und der Anteil der Offiziere an der Beute hat sich dadurch insgesamt nicht geändert. Wir können das überprüfen, wenn wir umgekehrt rechnen und Zähler und Nenner durch zwei teilen:
$\frac{2}{6} = \frac{2~:~2}{6~:~2} = \frac{1}{3}$
Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren, nennt man kürzen.
Beispiel Kanoniere: Kürzen von Brüchen
Wir schauen uns den Beuteanteil von $\frac{3}{12}$ für die drei Kanoniere an und berechnen, wie viel jeder Kanonier bekommt. Mit der Drei im Zähler wissen wir bei drei Kanonieren, dass jeder von ihnen genau $\frac{1}{12}$ der Beute bekommt.
Wir stellen auch fest, dass man hier Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren kann, ohne dass ein Rest übrig bleibt. Diese Zahl ist die Drei, es ist ihr gemeinsamer Teiler. Damit können wir den Bruch kürzen und teilen Zähler und Nenner durch drei:
$\frac{3}{12} = \frac{3~:~3}{12~:~3} = \frac{1}{4}$
Die drei Kanoniere bekommen zusammen so viel wie der Kapitän alleine!
Beispiel Matrosen: Erweitern von Brüchen
Für die acht Matrosen bleibt zusammen ein Sechstel der Beute. Um herauszubekommen, wie groß der Anteil für jeden einzelnen Matrosen ist, erweitern wir den Bruch mit acht:
$\frac{1}{6} = \frac{1~\cdot~8}{6~\cdot~8} = \frac{8}{48}$
Um den Anteil für jeden einzelnen Matrosen zu erhalten, dividieren wir jetzt nur den Zähler durch acht. Danach erhält jeder der acht Matrosen genau $\frac{1}{48}$ der Beute. Einige Matrosen denken nach und nehmen sich vor, später einmal Kapitän zu werden.
Zusammenfassung zu dem Thema Brüche erweitern und kürzen
Um einen Anteil in kleinere Stücke zu zerlegen, kannst du den entsprechenden Bruch erweitern. Dazu multiplizierst du Zähler und Nenner jeweils mit der gleichen Zahl. Das Ergebnis sieht anders aus, aber der Wert des Bruches ändert sich nicht! Denn die neuen Stücke sind zusammen immer noch genauso groß wie das ursprüngliche Stück. Umgekehrt kannst du mehrere Anteile zusammenlegen, indem du kürzt. Zum Kürzen musst du in einem Bruch Zähler und Nenner durch je die gleiche Zahl teilen. Auch dabei ändert sich der Wert des Bruches nicht, denn auch hier hat sich der Anteil nicht verändert.
Transkript Brüche erweitern und kürzen
Arrr, was für eine fette Beute! So eine Raubfahrt lohnt sich immer für Kapitän da Gamma und seine Piratenbande. Jetzt wird die Beute verteilt! Allerdings sind die Seeräuber mit Zahlen deutlich weniger geschickt als mit dem Enterhaken. Welchen Anteil der Beute bekommt jeder Pirat? Um das zu bestimmen, müssen wir Brüche, Federn und Kielholen! Ach nee, Brüche kürzen und erweitern müssen wir, arrr. Los gehts! Wir stellen uns vor, die ganze fette Beute ist dieser Kreis. Und so, wie wir den Kreis aufteilen, teilen wir auch die Beute auf. Der Kapitän bekommt klarerweise ganz alleine einen sehr großen Anteil – nämlich ein Viertel der gesamten Beute. Die Offiziere bekommen zusammen ein Drittel der Reichtümer. An jeden der drei Kanoniere geht ein Zwölftel der Beute für seine Treffsicherheit – insgesamt also drei zwölftel. Und übrig bleibt ein sechstel – das müssen die Matrosen unter sich aufteilen. So eine Darstellung nennt man Tortendiagramm – jeder bekommt ein Stückchen aus der gesamten Torte. Aber welchen Anteil des Raubguts bekommt denn nun jeder einzelne Pirat? Beim Anteil des Kapitäns ist es leicht – es gibt nur einen Kapitän, also bekommt er ein Viertel der Beute. Allerdings müssen sich zwei Offiziere das für sie vorgesehene Drittel teilen. Und die Kanoniere? Kann man denn ihre drei Zwölftel auch einfacher darstellen? Und acht Matrosen müssen das letzte Sechstel unter sich aufteilen. Die beiden Offiziere haben ein Drittel der Beute zu verteilen. Ein Stück Torte würden wir einfach halbieren – so wie hier. Wir haben also anstatt einem Stück zwei – aber jedes davon nur HALB so groß. Im ganzen Kreis haben wir dann doppelt so viele Stücke dieser Größe. Im Bruch können wir demnach den Zähler mit zwei multiplizieren. Deshalb müssen wir auch den Nenner verdoppeln. So gelangen wir zu dem Bruch „zwei Sechstel“. Durch die Verdopplung des Zählers verdoppeln wir die Zahl. Durch die Verdopplung des Nenners halbieren wir die Zahl. Also ist ein Drittel ist genauso groß wie zwei Sechstel und der Anteil an der Beute hat sich dadurch insgesamt nicht geändert. Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren, nennt man erweitern – hier haben wir Zähler und Nenner mit zwei erweitert. Kann man das auch umgekehrt rechnen? Im Tortendiagramm ist es leicht: wir fassen die beiden Stücke nur wieder zu einem doppelt so großen Stück zusammen. Aber das bedeutet im Bruch, dass wir den Zähler auch nur halb so groß machen – wir teilen ihn also durch 2, denn wir zählen nur noch ein Stück. Dafür teilen wir aber auch den Nenner durch 2 – schließlich haben wir insgesamt wieder 3 gleich große Stücke. Das klappt also auch! Wir haben wieder ein Drittel. Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren, nennt man kürzen. Bei diesem Beispiel war es ja ziemlich klar, dass wir auch rückwärts rechnen können, denn wir hatten den Bruch ja gerade erst erweitert. Aber kürzen lassen sich auch andere Brüche. Schauen wir uns doch zum Beispiel die drei Zwölftel der Kanoniere an. Können wir hier Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren? Gibt es also eine Zahl, durch die wir sowohl den Zähler als auch den Nenner teilen können, ohne dass ein Rest übrig bleibt? Anders gesagt: haben drei und zwölf einen gemeinsamen Teiler? Ja: die drei! Arr! Also teilen wir im Zähler und im Nenner durch drei! Drei geteilt durch drei ergibt eins. Und zwölf geteilt durch drei ist vier! Also ist der Bruch 'drei Zwölftel' gekürzt gleich dem Bruch 'ein Viertel'! Wie sieht das im Tortendiagramm aus? Wenn wir die drei Zwölftelstücke zu einem einzigen Stück zusammenschieben, sehen wir, dass so genau ein Viertelstück entsteht. Und was ist nun mit den Matrosen und ihrem Anteil? Zusammen bekommen die acht Matrosen ein Sechstel der Beute. Also teilen wir das Sechstel im Tortendiagramm in acht Teile auf. Wie viel das dann ist, kriegen wir raus, indem wir den Bruch 'ein Sechstel' mit acht erweitern. Dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner jeweils mit acht. Das Ergebnis lautet dann Acht Achtundvierzigstel. Das ist gar nicht so viel für jeden Matrosen! Bevor die Matrosen anfangen zu meutern, fassen wir schnell zusammen. Um einen Anteil in kleinere Stücke zu zerlegen, kannst du den entsprechenden Bruch erweitern. Dazu multiplizierst du Zähler und Nenner jeweils mit der gleichen Zahl. Das Ergebnis sieht anders aus, aber der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht! Schließlich sind die neuen Stücke zusammen immer noch genauso groß wie das ursprüngliche. Umgekehrt kannst du mehrere Anteile zusammenlegen, indem du kürzt. Zum Kürzen musst du in einem Bruch Zähler und Nenner durch je die gleiche Zahl teilen. Auch dabei ändert sich der Wert des Bruches nicht, denn auch hier hat sich der Anteil nicht verändert. Na, dann schauen wir doch mal, was sich die Piraten von ihrem neu ergaunerten Reichtum so alles leisten. Äh, eine Kreuzfahrt? Was ein echter Seemann ist, der kriegt vom Meer eben nie genug! Aber selbst im Urlaub: Pirat bleibt Pirat! Arrr!
Brüche erweitern und kürzen Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum Kürzen und Erweitern von Brüchen.
TippsHier ist derselbe Kreis einmal in drei und einmal in sechs Teile geteilt.
Wenn du ein Ganzes halbierst, hast du danach doppelt so viele Teile, die aber nur halb so groß sind wie das Ganze.
$\frac{6}{8}$ kann man mit $2$ kürzen. Dann kommt $\frac{3}{4}$ heraus.
LösungDiese Aussagen sind falsch: „Beim Kürzen ziehst du von Nenner und Zähler die gleiche Zahl ab.“
- Einen Bruch kürzt du, indem du Nenner und Zähler durch die gleiche Zahl teilst.
- Durch Erweitern und Kürzen verändert sich der Wert eines Bruchs nicht. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert. Das gleicht sich aus und der Wert des Bruchs ändert sich nicht.
„Wird ein Bruch gekürzt, gibt er immer noch den selben Anteil an wie vorher.“
- Wie beim Erweitern, verändert sich auch beim Kürzen der Wert des Bruchs nicht.
„Beim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert.“
„Hast du einen Bruch mit einer Zahl erweitert, kannst du ihn anschließend mit derselben Zahl kürzen.“
-
Beschreibe das Kürzen und Erweitern von Brüchen.
TippsBeim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert.
Multiplizierst du $3$ mit einer Zahl und teilst anschließend wieder durch dieselbe Zahl, erhältst du wieder $3$.
LösungDen Lückentext kannst du so vervollständigen:
„(...) Sie wollen am Ende zwei Stücke besitzen, also müssen sie den Bruch mit $2$ erweitern. Dazu multiplizieren sie den Nenner und den Zähler des Bruchs mit $2$.
$\frac{1}{3}=\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\frac{2}{6}$“
- Beim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert. $\frac{1}{3}$ kannst du also zu $\frac{2}{6}$ umschreiben. Diesen Bruch kannst du einfach auf zwei Piraten aufteilen.
- Weder Erweitern noch Kürzen verändert den Wert des Bruchs.
-
Wende dein Wissen zum Kürzen und Erweitern an.
TippsDurch Kürzen und Erweitern kannst du berechnen, welche Brüche gleich sind. Denn dabei ändert sich der Wert der Brüche nicht.
Beim Kürzen eines Bruchs werden Nenner und Zähler durch die gleiche Zahl geteilt.
LösungDurch Kürzen bzw. Erweitern kannst du bestimmen, welche Brüche gleich sind. Denn dabei ändert sich der Wert der Brüche nicht. Für die gegebenen Brüche erhalten wir folgende gekürzte oder erweiterte Brüche:
Hier wurde mit $4$ erweitert:
- $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4}=\dfrac{4}{16}$.
- $\dfrac{12}{32}=\dfrac{12:4}{32:4}=\dfrac{3}{8}$.
- $\dfrac{12}{36}=\dfrac{12:12}{36:12}=\dfrac{1}{3}$.
- $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4}=\dfrac{8}{20}$.
-
Ermittle die gleichen Brüche.
TippsUm die gegebenen Brüche zuzuordnen, musst du sie so kürzen oder erweitern, dass sie gleich einem der folgenden Brüche sind:
- $\frac 35$
- $\frac{10}{15}$
- $\frac {16}{6}$
Beim Erweitern musst du dir überlegen, mit welcher Zahl du Nenner und Zähler multiplizieren kannst, dass du als Ergebnis einen der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) erhältst. Zum Beispiel:
$\frac{4 }{3}=\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{20}{15}$
LösungUm die Brüche zuzuordnen, musst du sie so kürzen oder erweitern, dass sie gleich einem der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) sind. Beim Kürzen musst du dir überlegen, durch welche Zahl Nenner und Zähler ohne Rest teilbar sind. Zum Beispiel:
$\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$ oder $\frac{15}{25}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{3}{5}$
Beim Erweitern musst du dir überlegen, mit welcher Zahl du Nenner und Zähler multiplizieren kannst, dass du als Ergebnis einen der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) erhältst. Zum Beispiel:
$\frac{2 }{3}=\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{10}{15}$
Damit ergibt sich:
- $\frac{6:2}{10:2}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{30:10}{50:10}=\frac{24:8}{40:8}=\frac{3}{5}$
- $\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{20:2}{30:2}=\frac{50:5}{75:5}=\frac{10}{15}$
- $\frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\frac{32:2}{12:2}=\frac{48:3}{18:3}=\frac{16}{6}$
-
Gib den gekürzten Bruch an.
TippsUm einen Bruch zu kürzen, benötigst du zunächst eine Zahl, die der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner ist. Zum Beispiel erhältst du für die Zahlen $10$ und $15$ den größten gemeinsamen Teiler $5$.
Nachdem du den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner ermittelt hast, kannst du den Bruch vollständig kürzen, indem du den Zähler und den Nenner jeweils durch den Teiler teilst.
Lösung$\frac{3}{12}$ kannst du so kürzen:
„Willst du einen Bruch kürzen, musst du dir zuerst überlegen, durch welche Zahl du den Nenner und den Zähler ohne Rest teilen kannst.“
- Da beim Kürzen Nenner und Zähler durch dieselbe Zahl geteilt werden, musst du dir vor dem Kürzen überlegen, welche Zahl das sein könnte.
„Denn $3:3=1$ und $12:3=4$.“
- Diese Zahl kannst du durch Ausprobieren bestimmen. Teile nacheinander Nenner und Zähler durch verschiedene Zahlen, bis du eine Zahl gefunden hast, durch die beide ohne Rest teilbar sind.
„Es folgt dann der vollständig gekürzte Bruch $\frac{1}{4}$.“
-
Entscheide, welche Anteile die Brüche darstellen.
TippsDu kannst einen Bruch auch zuerst kürzen und anschließend erweitern. Zum Beispiel gilt:
$\frac{3}{12}=\frac{3:3}{12:3}=\frac{1}{4}=\frac{1 \cdot 2 }{4 \cdot 2}=\frac{2}{8}$.
LösungDie Anteile an den Figuren kannst du ablesen. Durch Erweitern und Kürzen kannst du anschließend die verschiedenen Brüche den Anteilen in den geometrischen Figuren zuordnen. Dann erhältst du:
- Zum Dreieck gehören: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}$.
- Den Anteil des Quadrats kannst du beschreiben als: $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{9}{12}$.
- Zum Kreis gehören: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.
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suuuuuuuuuiiiiiii war das Video gut aber etwas langsamer wär schon nice😉
Ich bin schlauer als Affe
cool.😁
Sehr schön erklärt aber etwas langsamer wäre besser
gut erklärt, aber etwas langsamer wäre gut